单位荷载法
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N P Nil EA
1 P
P
0
a Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
NP
0
a 1
2 2
1
2P
k
Байду номын сангаас
Ni
1
P
1
kx
0 k
]ds
EA GA EI 小曲率杆可利用直杆公式近 PR kPR PR3 似计算 () ;轴向变形,剪切变形对位 4 EA 4GA 4 EI移的影响可略去不计
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip M PMi ds EI N P Ni ds EA N P Nil EA
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
iP
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
δWe =δWi δWe =P ΔiP δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
P
ip
适用于线弹性 直杆体系,
NP kQ M , P P , P P EA GA EI M PMi N N kQP Qi [ P i ]ds EA GA EI
例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
q
A
h b
Ni ( x) 0, N P ( x) 0 Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x)
a
2
0
N P Nil EA
1
0
a
NP
1 [ P 1 a ( 2 P)( 2 ) 2a ] EA Pa () 1 (1 2 2 ) EA
Ni
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式 三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功. B 例: 1)求A点水平位移 2)求A截面转角 3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
l
2
P 1
4
q2 M P qkl M P M i ql N P Ni kQP Qi ip [ 设 : M ]ds , Q 8EI 2GA EA GA EI QP Q 4 EIk l q (l x ) k q(l x)3 [ ]dx P 1 2 M 0 GAl i GA 2 EI M 2 4 qkl ql A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, () Q 2GA 8EI i (钢砼) h / l 1 / 10, E / G 2 .5 位移方向是如 lx Q 对于细长杆,剪切变形 1 何确定的 ? 对位移的贡献与弯曲变 M 100 形相比可略去不计.
P 1 P 1 P 1 P
A
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A P=1
A ?
P=1 B A
(a)
P=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P d
C d A B
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
1 P d
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
作业:
3-1 (a)
3-2 3-3
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法
求k点竖向位移.
iP
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
Mi ( x) x l, M P ( x) q(l x) / 2
x
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P
B P=1
QP M P
P
A
R
O
θ
R
NP R
θ
ip [
PR3 kPR PR 设 : M , Q , N 解：构造虚设的力状态如图示 4GA 4 EA M P PR sin , M i R sin 4 EI A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, QP P cos , Qi cos h / R 1 / 10, E / G 2.5(钢砼) N P P sin , N i sin Q N 1 1 ds Rd M 1200 400 N P Ni kQP Qi M M PM i
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip M PMi N Nl ds P i EI EI
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移. 解：
kx
P
1 P
P
0
a Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
NP
0
a 1
2 2
1
2P
k
Байду номын сангаас
Ni
1
P
1
kx
0 k
]ds
EA GA EI 小曲率杆可利用直杆公式近 PR kPR PR3 似计算 () ;轴向变形,剪切变形对位 4 EA 4GA 4 EI移的影响可略去不计
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式
1.梁与刚架
ip M PMi ds EI N P Ni ds EA N P Nil EA
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法
求k点竖向位移. 由变形体虚功方程:
iP
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
δWe =δWi δWe =P ΔiP δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
P
ip
适用于线弹性 直杆体系,
NP kQ M , P P , P P EA GA EI M PMi N N kQP Qi [ P i ]ds EA GA EI
例 1：已知图示粱的E 、G, 求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
q
A
h b
Ni ( x) 0, N P ( x) 0 Qi ( x) 1, QP ( x) q(l x)
a
2
0
N P Nil EA
1
0
a
NP
1 [ P 1 a ( 2 P)( 2 ) 2a ] EA Pa () 1 (1 2 2 ) EA
Ni
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 二.位移计算公式 三.单位力状态的确定
所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功. B 例: 1)求A点水平位移 2)求A截面转角 3)求AB两点相对水平位移 4)求AB两截面相对转角
l
2
P 1
4
q2 M P qkl M P M i ql N P Ni kQP Qi ip [ 设 : M ]ds , Q 8EI 2GA EA GA EI QP Q 4 EIk l q (l x ) k q(l x)3 [ ]dx P 1 2 M 0 GAl i GA 2 EI M 2 4 qkl ql A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, () Q 2GA 8EI i (钢砼) h / l 1 / 10, E / G 2 .5 位移方向是如 lx Q 对于细长杆,剪切变形 1 何确定的 ? 对位移的贡献与弯曲变 M 100 形相比可略去不计.
P 1 P 1 P 1 P
A
P 1
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
A P=1
A ?
P=1 B A
(a)
P=1
AB ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P d
C d A B
(c)
BC ?
1 d1 1 d1
C
d1
1 P d
(d)
B 1 d2
A
d2
AB AC ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(e)
B
AB ?
P=1
P=1
C
P=1
(f)
C
左右
=？
试确定指定广义位移对应的单位广义力。
P=1
A
(g)
A ?
A
B
P=1
P=1
(h)
AB ?
作业:
3-1 (a)
3-2 3-3
适用于各种杆件体系(线性,非线性).
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法
求k点竖向位移.
iP
k
P 1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
ΔiP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
----适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
Mi ( x) x l, M P ( x) q(l x) / 2
x
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P
B P=1
QP M P
P
A
R
O
θ
R
NP R
θ
ip [
PR3 kPR PR 设 : M , Q , N 解：构造虚设的力状态如图示 4GA 4 EA M P PR sin , M i R sin 4 EI A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5, QP P cos , Qi cos h / R 1 / 10, E / G 2.5(钢砼) N P P sin , N i sin Q N 1 1 ds Rd M 1200 400 N P Ni kQP Qi M M PM i
4.拱
ip [ M PMi N N P i ]ds EI EA
2.桁架
ip
这些公式的适 用条件是什么?
3.组合结构
ip M PMi N Nl ds P i EI EI
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移. 解：
kx
P