2019-2020学年高中数学人教A版必修5同步作业与测评：2.1.2 数列的递推公式 Word版

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第8课时数列的递推公式
知识点一利用数列的递推公式求数列的项
1．已知数列{a n}满足a n＝4a n－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是（）
A．15 B．255 C．16 D．63
答案B
解析a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255．
2．已知a1＝1，a n＋1＝错误!,则数列{a n｝的第4项是（）
A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!
答案C
解析a2＝错误!＝错误!＝错误!，a3＝错误!＝错误!＝错误!,a4＝错误!＝错误!＝错误!．3．已知数列｛a n}满足a1＝1,a n＋1＝2a n－1（n∈N*），则a1000＝( )
A．1 B．1999 C．1000 D．－1
答案A
解析a1＝1，a2＝2×1－1＝1,a3＝2×1－1＝1，
a4＝2×1－1＝1，…，可知a n＝1（n∈N*)．
4．已知数列｛a n｝对任意的p，q∈N＊满足a p＋q＝a p＋a q，且a2＝－6,那么a10等于( ) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
答案C
解析由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6,∴a1＝－3．
∴a10＝2a5＝2(a2＋a3）＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6）＋2×(－3)＝－30．5．已知数列{a n},a n＝a n＋m(a＜0，n∈N＊），满足a1＝2，a2＝4，则a3＝________．答案2
解析∵错误!∴错误!
∴a n＝(－1)n＋3，∴a3＝（－1)3＋3＝2．
6．已知数列{a n}满足：a4n－3＝1,a4n－1＝0,a2n＝a n，n∈N＊,则a2011＝________；a2018＝________．
答案0 1
解析∵a2011＝a503×4－1＝0，∴a2018＝a2×1009＝a1009＝a4×253－3＝1．
知识点二利用数列的递推公式求通项公式
7．数列｛a n}满足递推公式a1＝5，a n＝错误!a n－1（n≥2,n∈N*），则数列｛a n｝的前四项依次为________，它的通项公式为________．
答案5，错误!，错误!，2 a n＝错误!
解析由错误!＝错误!（n≥2,n∈N＊），
得a2
a1
＝
2
3
，错误!＝错误!，…，错误!＝错误!(n≥2,n∈N＊),
将以上各式两两相乘得错误!＝错误!·错误!·…·错误!＝错误!，所以a n＝错误! (n≥2,n∈N＊)，
又a1＝5符合上式，所以其通项为a n＝错误!．
所以a1＝5，a2＝错误!，a3＝错误!，a4＝2．
8．已知数列{a n｝满足a1＝1，a n－a n－1＝错误!（n≥2），求数列{a n}的通项公式．解累加法：a n－a n－1＝错误!＝错误!－错误!,
a2－a1＝1－错误!,a3－a2＝错误!－错误!,
a4－a3＝错误!－错误!,…，a n－a n－1＝错误!－错误!,
累加可得a n－a1＝1－错误!．
又a1＝1，所以a n＝2－错误!．
易错点一忽略数列中第1项
9．在数列{a n｝中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足a n＝a n＋1＋2，则a2016＝________．
易错分析本题求通项公式时采用累加法易漏掉a1错解a n＝－2n＋2致a2016＝－4030．
答案－4028
解析由题意知a n＋1－a n＝－2，所以a n＝（a n－a n－1）＋（a n－1－a n－2)＋(a n－2－a n－3）＋…＋(a2－a1）＋a1＝－2(n－1）＋2＝－2n＋4，
所以a2016＝－2×2016＋4＝－4028．
易错点二对递推公式变形时忽略n取值的变化而致错
10．已知数列{a n}满足a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），求a n．
易错分析本题易忽略式子a1a2a3…a n－1＝(n－1）2仅适用于n∈N＊且n≥2时的情况,因此两式相除得到a n＝错误!也仅适用于n≥2时的情况,从而错误断定a n＝错误!是数列的通项．
解当n＝1时，a1＝1．
由条件知a1a2a3…a n＝n2(n∈N*），
当n≥2时a1a2a3…a n－1＝(n－1）2，
两式相除得a n＝错误!（n≥2，n∈N*)，
故a n＝错误!
一、选择题
1．已知a n＝3n－2,则数列{a n｝的图象是（)
A．一条直线 B．一条抛物线
C．一个圆 D．一群孤立的点
答案D
解析∵a n＝3n－2，n∈N＊，∴数列{a n}的图象是一群孤立的点．
2．在数列{a n｝中,a1＝错误!，a n＝（－1）n·2a n－1（n≥2），则a5等于( ）
A．－错误! B．错误! C．－错误! D．错误!
答案B
解析∵a1＝错误!,a n＝（－1)n·2a n－1,
∴a2＝(－1)2×2×错误!＝错误!,
a3＝（－1）3×2×错误!＝－错误!，
a4＝（－1)4×2×－错误!＝－错误!，
a5＝（－1）5×2×－错误!＝错误!．
3．函数f(x）满足f（1）＝1，f（n＋1）＝f(n)＋3（n∈N*），则f（n）是（) A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．不能确定
答案A
解析∵f（n＋1)－f(n）＝3(n∈N＊），
∴f（2）>f(1）,f（3）>f（2），f(4）〉f（3），…，f(n＋1)>f（n)，…．∴f(n)是递增数列．
4．数列｛a n}的构成法则如下：a1＝1，如果a n－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式a n＋1＝a n－2，否则用递推公式a n＋1＝3a n，则a6＝( ）A．－7 B．3 C．15 D．81
答案C
解析由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3．
又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9．
又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7．
又a4－2＝5∈N，则a5＝a4－2＝5．
又a5－2＝3＝a2,所以a6＝3a5＝15．故选C．
5．设数列｛a n｝满足a1＝1，a2＝3，且2na n＝(n－1）a n－1＋(n＋1）a n＋1,则a20的值是（)
A．4错误! B．4错误! C．4错误! D．4错误!
答案D
解析由题知：a n＋1＝错误!,
a3＝错误!＝错误!，a4＝错误!＝4，
a5＝错误!＝错误!,a6＝错误!＝错误!，故a n＝错误!．所以a20＝错误!＝错误!＝4错误!．故选D．
二、填空题
6．在数列{a n}中，a n＝2n＋1,对于数列{b n｝，b1＝a1，当n≥2时，b n＝ab n－1，则b4＝________，b5＝________．
答案31 63
解析由a n＝2n＋1，知b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63．
7．已知F（x)＝f错误!－1是R上的奇函数．a n＝f(0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f(1）(n∈N*）．则数列{a n}的通项公式为________．
答案a n＝n＋1
解析因为F（x)＋F(－x)＝0，
所以f错误!＋f错误!＝2,
即若a＋b＝1，则f（a)＋f（b)＝2．
于是由
a n＝f（0)＋f错误!＋…＋f错误!＋f（1)(n∈N*)，
得2a n＝［f（0)＋f(1)]＋错误!＋…＋错误!＋[f(1)＋f（0)］＝2n＋2，
所以a n＝n＋1．
8．函数f(x)定义如下表，数列{x n｝满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f （x n）,则x2019＝________．
答案5
解析由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1，5，2，1,…故数列{x n｝
为周期为3的周期数列．
∴x2019＝x3×673＝x3＝5．
三、解答题
9．数列｛a n}中a1＝1，对所有的n≥2,都有a1·a2·a3·…·a n＝n2．
(1)求a3，a5；
（2）探究错误!是否为此数列中的项；若是，是第多少项?
（3)试比较a n与a n＋1(n≥2）的大小．
解（1）∵对所有的n≥2,
都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，
∴a1·a2＝22，a1·a2·a3＝32，
a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52．
∴a3＝错误!，a5＝错误!．
(2）∵a1·a2·a3·…·a n＝n2,
∴n≥3时，a1·a2·a3·…·a n－1＝(n－1)2，
∴n≥3时，∴a n＝错误!2，且a1＝1，a2＝4,
而错误!＝错误!2，∴错误!是数列中的项，是第16项．
（3)∵错误!＝错误!2×错误!2＝错误!2〉1,
∴a n〉a n＋1(n≥2)．
10．已知数列{a n｝满足a1＝1,a n＋1＝错误!(n∈N*)，试探究数列{a n}的通项公式．解解法一：将n＝1，2，3，4依次代入递推公式得
a2＝错误!,a3＝错误!,a4＝错误!,
又a1＝错误!,
∴可猜想a n＝错误!．
应有a n＋1＝错误!,将其代入递推关系式验证成立，∴a n＝错误!．
解法二：∵a n＋1＝错误!，
∴a n＋1a n＝2a n－2a n＋1．
两边同除以2a n＋1a n，得错误!－错误!＝错误!．
∴错误!－错误!＝错误!，错误!－错误!＝错误!，…,错误!－错误!＝错误!．把以上各式累加得错误!－错误!＝错误!．
又a1＝1，∴a n＝错误!．
故数列{a n}的通项公式为a n＝错误!(n∈N*)．。