广东省东莞市南开实验学校2016届高三数学上学期期初考试试题文

南开实验学校2015-2016学年第一学期期初考试
高三数学（文科）
2015.9
本试卷共2面，21小题，满分150分。

考试用时150分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己所在的学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，收卷时只交答题卷。

一．选择题（在每个小题提供的四个选项中，有且仅有一个正确答案。

每题5分，满分60分） 1.cos300︒= （ ） A.2-
B.-12
C.12
D.2
2.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()
U N M ⋂=ð（ ） A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5
3.若变量,x y 满足约束条件1,
0,20,y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪--≤⎩
则2z x y =-的最大值为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
4.已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则
456a a a =（ ）
A.
5. 设四边形ABCD 的两条对角线为AC 、BD ，则“四边形ABCD 为菱形”是“BD AC ⊥”的（ ）
A. 既不充分也不必要条件
B. 必要不成分条件
C. 充分必要条件
D. 充分不必要条件
6. 某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A. 3
72cm B. 3
90cm C. 3
108cm D. 3
138cm
7.为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图象，可以将函数x y 3cos 2=的图象（ ）
A.向右平移
12
π
个单位长 B.向右平移
4π
个单位长 C.向左平移12
π个单位长 D.向左平移4π
个单位长
8.已知圆0222
2=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值为（ ）
A.2-
B. 4-
C. 6-
D.8- 9.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（ ） A.若n m ⊥，α//n ，则α⊥m B.若β//m ，αβ⊥，则α⊥m
C.若β⊥m ，β⊥n ，α⊥n ，则α⊥m
D.若n m ⊥，β⊥n ，αβ⊥，则α⊥m 10.已知函数c bx ax x x f +++=2
3)(，且3)3()2()1(0≤-=-=-<f f f ，则（ ） A.3≤c B.63≤<c C. 96≤<c D.9>c
11.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212
(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是（ ）
A. [1,2]
B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C. (0,2]
D. 1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
12.已知ABC V 的内角A ，B ，C 满足222
(2sin 1)sin sin sin C A C B -=-，则ABC V 是（ ）
A.等边三角形
B.钝角三角形
C. 等腰三角形
D.直角三角形
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.已知i 是虚数单位，计算
2
1(1)i
i -=+________.
14.某程序框图如图，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.
15.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·
1AC BE =, 则AB 的长为 .
16.
22
2(5,(1,0),4_________.
A F P y x PA PF =+已知点动点在抛物线上运动，则的最小值为
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1=10，且a 1，2a 2+2，5a 3成等比数列. （Ⅰ）求d ，a n ； （Ⅱ) 若d<0，求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n | .
18.（本小题满分12分）
某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:
(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,
(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;
(⒉) 设事件B 为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S 都等于4”, 求事件B 发生的概率.
19.(本题满分12分) 如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，∠ABC=120°，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，G 为线段PC 上的点. （Ⅰ）证明：BD ⊥面PAC ;
（Ⅱ)若G 满足PC ⊥面BGD ，求PG
GC
的值；
（Ⅲ）若G 是PC 的中点，求DG 与APC 所成的角的正切值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C 的顶点为O （0,0），焦点F （0,1） （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ) 过点F 作直线交抛物线C 于A ．B 两点.若直线AO ．BO 分别交直线l ：y=x-2于M ．N 两点，求|MN|的最小值.
21.（12分）
设[2,0]a ∈-, 已知函数332(5),03,0(,).2
x f a x x a x x x x x a -+≤+-+>⎧⎪
=⎨⎪⎩
(Ⅰ) 证明()f x 在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线()y f x =在点(,())(1,2,3)i i i x f x i P =处的切线相互平行, 且1230,x x x ≠
证明1231
3
x x x ++>.
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如多做，则按所做的第一题记分。

解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，P 是
O 外一点，PA 是切线，A 为切点，
割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：
（1）BE EC =； （2）22AD DE
PB ⋅=
23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2
π
ρθθ=∈.
（1）求C 得参数方程；
（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设函数
1
()||||(0) f x x x a a
a
=++->
（1）证明：()2
f x≥；
（2）若(3)5
f<，求a的取值范围.。