2015年中考数学总复习专题5 圆的综合题综述
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该交点的半径垂直(简记为“连半径，证垂直”)； (2)若已知这条直线垂直于某条半径，只需要说明该垂足与
圆心的连线的长度等于半径即可(简记为“作垂线，证相等”)．
专题五 圆的综合题 【解题思路】
专题五 圆的综合题
解：(1)∵△OPC 的边长 OC 是定值， ∴当 OP⊥OC 时，OC 边上的高取最大值，
在 Rt△PCE 中， ∵PC2＝CE2＋PE2，
∴x2＝(4－x)2＋22， 解得 x＝52，
∴BC＝CE＝4－52＝32.
1
1
∵2OB·BC＝2OC·BD，
即12×2×32＝12×52×BD，
6 ∴BD＝5， ∴OD＝ OB2－BD2 ＝
4－3265＝85，
由点 B 在第四象限可知点 B 的坐标为85，－65.
∴sin∠OCP ＝OOPC ＝12，
∴∠OCP＝30°.
专题五 圆的综合题 (3)证明：连接AP，BP. ∵∠AOP＝∠DOB， ∴AP＝DB. ∵CP＝DB， ∴AP＝PC， ∴∠A＝∠C. ∵∠A＝∠D， ∴∠C＝∠D. ∵OC＝PD＝4，PC＝DB，
∴△OPC≌△PBD， ∴∠OPC＝∠PBD. ∵PD是⊙O的直径， ∴∠PBD＝90°， ∴∠OPC＝90°， ∴OP⊥PC. 又∵OP是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线．
专题五 圆的综合题
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？ 本题综合考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、解直
角三角形等知识．解题的关键是掌握有关性质和判定方法，能 添加辅助线解题．
2．满足什么条件时，△OPC的面积最大？ 把OC当作△OPC的底，其为定值4，要使△OPC的面积最大，
(1)求证：PA是⊙O的切线； (2)求点B的坐标； (3)求直线AB所对应的函数解析式．
图T5－3
专题五 圆的综合题
【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？
本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积 法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．
2．如何证明PA是⊙O的切线？ PA与圆有交点，因此只需要说明该直线与过该交点的半径
在构造Rt△OBD后，需要先求出线段OC，BC的长度，再求出 BD，OD的长度即可．
5．怎样求直线AB所对应的函数解析式？ 已知点A，B的坐标，用待定系数法可求出直线AB所对应的
函数解析式．
专题五 圆的综合题 【解题思路】
专题五 圆的综合题
解：(1)证明：依题意可知 A(0，2)． ∵A(0，2)，P(4，2)， ∴AP∥x 轴， ∴∠OAP＝90°， ∴PA 是⊙O 的切线．
则需使OC边上的高(点P到OC的距离)最大，由点P在⊙O上，可知 当OP⊥OC时OP最长，此时OP是OC边上的高．
专题五 圆的综合题
【点拨交流】
3．满足什么条件时，∠OCP的度数最大？怎样求∠OCP的度数？ 当CP是⊙O的切线，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，通
过解Rt△OPC可求得此时∠OCP的度数． 4．证明一条直线是圆的切线有哪些方法？ (1)若已知这条直线与圆的交点，则只需要说明该直线与过
垂直，可通过已知条件证∠DAP＝90°即可． 3．要求点B的坐标，需要构造一个直角三角形，怎样构造呢？ 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴和
y轴的距离，自然联想到连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，从而 构造Rt△OBD.
专题五 圆的综合题
【点拨交流】 4．要求点B的坐标，需要求出哪几条线段的长度？
D
∵∠BAC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 在 Rt△ADC 中，AC＝2 3，DC＝ 3，
∴AD＝ AC2－DC2 ＝ （2 3）2－ 32＝3，
D
∴△ ABC 面积的最大值为 1 2×2 3×3 ＝3 3.
专题五 圆的综合题
例2 [2013•江西] 如图T5－3，在平面直角坐标系中，以 点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一 点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.
(2)连接 OP，OB，作 PE⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 D. ∵PB 切⊙O 于点 B， ∴∠OBP＝90°， ∴∠OBP＝∠PEC.
又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PCE，
∴△OBC≌△PEC， ∴OC＝PC.
专题五 圆的综合题
设 OC＝PC＝x，
则有 OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x，
2015年中考数学总复习
专题五 圆的综合题
江西瑞昌 梁先爱
专题五 圆的综合题
圆的综合题往往根据圆的有关性质及与圆有关的位置关系 综合考查代数、几何相关知识的问题，充分考查学生的综合能 力．在近几年江西中考试题中以解答题为主，填空题、选择题 形式考查的较少，预计2015年仍会延续此命题方式．
专题五 圆的综合题
专题五 圆的综合题
针对训练
如图T5－2，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2 3，点A为弦 BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)．
(1)求∠BAC的度数； (2)求△ABC面积的最大值．
图T5－2
专题五 圆的综合题
解：(1)连接 OB，OC，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，连接 OA.
∵BC＝2 3，
专题五 圆的综合题
(3)设直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝kx＋b， 由 A(0，2)，B85，－65， b＝2， 可得85k＋b＝－65， 解得bk＝ ＝－ 2，2，
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝－2x＋2.
此时△OPC 的面积最大．
∵AB＝4，BC＝2，
∴OP＝OB＝2， OC＝OB＋BC＝4，
1
1
∴S△OPC＝2OC·OP ＝2×4×2＝4，
即△OPC 的最大面积为 4.
(2)当 PC 与⊙O 相切，即 OP⊥PC 时， ∠OCP 的度数最大．
在 Rt△OPC 中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∴CD＝12BC＝ 3.
又∵OC＝2，∴sin∠DOC＝ CODC，
即
sin∠DOC＝
3 2，
∴∠DOC＝60°.
D
∵OD⊥BC，
1 ∴∠BAC＝2∠BOC
＝∠DOC
＝60°.
专题五 圆的综合题
(2) ∵△ ABC 中的面积最大，
即点 A 是B︵AC的中点时，△ABC 的面积最大．
考向互动探究
例1 [2014•江西] 如图T5－1①，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连 接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
图T5－1
(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB.当CP＝DB时，
求证：CP是⊙O的切线．
圆心的连线的长度等于半径即可(简记为“作垂线，证相等”)．
专题五 圆的综合题 【解题思路】
专题五 圆的综合题
解：(1)∵△OPC 的边长 OC 是定值， ∴当 OP⊥OC 时，OC 边上的高取最大值，
在 Rt△PCE 中， ∵PC2＝CE2＋PE2，
∴x2＝(4－x)2＋22， 解得 x＝52，
∴BC＝CE＝4－52＝32.
1
1
∵2OB·BC＝2OC·BD，
即12×2×32＝12×52×BD，
6 ∴BD＝5， ∴OD＝ OB2－BD2 ＝
4－3265＝85，
由点 B 在第四象限可知点 B 的坐标为85，－65.
∴sin∠OCP ＝OOPC ＝12，
∴∠OCP＝30°.
专题五 圆的综合题 (3)证明：连接AP，BP. ∵∠AOP＝∠DOB， ∴AP＝DB. ∵CP＝DB， ∴AP＝PC， ∴∠A＝∠C. ∵∠A＝∠D， ∴∠C＝∠D. ∵OC＝PD＝4，PC＝DB，
∴△OPC≌△PBD， ∴∠OPC＝∠PBD. ∵PD是⊙O的直径， ∴∠PBD＝90°， ∴∠OPC＝90°， ∴OP⊥PC. 又∵OP是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线．
专题五 圆的综合题
【点拨交流】
1．本题考查了哪些知识？解题的关键是什么？ 本题综合考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、解直
角三角形等知识．解题的关键是掌握有关性质和判定方法，能 添加辅助线解题．
2．满足什么条件时，△OPC的面积最大？ 把OC当作△OPC的底，其为定值4，要使△OPC的面积最大，
(1)求证：PA是⊙O的切线； (2)求点B的坐标； (3)求直线AB所对应的函数解析式．
图T5－3
专题五 圆的综合题
【点拨交流】 1．本题考查了哪些知识？
本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积 法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等．
2．如何证明PA是⊙O的切线？ PA与圆有交点，因此只需要说明该直线与过该交点的半径
在构造Rt△OBD后，需要先求出线段OC，BC的长度，再求出 BD，OD的长度即可．
5．怎样求直线AB所对应的函数解析式？ 已知点A，B的坐标，用待定系数法可求出直线AB所对应的
函数解析式．
专题五 圆的综合题 【解题思路】
专题五 圆的综合题
解：(1)证明：依题意可知 A(0，2)． ∵A(0，2)，P(4，2)， ∴AP∥x 轴， ∴∠OAP＝90°， ∴PA 是⊙O 的切线．
则需使OC边上的高(点P到OC的距离)最大，由点P在⊙O上，可知 当OP⊥OC时OP最长，此时OP是OC边上的高．
专题五 圆的综合题
【点拨交流】
3．满足什么条件时，∠OCP的度数最大？怎样求∠OCP的度数？ 当CP是⊙O的切线，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大，通
过解Rt△OPC可求得此时∠OCP的度数． 4．证明一条直线是圆的切线有哪些方法？ (1)若已知这条直线与圆的交点，则只需要说明该直线与过
垂直，可通过已知条件证∠DAP＝90°即可． 3．要求点B的坐标，需要构造一个直角三角形，怎样构造呢？ 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴和
y轴的距离，自然联想到连接OB，过点B作BD⊥x轴于点D，从而 构造Rt△OBD.
专题五 圆的综合题
【点拨交流】 4．要求点B的坐标，需要求出哪几条线段的长度？
D
∵∠BAC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形． 在 Rt△ADC 中，AC＝2 3，DC＝ 3，
∴AD＝ AC2－DC2 ＝ （2 3）2－ 32＝3，
D
∴△ ABC 面积的最大值为 1 2×2 3×3 ＝3 3.
专题五 圆的综合题
例2 [2013•江西] 如图T5－3，在平面直角坐标系中，以 点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P(4，2)是⊙O外一 点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.
(2)连接 OP，OB，作 PE⊥x 轴于点 E，BD⊥x 轴于点 D. ∵PB 切⊙O 于点 B， ∴∠OBP＝90°， ∴∠OBP＝∠PEC.
又∵OB＝PE＝2，∠OCB＝∠PCE，
∴△OBC≌△PEC， ∴OC＝PC.
专题五 圆的综合题
设 OC＝PC＝x，
则有 OE＝AP＝4，CE＝OE－OC＝4－x，
2015年中考数学总复习
专题五 圆的综合题
江西瑞昌 梁先爱
专题五 圆的综合题
圆的综合题往往根据圆的有关性质及与圆有关的位置关系 综合考查代数、几何相关知识的问题，充分考查学生的综合能 力．在近几年江西中考试题中以解答题为主，填空题、选择题 形式考查的较少，预计2015年仍会延续此命题方式．
专题五 圆的综合题
专题五 圆的综合题
针对训练
如图T5－2，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2 3，点A为弦 BC所对优弧上任意一点(B，C两点除外)．
(1)求∠BAC的度数； (2)求△ABC面积的最大值．
图T5－2
专题五 圆的综合题
解：(1)连接 OB，OC，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，连接 OA.
∵BC＝2 3，
专题五 圆的综合题
(3)设直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝kx＋b， 由 A(0，2)，B85，－65， b＝2， 可得85k＋b＝－65， 解得bk＝ ＝－ 2，2，
∴直线 AB 所对应的函数解析式为 y＝－2x＋2.
此时△OPC 的面积最大．
∵AB＝4，BC＝2，
∴OP＝OB＝2， OC＝OB＋BC＝4，
1
1
∴S△OPC＝2OC·OP ＝2×4×2＝4，
即△OPC 的最大面积为 4.
(2)当 PC 与⊙O 相切，即 OP⊥PC 时， ∠OCP 的度数最大．
在 Rt△OPC 中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2，
∴CD＝12BC＝ 3.
又∵OC＝2，∴sin∠DOC＝ CODC，
即
sin∠DOC＝
3 2，
∴∠DOC＝60°.
D
∵OD⊥BC，
1 ∴∠BAC＝2∠BOC
＝∠DOC
＝60°.
专题五 圆的综合题
(2) ∵△ ABC 中的面积最大，
即点 A 是B︵AC的中点时，△ABC 的面积最大．
考向互动探究
例1 [2014•江西] 如图T5－1①，AB是⊙O的直径，点C在AB 的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连 接OP，CP.
(1)求△OPC的最大面积；
(2)求∠OCP的最大度数；
图T5－1
(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB.当CP＝DB时，
求证：CP是⊙O的切线．