2021年高二(下)期中数学试卷(文科)含解析

2021年高二（下）期中数学试卷（文科）含解析
一、选择题
1．（5分）（xx•石景山区一模）已知集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}，则A∩B 等于（）
A． {0} B． {2} C． {0，1，2} D．∅
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，能求出A∩B．
解答：解：∵集合A={﹣1，2}，B={x∈Z|0≤x≤2}={0，1，2}，
∴A∩B={2}．
故选B．
点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）（xx•青岛一模）i是虚数单位，复数的实部为（）
A． 2 B．﹣2 C． 1 D．﹣1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：计算题．
分析：把给出的复数分子分母同时乘以1﹣i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，则实部可求．解答：解：由=．
所以复数的实部为1．
故选C．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的概念，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．
3．（5分）（xx秋•肇庆期末）下列函数是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数的是（）
A．f（x）=（）x B．f（x）=x C．f（x）=lnx D．f（x）=﹣x2+4
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可．
解答：解：对于A，f（x）=是定义域R上的非奇非偶的函数，∴不满足题意；
对于B，f（x）=是定义域R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，∴满足题意；
对于C，f（x）=lnx是定义域（0，+∞）上的非奇非偶的函数，∴不满足题意；
对于D，f（x）=﹣x2+4是定义域R上的偶函数，在（0，+∞）上是减函数，∴不满足题意．故选：B．
点评：本题考查了常见的基本初等函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题目．
4．（5分）（xx•蚌埠二模）设a，b∈R，那么“＞1”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：不等式的解法及应用．
分析：a＞b＞0，可推出，而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0，由充要条件的定义可得答案．
解答：解：由不等式的性质，a＞b＞0，可推出，
而当，时，例如取a=﹣2，b=﹣1，显然不能推出a＞b＞0．
故是a＞b＞0的必要不充分条件．
故选B．
点评：本题为充要条件的判断，正确利用不等式的性质是解决问题的关键，属基础题．
5．（5分）（xx秋•广东校级期末）命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．
C．D．
考点：全称命题；命题的否定．
专题：规律型．
分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
解答：解：∵命题∀x∈R，2x2+1＞0是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
“”，．
故选：C．
点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，比较基础．
6．（5分）（xx•湛江二模）设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（xx）+f（xx）=（）
A． 3 B． 2 C． 1 D．0
考点：函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的周期性以及函数的图象进行求解即可．
解答：解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，
∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，
∴f（xx）+f（xx）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，
故选：A
点评：本题主要考查函数值的求解，根据函数的周期性进行转化是解决本题的关键．
7．（5分）（xx春•东莞期末）用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）
A．假设a、b、c中至多有一个偶数
B．假设a、b、c中至多有两个偶数
C．假设a、b、c都是偶数
D．假设a、b、c都不是偶数
考点：反证法与放缩法．
专题：证明题；反证法．
分析：根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案．
解答：解：用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，
而命题：“整数a，b，c中至少有一个偶数”的否定为：“a，b，c都不是偶数”，
故选D．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．8．（5分）（xx•滨州一模）函数f（x）=的大致图象为（）
A．B．C．D．
考点：函数的图象．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象．
解答：解：∵f（﹣x）==f（x），且定义域关于原点对称，
∴函数f（x）为偶函数，
即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，B
当x＞1是函数y=lg|x|为增函数，当0＜x＜1时，函数y=lg|x|为减函数，
当x＞0，函数y=为减函数，
故函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）为减函数，
故图象为先增后减，故排除C，
故选：D
点评：本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．
9．（5分）（xx•金凤区校级一模）函数的图象（）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称
C．关于原点对称D．关于直线y=x对称
考点：奇偶函数图象的对称性．
专题：函数的性质及应用．
分析：将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．
解答：解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），
所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．
故选A．
点评：本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
10．（5分）（xx•汕头一模）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4，给出如下四个结论：
①xx∈[3]；
②﹣2∈[2]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④整数a、b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．
其中正确的结论个数为（）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：根据“类”的定义分别进行判断即可．
解答：解：①∵xx÷5=403…0，∴xx∈[0]，故①错误；
②∵﹣2=5×（﹣1）+3，∴﹣2∈[3]，故②错误；
③因为整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故
③正确；
④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a﹣b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．故④正确．
正确的结论为③④．
故选：B．
点评：本题主要考查新定义的应用，利用定义正确理解“类”的定义是解决本题的关键．
二、填空题
11．（5分）（xx•唐山一模）函数f（x）=的定义域是（﹣∞，﹣1]．
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据二次根式的性质得到不等式，结合指数函数的性质解出即可．
解答：解：由题意得：2﹣x﹣2≥0，
解得：x≤﹣1，
故答案为：（﹣∞，﹣1]．
点评：本题考查了求函数的定义域问题，考查了二次根式的性质，解不等式问题，本题属于基础题．
12．（5分）（xx春•临沂校级期中）设f（x）=，则f（f（））=4．
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：利用分段函数的表达式，直接代入进行求值即可．
解答：解：由分段函数可知，f（）=，
∴f（f（））=f（﹣2）=2﹣（﹣2）=22=4，
故答案为：4．
点评：本题主要考查分段函数的应用，注意分段函数的求值范围，比较基础．
13．（5分）（xx春•临沂校级期中）如果函数f（x）=ax2﹣3x+4在区间（﹣∞，6）上单调递减，则实数a的取值范围是[0，]．
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：通过讨论a的取值，得到函数f（x）是一次函数还是二次函数，再结合函数的性质从而求出a的范围．
解答：解：（1）当a=0时，f（x）=﹣3x+4，
函数在定义域R上单调递减，
故在区间（﹣∞，6）上单调递减．
（2）当a≠0时，二次函数f（x）图象的对称轴为直线x=，
因为f（x）在区间（﹣∞，6）上单调递减，
所以a＞0，且≥6，解得0＜a≤，
综上所述，0≤a≤，
故答案为：[0，]．
点评：本题考查了二次函数的性质，考查分类讨论思想，是一道中档题．
14．（5分）（xx春•海安县校级期末）设函数f（x）满足：2f（x）﹣f（）=，则函数f（x）在区间[，1]上的最小值为3．
考点：函数的最值及其几何意义；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法．
专题：函数的性质及应用．
分析：本题先用解方程组的方法求出函数的解析式，再通过换元法，将原函数化成对钩函数，利用其导函数得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值．
解答：解：∵2f（x）﹣f（）=，①
将“x”用“”代入，得：
②
将①×2+②得：
．
令t=x2，记．
由x∈[，1]得：．
∴g′（t）＜0．
则g（t）在上单调递减．
[g（t）]min=g（1）=3．
故答案为3．
点评：本题考查了函数的解析式的求法和导数求最值，还考查了换元法．要注意的是，如果使用基本不等式求最值，则不能取到等号，所以求最值要用到导函数法．本题有一定的思维量和计算量，属于中档题．
15．（5分）（xx春•临沂校级期中）设f（x）是定义在R上的偶函数，且对于∀x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当X∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则
（1）f（x）的周期是2；
（2）f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；
（3）f（x）的最大值是1，最小值是0；
（4）当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3
其中正确的命题的序号是（1）（2）（4）．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：（1）依题意，f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），可判断（1）；
（2）利用x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1，可判断f（x）在区间[0，1]上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断（2）；
（3）利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断（3）；
（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），从而可得f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，可判断（4）．
解答：解：（1）∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），
∴f（x+2）=f[（x+1）﹣1]=f（x），即2是f（x）的周期，（1）正确；
（2）∵x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，又f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，又其周期T=2，
∴f（x）在（1，2）上递减，在（2，3）上递增，（2）正确；
（3）由（2）x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x=2x﹣1为增函数，f（x）在区间[﹣1，0]上单调递减，且其周期为2可知，
f（x）max=f（1）=21﹣1=20=1，f（x）min=f（0）=20﹣1=，故（3）错误；
（4）当x∈（3，4）时，x﹣4∈（﹣1，0），4﹣x∈（0，1），
∴f（4﹣x）=（）1﹣（4﹣x）=，又f（x）是周期为2的偶函数，
∴f（4﹣x）=f（x）=，（4）正确．
综上所述，正确的命题的序号是（1）（2）（4），
故答案为：（1）（2）（4）．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．
三、解答题
16．（12分）（xx春•临沂校级期中）计算：
（1）（）+（）×（﹣）0﹣﹣
（2）lg25﹣lg22+2lg2+3．
考点：对数的运算性质．
专题：计算题．
分析：利用指数和对数的运算法则和性质即可计算得解．
解答：解：（1）原式===0．…（6分）
（2）原式=（1﹣lg2）2﹣lg22+2lg2+2=1+2=3．…（12分）
点评：本题主要考查了指数和对数的运算法则和性质，考查了计算能力，属于基本知识的考查．
17．（12分）（xx秋•吴兴区校级期中）已知函数f（x）=1﹣2a x﹣a2x（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[﹣2，1]时，函数f（x）的最小值为﹣7，求a的值和函数f（x）的最大值．
考点：函数最值的应用；函数的值域．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）利用换元法，再进行配方，即可求得函数f（x）的值域；
（2）原因，求得函数的单调性，利用函数f（x）的最小值为﹣7，可求a的值，从而可得函数f（x）的最大值．
解答：解：（1）令t=a x，则t＞0，∴g（t）=1﹣2t﹣t2=﹣（t+1）2+2
∵t＞0，∴g（t）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣∞，1）；
（2）∵x∈[﹣2，1]，0＜a＜1，∴t∈[a，]
∴g（t）=1﹣2t﹣t2在[a，]上是减函数
∴t=时，g（t）min=﹣﹣+1=﹣7
∴或（舍去）
∴t=时，g（t）有最大值，即g（t）max=﹣．
点评：本题考查函数的最值与值域，考查学生的计算能力，属于中档题．
18．（12分）（xx春•临沂校级期中）设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R；命题q：不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
考点：复合命题的真假．
专题：规律型．
分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，利用“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，确定实数k的取值范围．
解答：解：①若函数f（x）=lg（ax2﹣4x+a）的定义域为R，
则ax2﹣4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为﹣4x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，则，即，
解得a＞2，即p：a＞2．
②要使不等式2x2+x＞2+ax，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，
则，对∀x∈（﹣∞，﹣1）上恒成立，
∵在（﹣∞，﹣1]上是增函数，
∴y max=1，x=﹣1，
故a≥1，即q：a≥1．
若“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，
则p，q一真一假．
若p真q假，则，此时不成立．
若p假q真，则，解得1≤a≤2．
即实数a的取值范围是1≤a≤2．
点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．
19．（12分）（xx春•临沂校级期中）已知函数f（x）=log a（1+x），g（x）=log a（1﹣x），其中（a＞0且a≠1），设h（x）=f（x）﹣g（x）．
（1）求h（x）的定义域；
（2）判断h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）若a=log327+log2，求使f（x）＞1成立的x的集合．
考点：对数函数图象与性质的综合应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据对数的定义得出不等式组，求解即可得出定义域．
（2）先判断定义域关于原点对称，利用定义h（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣h（x），判断即可．
（3）了；利用对数的运算得出即log2（1+x）＞log22，再根据对数函数的单调性得出1+x＞2，即可求解不等式．
解答：解：（1）由题意得，即﹣1＜x＜1．
∴h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）；
（2）∵对任意的x∈（﹣1，1），﹣x∈（﹣1，1）
h（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣h（x），
∴h（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）是奇函数；
（3）由a=log327+log2，得a=2．
f（x）=log a（1+x＞1，即log2（1+x）＞log22，
∴1+x＞2，即x＞1．
故使f（x）＞1成立的x的集合为{x|x＞1}
点评：本题本题考察了对数函数的概念性质，解不等式，考察了学生的化简运算能力，属于容易题．
20．（13分）（xx春•临沂校级期中）已知函数y=f（x），（x≠0）对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）求f（1），f（﹣1）的值；
（Ⅱ）判断函数y=f（x），（x≠0）的奇偶性；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数，解不等式f（x）+f（x﹣5）≤0．
考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：（Ⅰ）赋值法：在所给等式中，令x=y=1，可求得f（1），令x=y=﹣1可求得f（﹣1）；（Ⅱ）在所给等式中令y=﹣1，可得f（﹣x）与f（x）的关系，利用奇偶性的定义即可判断；（3）由题意不等式f（x）+f（x﹣5）≤0可化为f（|x（x﹣5）|）≤f（1），根据单调性即可去掉符号“f”，转化为具体不等式即可解得．
解答：解：（Ⅰ）∵对于任意的x，y∈R且x，y≠0满足f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1，得到：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=﹣1，得到：f（1）=f（﹣1）+f（﹣1），
∴f（﹣1）=0；
证明：（Ⅱ）由题意可知，令y=﹣1，得f（﹣x）=f（x）+f（﹣1），
∵f（﹣1）=0，∴f（﹣x）=f（x），
∴y=f（x）为偶函数；
解：（Ⅲ）由（Ⅱ）函数f（x）是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式f（x）+f（x﹣5）≤0可化为f[x（x﹣5）]≤f（1），f（|x（x﹣5）|）≤f（1），
∴﹣1≤x（x﹣5）≤1，即：﹣6≤x（x﹣5）≤6且x≠0，x﹣5≠0，
在坐标系内，如图函数y=x（x﹣5）图象与y=6，y=﹣6两直线．
由图可得x∈[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]，
故不等式的解集为：[﹣1，0）∪（0，2]∪[3，5）∪（5，6]．
点评：本题考查抽象函数的求值、奇偶性的判断及抽象不等式的解法，定义是解决抽象函数问题的常用方法，解抽象不等式关键是利用函数性质转化为具体不等式．
21．（14分）（xx春•临沂校级期中）已知函数f（x）=x2+2ax+3，x∈[﹣2，2]．
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）记f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式及值域．
考点：二次函数在闭区间上的最值．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：（1）代入，由配方法求函数的最值；
（2）f（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，则对称轴在区间外；
（3）由（2）中的单调性可直接写出g（a），再求分段函数的值域．
解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∵1∈[﹣2，2]，
∴f min（x）=2，f max（x）=f（﹣2）=11；
（2）∵函数f（x）=x2+2ax+3的对称轴为x=﹣a，
∴﹣a≤﹣2或﹣a≥2，
即a≤﹣2或a≥2．
（3）由（2）知，
g（a）=，
则其值域为（﹣∞，3]．
点评：本题综合考查了二次函数的最值，单调区间及分段函数的值域，属于中档题．!@p36428 8E4C 蹌:r26690 6842 桂34642 8752 蝒S$39192 9918 餘S 39107 98C3 飃30793 7849 硉。