等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法
高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢?
证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。

一、定义法
10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：
a n
4 - a n
= d （常数）=「是等差数列
a
2n .2
一 a
2n = d
（常数）=〔a 2n
?是等差数列 a 3n .3 - a ?. = d （常数）=【a 3“是
等差数列
20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：
a n -a nj = d （n - 2）=「即是等差数列 a n
.1 - a .二a . - an/n - 2）=心話是等差数列
30.证明数列是等比数列的充要条件的方法:
40.证明数列是等比数列的充要条件的方法: （n>2, q 为常数且工0） = N ｛为等比数列 注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n -a n 」二d 和anj-an^d 有差别，前者 必须加上“n > 2 ”否则n=1时a 。

无意义，等比中一样有：n > 2时，有旦=|l|=q a n J
例1.设数列a i ,a 2」l （,a n ,川中的每一项都不为0。

证明：玄［为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有
Si a 2 a 2a 3 a n a n '1 a 1a n 1
证明：先证必要性
设｛a n ｝为等差数列，公差为d ,则
a
n 1
a n
二q （q =0且为常数, ai =0）：=「an ［为等比数列
a n
-=q
a n 4
②n ・N ”时，有也"l"q
a n
（常数=0）.
a 1 a n - a 2 a n 4 =a 3 + a n -2
当d =0时，显然命题成立 当d 工0时，
1
1 ‘1 丄、
a n a
n +
d
(4
a n
-1 j
证：=)若｛a n ｝为等差数列，则
再证充分性: 1
3l 32
32 曰3 93 日4
1 3n 1
n 3] 3n 1
①
'•
a 〔 a ? a ? 83
93 日4
a
n
a
n 1
②—①得:
1
_ n 1 n
a
n 1
a n 2
a 1 a
n 2
a l
a
n 1
两边同以a n a n 1a 1得：a 1 =(门/归厂-na n 2 .................. ③ 冋理：= na * _ (n - 1)a n 1
③—④得：2na n 1 二 n(a n a n 2) 即：％ 2 - a
n 厂
a
n 1 - N
也：为等差数列
例2.设数列｛a .｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是
S n 二
n(a 「a 』 2
(n N *)。

2S n 二⑻ a n )心 2 a nd ..................................... (a .，aj
n(a i - a n ) -2
整理得：a n+i — a n =ai —a n -1，对任意n 》2成立. 从而｛a n ｝是等差数列.
例3.已知数列是等比数列(q = -1 ) , S n 是其前n 项的和，则
S k , S 2k -S k , S 3k -S 2k ，…，仍成等比数列。

证明一:
(1)当q=1时，结论显然成立;
2
(2)
S
=S k ( §3 k - S
2 k )
(—)当n 》2时，由题设,
S n J
(n -1)佝 a n 」) 2
，S n
n(a 「a .)
2 所以a n = S n - S n 」
n(a 「a ?) 2
(n - 1)佝 a . J
2 同理有a n 彳
(n 1)佝 ％ J
2
g
a .)
2
从而
a n
・
1 - a n
(n
豊宀一询a n
)心号S
2 2
⑵当 q = 1 时，Sk=Hh£,S 2k 「1
「q
2k
1 -q
1-q
,S 3k
1 -q
S 2k - S k
冃 1 — q 2k a 1 —q k
aQ k 1 -q k
1 -q
1 -q
1 -q S 3k - S 2k
a 1 1 -q 3k d 1 -q 2k
aq 2k 1 -q k
1-q
1 -q
1-q
2 2k
k
2
S 2「S k 2」…
2 2k (1-q)2
S k
(S 3^ _ S 2k
)=
印 1 - q k dq 2k 1_q k
a 「q 2k 1_q k
1-q
1-q
(1-q)2
--S k，S2k _ S k，S3k _ S2k 成等比数列.
证明一：S2k —S k = (a i a2 a^ IICQ —佝a2 a^ ||&)
k k
=a k i ■ ak 2 a k 3 |l(a2k = q 佝a2 a3■ |||a k) = q S^. 0
冋理，S3k —S2 k = a2k 1 ' a2k 2 ' a2k 3，丨I （a3k = q S k = 0 二S k, S2k 2, S3k - Ek 成等比数列。

二、中项法
（1）.（充要条件）
若2a n a n a n .2 =「aj是等差数列
（注：三个数a,b,c为等差数列的充要条件是:2^ a c）
（充分条件）
2a n =a n 1 a n』（n _2）= { a n}是等差数列，
（2）.（充要条件）
若a.a n 2 二a n 12（a n = 0）= {a.}是等比数列
（充分条件）
2
an =an 1 anJ（n> 1） = {a n}是等比数列，
注：
b=J：ac且（a c • 0）=是a、b、c等比数列的充分不必要条件b = -、Jac=是
a、b、c等比数列的必要不充分条件.
b hg ac且（a
c 0）=是a、b、c等比数列的充要条件.
任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac>0,则等比中项一定有两个
三、通项公式与前n项和法
1. 通项公式法
（1）.若数列通项a n能表示成a n二a n，b （a, b为常数）的形式，则数列玄?
是等差数列。

（充要条件）
(2).若通项a n能表示成a n =cq n(c q均为不为0的常数，n N )的形式，则数列:a n
/是等比数列.(充要条件)
2. 前n项和法
(1).若数列的前n项和S n能表示成Sn =an2• bn (a, b为常数)的形式，则数列a
1是等差数列；(充要条件)
(2).若S n能表示成S n = Aq n—A(A q均为不等于0的常数且q M 1)的形式，则数
列玄［是公比不为1的等比数列.(充要条件)
四、归纳一猜想---数学归纳证明法
先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。

这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“ n = k时
命题成立”到“ n =k 1时命题成立”要会过渡.
五、反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑.
六、等差数列与等比数列的一些常规结论
若数列｛a n｝是公比为q的等比数列，
则
(1)数列｛a n｝｛■ a n｝( ■为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；
(2)若｛b n｝是公比为q的等比数列，则数列｛a nL b n｝是公比为qq的等比数列；
(3)数列丄是公比为1的等比数列；
laj q
(4)｛a n｝是公比为q的等比数列；
(5)在数列｛a n｝中，每隔k(k・N )项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍
为等比数列且公比为q k1；
（6）若m, n, p（m, n, p. N ）成等差数列时,a“, a p成等比数列；
（7）S n, S2n-&, S3n-S2n 均不为零时，则S n, En - - En 成等比数列；
（8）若｛log b a n｝是一个等差数列，则正项数列｛a n｝是一个等比数列.
若数列｛a n｝是公差为d等差数列，
则
（1）｛ka n b｝成等差数列，公差为kd （其中k = 0, k, b是实常数）；
（2）｛S（n1）k-S kn｝, （k N, k为常数），仍成等差数列，其公差为k2d ；
（3）若｛a n｝｛ b n｝都是等差数列，公差分别为d1, d2，则｛务一5｝是等差数列，公差为d^d2；
（4）当数列｛a n｝是各项均为正数的等比数列时，数列｛lg a n｝是公差为lgq的等差数列；
（5）m, n, p（m, n, p N）成等差数列时，a m, a“, a p成等差数列.。