集合与函数基本概念例题和知识点总结

集合与函数基本概念例题和知识点总结
在数学的学习中，集合与函数是非常重要的基础知识。

它们不仅是后续数学学习的基石，也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。

下面我们将通过一些例题来深入理解集合与函数的基本概念，并对相关知识点进行总结。

一、集合的基本概念
集合是把一些确定的、不同的对象作为一个整体来考虑。

集合中的对象称为元素。

例如，“所有小于 10 的正整数”就可以构成一个集合，记为 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 。

集合的表示方法通常有列举法、描述法和图示法。

列举法就是将集合中的元素一一列举出来，如上面的例子。

描述法是用集合中元素所具有的共同特征来描述集合，比如 B ＝｛x ｜ x 是大于 5 小于 15 的整数} 。

图示法常用的有韦恩图，能直观地表示集合之间的关系。

集合之间的关系有子集、真子集、相等。

如果集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素，就说 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B 。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A ，则 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B 。

如果 A 和 B 的元素完全相同，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B 。

来看一个集合的例题：已知集合 A ＝｛1, 2, 3} ，集合 B ＝｛x ｜x² 6x ＋ 8 ＝ 0} ，判断 A 和 B 的关系。

首先求解集合 B 中的方程 x² 6x ＋ 8 ＝ 0 ，即（x 2)（x 4) ＝ 0 ，解得 x ＝ 2 或 x ＝ 4 ，所以集合 B ＝｛2, 4} 。

可以看出集合 A 中的元素 1 和 3 不在集合 B 中，集合 B 中的元素 2 和 4 也不在集合 A 中，所以 A 和 B 没有包含关系。

二、函数的基本概念
函数是一种特殊的对应关系。

设 A 、 B 是非空的数集，如果按照
某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。

函数的三要素是定义域、值域和对应法则。

定义域是指自变量 x 的取值范围；值域是函数值的取值范围；对应法则则是给出了自变量与函数值之间的关系。

例如，函数 f(x) ＝√x ，其定义域为x ≥ 0 ，值域为f(x) ≥ 0 。

函数的表示方法有解析式法、列表法和图像法。

解析式法就是用数学表达式来表示函数关系，如 f(x) ＝ 2x ＋ 1 。

列表法是通过列出表格来表示函数关系。

图像法是用函数的图像来直观地表示函数。

来看一个函数的例题：已知函数 f(x) ＝ 1 ／（x 1) ，求其定义域。

因为分母不能为 0 ，所以x 1 ≠ 0 ，即x ≠ 1 ，所以函数的定义域为｛x ｜x ≠ 1} 。

三、函数的性质
函数常见的性质有单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某个区间内是递增还是递减。

如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、
x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么就说函数 f(x) 在区间D 上是增函数；反之，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数 f(x) 在区间 D 上是减函数。

例如，函数 f(x) ＝ x²在区间（∞， 0) 上是减函数，在区间（0, ＋∞）上是增函数。

奇偶性是指函数图像关于原点对称还是关于 y 轴对称。

如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做偶函数。

例如，函数 f(x) ＝ x 是奇函数，函数 f(x) ＝ x²是偶函数。

周期性是指函数在一定的区间内重复出现相同的性质。

如果存在一个非零常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，
f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，那么就把函数 y ＝ f(x) 叫做周期函数，周期
为 T 。

四、集合与函数的综合应用
集合与函数的知识常常综合在一起考查。

例如，已知集合 A ＝｛x ｜－2 ≤ x ≤ 5} ，函数 f(x) ＝√（x 1) ，
求函数 f(x) 的定义域与集合 A 的交集。

函数 f(x) 的定义域为x 1 ≥ 0 ，即x ≥ 1 ，所以函数 f(x) 的定义域与
集合 A 的交集为｛x ｜1 ≤ x ≤ 5} 。

通过以上的例题和知识点的讲解，我们对集合与函数的基本概念有
了更深入的理解。

在学习过程中，要多做练习题，加深对这些概念的
掌握和应用，为后续的数学学习打下坚实的基础。

总之，集合与函数是数学中重要的基础概念，只有深入理解和掌握，才能在数学的学习道路上越走越远。

希望大家在学习中不断总结，不
断提高自己的数学素养。