二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件

(1) sin 15 c os15
1 (2sin15cos15) 2
tan 22.5 (3) 1 tan2 22.5
1 2
2 1
tan 22.5 tan2 22.5
1 sin 30 1 1
2
22
1 4
1 tan 45 2
1 2
例15. 已知sin 2 5 , ，
13 4
2
求 sin 4，cos 4，tan 4的值.
4
8
88
5 5 25
cos
cos(2 ) cos2 sin2
( 4)2 ( 3)2
7
,
4
8
885ຫໍສະໝຸດ 5 25tan 4
sin
4
cos
24
25 7
24 . 7
4 25
练习：课本135页 2
解：∵sin( ) sin 3 , sin 3 ,sin2 9
5
5
25
cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 ,
3
3
9
全优77页基础夯实
例6、在△ABC中，cos A 4 , tan B 2,求 tan（2A 2B）的值。 5
解法1 在△ABC中， 由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
3
3
9
sin 2 2sin cos 2 ( 2 2 ) 1 4 2 ,
33 9
cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin
4
4
4
7 2 4 2 2 7 2 8.
92 9 2
18
例4.求8sin cos cos cos 的值.
48 48 24 12
解：8sin cos cos cos
分析：先求 cos 2的值，再利用公式求值.
解：由 , 得 2 .
4
22
又因为sin 2 5 , 13
注意 2 的范围
所以cos 2 1 sin2 2 1 ( 5 )2 12 . 13 13
所以sin 4 2sin 2 cos 2
2 5 ( 12) 120 ; 13 13 169
sin 2 2sin cos S2
cos 2 cos2 sin2 C2
tan 2
2 tan 1 tan2
T2
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字等不能省去.
公式说明
2.当
=k
2
(k
Z)
时， tan
的值不存在，
求 tan 2 的值可利用诱导公式.
公式理解加深训练
cos[ ( )] cos( ) cos 3 .
5
∵是第二象限角，sin 1 cos2 4 .
5
tan sin 3， cos 4
全优77页基础夯实
tan 2
2 tan 1 tan2
24 . 7
cos2 cos2 sin2 sin2+cos2=1
sin2=1-cos2
所以tan(A B) tan A tan B
32 4
11.
1 tan A tan B 1 3 2 2
4
所以tan(2A 2B)
1
2
tan( A B) tan2 ( A B)
2 (11)
2
1 ( 11)2
44 . 117
2
二倍角的正弦、余弦、 正切公式
讲授新课
令 !
sin 2 ? sin(+)=sincos+cossin
sin( ) sin cos sin cos
sin 2 2sin cos
cos2 ? cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
5 25
cos 2 cos2 sin2
16 9 7 . 25 25 25
cos( )cos sin( )sin cos( ) cos 1 ,
3
∵ (3 ,2 ),sin 1 cos2 1 (1)2 2 2 ,
2
3
3
cos 2 cos2 sin2 (1)2 ( 2 2 )2 7 ,
48 48 24 12
=4 （2 sin cos ）cos cos
48 48
24 12
=4sin cos cos
24 24 12
2 (2sin cos ) cos
24 24 12
2sin cos
12 12
sin 1 .
62
解析：f (x) sin x cosx 3 cos2 x 3 2
2 (1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)在区间[0, ]上的最大值和最小值 .
2
解：(2)当x [0, ]时，2x [ , 5 ].
2
6 66
又由函数y sin x在[ , 5 ]上的图像知，
66
sin(2x ) [ 1 ,1],sin(2x ) 1 [0, 3],
cos2= cos2-(1-cos2)=2cos2-1
cos2=1-sin2
cos2= (1-sin2)-sin2=1-2sin2
倍角公式：
sin2= 2sincos
cos2= cos2-sin2
cos2=1-2sin2
cos2=2cos2-1
tan
2
2 tan 1 tan2
变形公式
升幂公式：1＋c os 2 1 cos2
cos2 cos2 sin2
讲授新课 tan 2 ? 令 !
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan
2
2 1
tan tan2
在二倍角正切公式中,只有 k
2
且 k , k Z,公式才有意.
42
倍角公式
1 sin 2x 3 (2 cos2 x 1)
2
2
1 sin 2x 3 cos2x sin(2x )
2
2
3
最小正周期为T 2 .
2
全优95页
5.已知函数 f (x) 3 sin x sin(x ) sin2 x, x R。
2 (1)求函数f (x)的最小正周期；
(2)求f (x)在区间[0, ]上的最大值和最小值 .
4 3
(
4)
44 117
.
73
还可以把 2A 2B 看作 2(A B)
解法2 在ABC中，由cos A 4 , 0 A , 得 5
sin A 1 cos2 A 1 ( 4 )2 3 . 55
所以tan A sin A 3 5 3 . cos A 5 4 4
因为tan B 2,
cos 4 1 2sin2 2
1 2 ( 5 )2 119 ; 13 169
tan 4 sin 4 (120)169 120 . cos 4 169 119 119
解：∵8 12 , 3
82
sin 1 cos2 1 ( 4)2 3 ,
8
8
5
5
sin sin(2 ) 2sin cos 2 ( 3) ( 4) 24 ,
tan 2A
2 tan A
2 3 4
24 .
1 tan2 A 1 ( 3)2 7
4
因为tan B 2,
所以tan 2B 2 tan B 2 2 4 . 1 tan2 B 1 22 3
所以tan(2A 2B) tan 2A tan 2B 1 tan 2A tan 2B
1
24
7 24
1．sin
2sin_4_ cos_4_
2
2.cos cos2 _2_ sin2 _2_
3
3.tan 3 2 tan_2_
1 tan 2 _3_
2
5.已知 cos cos( ) sin sin( ) 3
5
且是第二象限角，则 tan 2 _______.
解析：∵cos cos( ) sin sin( )
2 cos2 2sin 2
降幂公式：scions22＝＝11－＋cc2o2oss22
练习：课本135页 5(2)(4)
(2) cos2 sin2
8
8
cos( ) cos 2 .
88
42
(4)2 cos2 22.5 1
cos(2 22.5) cos45 2 .
2
练习：课本135页 5(1)(3)
62
62 2
函数f (x)在[0, ]上的最大值为3，最小值为0.
2
2
2.若sin( ) 1 ,则cos(2 2 )的值为（）.
6
3
3
A. 7 B. 1 C. 1 D. 7
9
3
3
9
解析：∵sin(
)
sin(
)
6
23
sin[ ( )] cos( ) 1
23
3
3
cos(2 2 ) 2 cos2 ( ) 1 7 .
2
解：(1)∵ f (x) 3 sin x cosx 1 cos2x 1
2
2
3 sin 2x 1 cos2x 1
2
2
2
sin(2x ) 1 ,
62
T 2 ，即函数f (x)的最小正周期是 .
2
5.已知函数 f (x) 3 sin x sin(x ) sin2 x, x R。