上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题(word版 含答案)

上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知,a b ∈R ，命题：若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠的逆否命题是__．
2．6212x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中的常数项是_______________. 3．如图所示，弧长为2
π，半径为1的扇形(及其内部)绕OB 所在的直线旋转一周，所形成的几何体的表面积为___________.
4．设 i 是虚数单位，复数12ai i
+-为纯虚数，则实数a 为________________ 5．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝____________. 6．某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要___________天.(结果取整)
7．某校开设9门选修课程，其中A ，B ，C 三门课程由于上课时间相同，至多选一门，若规定每位学生选修4门，则一共有___________种不同的选修方案.
8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 以每秒
2π的角速度从点A 出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B ，再以每秒3
π的角速度从点B 沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O ，则上述过程中动点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数表达式为___________.
二、单选题
9．若a b >，c d >，则下面不等式中成立的一个是（ ）．
A ．a d b c +>+
B ．ac bd >
C ．d a c b -<-
D ．a b c d > 10．下列四个选项中正确的是（ ）
A ．关于,x y 的方程220x y Dx Ey F ++++=(,,R D E F ∈)的曲线是圆
B ．设复数12,z z 是两个不同的复数，实数0a >，则关于复数z 的方程
122z z z z a -+-=的所有解在复平面上所对应的点的轨迹是椭圆
C ．设,A B 为两个不同的定点，k 为非零常数，若|PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支
D ．双曲线221259x y -=与椭圆2
2135
x y +=有相同的焦点 11．在平面直角坐标系xOy 中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O )于A 、B 两点.若A 、B 两点的纵坐标分别为正数a 、b ，且os 0()c αβ-≤，则a +b 的最大值为( )
A ．1
B C ．2 D ．不存在
三、解答题
12．如图所示，等腰梯形ABFE 是由正方形ABCD 和两个全等的Rt △FCB 和Rt △EDA 组成，1AB =，2CF =.现将Rt △FCB 沿BC 所在的直线折起，点F 移至点G ，使二面角E BC G --的大小为60.
（1）求四棱锥G ABCE -的体积；
（2）求异面直线AE 与BG 所成角的大小.
13．设2()12
x
x a f x +=-，其中常数R a ∈. （1）设0a =，(1,)D =+∞，求函数()y f x =(x D ∈)的反函数；
（2）求证：当且仅当1a =时，函数()y f x =为奇函数.
14．如图所示，在河对岸有两座垂直于地面的高塔CD 和EF .张明在只有量角器(可以测量从测量人出发的两条射线的夹角)和直尺(可测量步行可抵达的两点之间的直线距离)的条件下，为了计算塔CD 的高度，他在点A 测得点D 的仰角为30，75CAB ∠=，又选择了相距100米的B 点，测得60ABC ∠=.
（1）请你根据张明的测量数据求出塔CD 高度；
（2）在完成（1）的任务后，张明测得90BAE ∠=，并且又选择性地测量了两个角的大小(设为α､β).据此，他计算出了两塔顶之间的距离DF .
请问：①张明又测量了哪两个角？(写出一种测量方案即可)
②他是如何用,αβ表示出DF 的？(写出过程和结论)
15．2(5)n n ≥个正数排成n 行n 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数q 的等比数列.
111213121
222323132333123n n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭
已知121a =，142a =，55532a =
. （1）设1n n b a =，求数列{}n b 的通项公式；
（2）设1121311n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+，求证：1n S <(n *∈N )；
（3）设112233n nn T a a a a =+++⋅⋅⋅+，请用数学归纳法证明：*22()2
N n n n T n +=-∈. 16．如图所示，定点F 到定直线l 的距离3MF =.动点P 到定点F 的距离等于它到定直线l 距离的2倍.设动点P 的轨迹是曲线Γ.
（1）请以线段MF 所在的直线为x 轴，以线段MF 上的某一点为坐标原点O ，建立适当的平面直角坐标系xOy ，使得曲线Γ经过坐标原点O ，并求曲线Γ的方程；
（2）请指出（1）中的曲线Γ的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.
（3）设（1）中的曲线Γ除了经过坐标原点O ，还与x 轴交于另一点C ，经过点F 的直线m 交曲线Γ于A ，B 两点，求证：CA CB ⊥.。