2017年广州市南沙区高一下学期数学期中考试试卷

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

8. 已知 a > 0,b > 0,且 2a + b = 4,则
的最小值为
2017 年广州市南沙区高一下学期数学期中考试试卷
一、选择题(共 12 小题;共 60 分)
1. 已知数列 a n (n ∈ N ∗)是等比数列,a 1 = 8,a 4 = 1,则公比 q =
A. − 1
2
B. −2
C. 2
D. 1
2
2. 设 a , b , c ∈ R ,且 a > b ,则
A. ac > b c
B. a 3 > b 3
C. a 2 > b 2
D. 1 < 1
a
b
3. 在 △ ABC 中,内角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ,a = 1,b = 6,C = 60∘,则 △ ABC 的面积

A. 3
2
B. 3
2
3
C. 3 3
D. 3
4. 若正方体的表面积为 24cm 2,则它的体积是
A. 4cm 3
B. 16cm 3
C. 64cm 3
D. 8cm 3
5. 在等差数列 a n n ∈ N ∗ 中,已知 a 1 = 2,a 2 + a 3 = 13,则 a 4 + a 5 + a 6 =
A. 40
B. 42
C. 43
D. 45
6. △ ABC 内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 a cos B = b cos A ,则 △ ABC 的形状一定是
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
7. 设 S n 是等差数列 a n n ∈ N ∗ 的前 n 项和,已知 a 2 = 3,a 6 = 11,则 S 7 =
A. 13
B. 35
C. 49
D. 63
1
ab
A. 1
B. 4
C. 1
D. 2
4
2
9. 利用斜二测画法得到的下列结论正确的是
①三角形的直观图是三角形;②平行四边形的直观图是平行四边形;③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
A. ①②
B. ①
C. ③④
D. ①②③④
10. 在数列 a n n ∈ N ∗ 中,a 1 = 1,a n − a n−1 =
1 n n−1
n ≥ 2 ,则 a n =
A. 2 − 1
n
B. 1 − 1
C. 1
n n
D. 2 − 1 n−1
11. 关于 x 的不等式 ax 2 + 2ax − 4 < 0 对一切 x ∈ R 恒成立,则 a 的取值范围是
A. −4,0
B. −∞, 0
C. −4,0
D. 0,4
12. 已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位: cm )
,则这个几何体的体积是
x+1x≥0的最小值,并求相应的x的值;
A.1cm3
3B.2cm3
3
C.4cm3
3
D.8cm3
3
二、填空题(共4小题;共20分)
13.在△ABC中,若sin A:sin B:sin C=2:3:4,则cos C=.
14.设x,y为正实数,且x+2y=1,则1+1的最小值为.
x y
y≤x,
15.若实数x,y满足约束条件x+y≤1,则z=2x+y的最大值是.
y≥−1,
16.定义在−∞,0∪0,+∞上的函数f x,若对于任意给定的等比数列a
n n∈N∗,有f a
n
仍是等比数列,则称f x为“保等比数列函数”.现有定义在−∞,0∪0,+∞上的如下函数:
①f x=x2;②f x=2x;③f x=x;④f x=ln x,则其中是“保等比数列函数”的
f x的序号为.
三、解答题(共6小题;共78分)
17.已知数列a
n n∈N∗为等差数列,且a
3
=−6,a
6
=0.
(1)求数列a n的通项公式;
(2)若等比数列b n满足b1=−8,b2=a1+a2+a3.求数列b n的前n项和S n.
18.设△ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c,且b sin A=3a cos B.
(1)求角B的大小;
(2)若b=3,sin C=2sin A,求a,c的值.
19.已知二次函数f x=x2+bx+c,且不等式f x<0的解集为x1<x<3.
(1)求f x的解析式;
(2)若不等式f x>mx−1对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.
20.(1)求函数f x=x+2
(2)解关于x的不等式:x2−3a+1x+2a a+1<0a∈R.
21.如图,A,B是海面上位于东西方向相距53+3海里的两个观测点,现位于A点北偏东45∘,
B点北偏西60∘的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60∘且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时.
2
4
(1)求 BD 的长;
(2)该救援船达到 D 点需要多长时间?
22. 设数列 b n n ∈ N ∗ 的前 n 项和为 S n ,且 b n = 2 − 2S n .
(1)求数列 b n 的通项公式;
(2)若 c n = n ⋅ b n ,设 T n 为数列 c n 的前 n 项和,求 T n ;
(3)是否存在自然数 m ,使得
不存在,说明理由.
m−2 4
< T n < m 对一切 n ∈ N ∗ 恒成立?若存在,求出 m 的值;若
等比数列b n的公比q=b2=3,S n=a1
1−q =−8
1−3
=41−3n.
x+1−1,
x+1
=x+1+
x+1−1≥22−1,
答案
第一部分
1.D
2.B
3.B 6.D7.C8.C
4.D
9.A
5.B
10.A
11.A12.C 第二部分13.−1
4
14.3+22
15.3
16.①③
第三部分
17.(1)设等差数列a
n n∈N∗的首项为a
1
,公差为d,
a 6−a
3
=3d=6⇒d=2,a
3
=a
1
+2d=−6⇒a
1
=−10.
通项公式a n=a1+n−1d=2n−12.
(2)由已知b2=a1+a2+a3=−10−8−6=−24,
b1
1−q n1−3n
18.(1)由正弦定理及已知b sin A=3a cos B可得:b sin A=3a cos B⇒sin B sin A=3sin A cos B.A∈0,π,sin A>0,上式变形为tan B=3>0,且B∈0,π,tan B>0,B=π.
3(2)b=3,sin C=2sin A⇒c=2a,
由余弦定理可得:b2=a2+c2−2ac c os B=a+c2−2ac1+cos B,
即a+c2−2ac1+cos B=a+c2−3ac=9,解得:a=3,c=23.
19.(1)二次函数f x=x2+bx+c,且不等式f x<0的解集为x1<x<3,
1,3是方程x2+bx+c=0的两根,即b=−1+3=−4,c=1×3=3,
f x=x2+bx+c=x2−4x+3.
(2)不等式f x>mx−1对于x∈R恒成立,即x2−m+4x+4>0对于x∈R恒成立,
只需Δ=m+42−16<0⇒−8<m<0,
实数m的取值范围为−8,0.
20.(1)函数f x=x+22
因为x≥0,x+1≥1,由基本不等式可得:
f x=x+2
x+1
=x+1+2
取“=”条件:x+1=2
x+1
⇒x=2−1≥0,
函数f x=x+2
x+1
x≥0的最小值为22−1,x=2−1.
(2)关于x的不等式:x2−3a+1x+2a a+1<0,
即x−2a x−a−1<0,对应方程两根为2a,a+1,以下分类讨论:
①当2a=a+1⇔a=1时,原不等式即为x−22<0,解集为∅;
= ⇒
=
⇒ = 5 3+
3 + 10 3 3
b n −1 = 1,
3

3 3
2
3 +2 ⋅ 3 +3 ⋅ 3 + ⋯ + n ⋅
3 ,
3 +2 ⋅
3 +3 ⋅
3 + ⋯ + n ⋅ 所以 2 T n = + + + ⋯ + − n ⋅
3

3 .
4
4
4 4
3
4 ; 4 3 4
4 对一切 n ∈ N ∗ 恒成立,则
≤ m ,
m− 2 < 1 且 m 是自然数,故 m = 3.
②当 2a > a + 1 ⇔ a > 1 时,原不等式即为 x a + 1 < x < 2a ; ③当 2a < a + 1 ⇔ a < 1 时,原不等式即为 x
2a < x < a + 1 .
综上所述,当 2a = a + 1 ⇔ a = 1 时,原不等式即为 x − 2 2 < 0,解集为 ∅; 当 2a > a + 1 ⇔ a > 1 时,原不等式即为 x a + 1 < x < 2a ; 当 2a < a + 1 ⇔ a < 1 时,原不等式即为 x
2a < x < a + 1 .
21. (1) 由已知条件可得:在 △ ABD 中,AB = 5 3 + 3 ,∠DAB = 45∘,∠ABD = 30∘, 所以 ∠ADB = 105∘, 由正弦定理得:
BD sin ∠DAB
AB BD AB BD sin ∠ADB sin 45∘ sin 105∘ 2 6+ 2
2
4
, BD = 10 3.
(2) 在 △ BCD 中,∠CBD = 60∘,BC = 20 3,BD = 10 3, 由余弦定理得:CD 2 = BC 2 + BD 2 − 2BC ⋅ BD ⋅ cos ∠CBD .

CD 2
= 20 3 2 2 − 2 ⋅ 20 3 ⋅ 10 3 ⋅ cos60∘
= 900.
则 CD = 30 海里,该救援船达到 D 点需要时间为:30 = 1 小时.
30
22. (1) 由已知 b n = 2 − 2S n ,
当 n = 1 时,b 1 = 2 − 2S 1 = 2 − 2b 1 ⇒ b 1 = 2,
当 n ≥ 2 时,2S n + b n = 2,2S n−1 + b n−1 = 2,两式相减得: 3b n = b n−1 n ≥ 2 ⇒ b n
3 数列 b n
n ∈ N ∗ 是以 b 1 = 2 为首项,以 1 为公比的等比数列,通项公式 b n = 2 ⋅
1 n
(2) 由已知 c n = n ⋅ b n = n ⋅ 1 n 3 ,用错位相减法求和 T n :
T n = 1 ⋅
1
T =1 ⋅
3 n
1 1 1
2 1
3 1 n
1 2 1 3 1 4
1 n +1 3

1 1 1
2 1
3 1 n 1 n +1 3
3 3 3 3
3
= 1 − 2n +3 1 n
2 6
T n = 3 − 2n +3
1 n
(3) 假设存在自然数 m ,使得 m− 2 < T n < m 对一切 n ∈ N ∗ 恒成立,
一方面,T n +1 − T n = b n +1 =
n +1
3n +1
> 0,则数列 T n 单调递增,故 T n ≥ T 1 = c 1 = 1;
另一方面,T n = 3 − 所以 1 ≤ T n < 3,
2n +3 1 n < 3 4 3
若 m− 2 4
< T n <
m
3 4 4
4 3。

相关文档
最新文档