初中数学教师基本能力竞赛(含答案)

第5题图
第6题
初中数学教师基本能力竞赛
全卷共四大题28小题，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1、雄风商城春节期间，开设一种摸奖游戏，中一等奖的机会为20万分之一，用科学记数法表示为（ ）
A 、2×10-5
B 、5×10-6
C 、5×10-5
D 、2×10-6
2、图(1)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A ，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A 点距桌面的高度为10厘米。

如图(2)，若此钟面显示3点45分时，A 点距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，A 点距桌面的高度为（ ）？
A 、（22－3 3）厘米
B 、（16＋π）厘米
C 、18厘米
D 、19厘米
3、已知一组正数12345,,,,x x x x x 的方差为：2
2
2222123451(20)5
S x x x x x =
++++-，则关于数据123452,2,2,2,2x x x x x + + + + +的说法：①方差为S 2；②平均数为2；③平均数为4；④方差为4S 2。

其中正确的说法是（ ）
A 、 ①②
B 、①③
C 、②④
D 、③④
4．如图，ABC ∆的角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，点是O A B C ∆的外心，
，于，于E AC OE D BC OD ⊥⊥，于F AB OF ⊥ 则OD OE OF =∶∶（ ） ．
A 、a b c ∶∶
B 、
c
b a 1
:1:1 C 、C B A cos :cos :cos D 、C B A sin :sin :sin
5、用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点拼在一起，刚好能完全铺满地面．已知正
A
B C
E
F
O
第8题图
A
B Q O x
y
第10题
多边形的边数为x 、y 、z ，则
z
y x 1
11++的值为（ ） A 、1 B 、
32 C 、
2
1 D 、
3
1 6、如图，以Rt △ABC 的斜边BC 为一边在△ABC 的同侧作正方形BCEF ，设正方形的中心
为O ，连结AO ，如果AB =4，AO =26，那么AC 的长等于( ) A 、12 B 、16 C 、43 D 、82
7、已知函数()()()()
2
2
113513x x y x x ⎧--⎪
=⎨--⎪⎩≤＞，则使y =k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ）
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
8、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，)2,(n Q 是图象上的一点，且BQ AQ ⊥，则a 的值为（ ）． A 、13-
B 、1
2
- C 、－1 D 、－2 9、将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为ａ，第二次掷出的点数为ｂ，则使关于y x ,的方程组
2
23
=+=+y x by ax 只有正数解的概率为（ ）
A 、
121 B 、92 C 、185 D 、36
13 10、如图，在平面直角坐标系xoy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，
-1），C （-2，-1），D （-1，1）。

y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，…，重复操作依次得到点P 1，P 2，…，则点P 2012的坐标是( ) A 、（2012，2） B 、（2012，-2） C 、（2010，0） D 、（-2012，0）
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 11、已知关于x 的分式方程
2
1212
-+=--++x x a
x x x x 的解为正数，则a 的范围为 。

12、池塘中竖着一块碑，在高于水面1米的地方观测，测得碑顶的仰角为︒20，测得碑顶在水中倒影的俯角为︒30（研究问题时可把碑顶及其在水中的倒影所在的直线与水平线垂直），则水面到碑顶的高度为 （精确到0.01米，747.270tan ≈︒）。

13、若反比例函数的图像与一次函数x
k
y =
b ax y +=的图像相交于),5(),,2(n B m A -两点，则的值等于b a +3 。

14.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ∥5l ，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD 的三个顶点在平行直线上，
90=∠ABC 且AB=3AD ，则αtan = 。

15、如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE =BC ，AB =3，BC =4，点P 为线段EC 延长线上的任意一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R 。

则PR 与PQ 之间具有怎样的数量关系式： 。

16、如图，两平行线AB 、CD 间的距离为6，点M 为AB 上一定点。

圆心为O 的扇形纸片MOP 在AB 、CD 之间（包括AB 、CD ），其半径为4，设∠MOP =α。

现将扇形纸片MOP 绕点M 在AB 、CD 之间顺时针旋转，若扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围 。

（参考数据：sin 49°=34，cos 41°=3
4
，tan 37°=
3
4
） 17、如图，△ABD 和△ACE 是等腰直角三角形，∠BAD 与∠CAE 是直角，若AB =4，BC =2，AC =3，则DE 的长为 ．
18．如图，正方形1112A B PP 的顶点1P 、2P
在反比例函数2
(0)y x x
=>的图象上，顶点1A 、1B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ，顶点3P 在反比例函
α
A
B
C
D
第14题图
2l 1l 3
l 4l 5l 第15题
第16题
(第18题)
1
P 2
P
1
A 1
B 2
A
2B
3
P
x
y
O
O
A
B
D
C
E
O
A
B
D
C 数2
(0)y x x
=>的图象上，顶点2A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为 。

19、如图, 两圆同心, 半径分别为6与8, 又矩形ABCD 的边AB 和 CD 分别为小大两圆的
弦. 则当矩形ABCD 面积最大时, 求此矩形的周长 。

20、已知直线AB 交平面直角坐标系xoy 两坐标轴的A (10，0)、B （0，5）两点，在直线AB
上有一动点M ，在坐标系内有另一点N ，若以点O 、B 、M 、N 为顶点构成的四边形为菱形，则点N 的坐标为 。

三、解答题（共8小题，满分80分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．）
21. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 相交于点O 。

若梯形ABCD 的面积为1，试求以AC ，BD ，AD BC +的长度为三边长的三角形的面积。

小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可。

他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题。

他的方法是过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，得到的△BDE 即是以AC ，BD ，AD BC +的长度为三边长的三角形（如图2）。

参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，△ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF 。

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD ，BE ，CF
F
E D
A
B
C
图1
图2
第19题
第17题
甲槽
乙槽
图1
y （厘米） 19 14 12 2 O
4 6 B
C
D A E
x （分钟）
图2
的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形的面积等于_______。

22、如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y （厘米）与注水时间x （分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）图2中折线ABC 表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE 表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B 的纵坐标表示的实际意义是________________________________； （2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？
（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积； （4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．
A
D C
B
P 1 P 2 P 3 P 4 Q 1
Q 2 Q 3 Q 4 图3
23．某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论： （1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比； （2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积） 问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC ，P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ． 经探究知2121R R P P S 四边形＝1
3 S △ABC ，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q 1，Q 2三等分边DC ．请探究2
211P Q Q P S 四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系． 问题3：如图3，P 1，P 2，P 3，P 4五等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4五等分边DC ．若 S 四边形ABCD ＝1，求3
32
2
P Q Q P S 四边形．
问题4：如图4，P 1，P 2，P 3四等分边AB ，Q 1，Q 2，Q 3四等分边DC ，P 1Q 1，P 2Q 2，P 3Q 3 将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．请探究出含有S 1，S 2，S 3，S 4的一个等式．
A
B
C
图1
P 1 P 2
R 2
R 1
A
B
C
图2
P 1 P 2 R 2 R 1
D
Q 1
Q 2
A
D
P 1 P 2 P 3
B
Q 1
Q 2 Q 3 C 图4
S 1 S 2 S 3 S 4
24、（2011•江苏苏州）已知二次函数()
()2680y a x x a =-+>的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点．
(1)如图①，连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点O '恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a 的值；
(2)如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；
(3)如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标t 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．
25、如图，给出一个基本的几何模型，其中D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，DE ∥BC ，那么我们有一些结论，如：△ADE ∽△ABC ，BC
DE AC AE AB AD ==等等.教师如果能设计一些
与该模型有密切联系的数学问题要求学生去解决，肯定会较好地激发起学生的求知欲望.
请你编写一道数学题目并给出解答，使学生在解决此问题要涉及到 该模型.这里给你两个例子，例1得分较低，例2得分较高.
例1、如图DE 平行BC ，AD =2，DB =6，EC 比AE 的2倍还大1，求AC 的长. 例2、如图，平行四边形ABCD 对角线交于O ，E 在BC 延长线上，OE 交CD 于F ，AB =3，BC =4，CF =1，求CE 的长.（解题时延长EO 交AB 于G ）.
（给出的例子略去了解答，你所编的题目必须给出解答）
A B
C D E （例1图）
G
F O
D
A
B
C
E
（例2图）
26、
(浙教版八下P 147、3):（原题展示）如图10，分别以△ABC 的边AB 、AC 为一边向外作正方形AEDB 和正方形ACFG ，连结CE 、BG 。

求证：BG =CE
27、（10分）“圆”是最重要最特殊的几何图形之一, 圆的基本性质又是基础中的基础. 请你针对“圆(第2课时)”这一教学内容(浙教版九上3.1节-2), 写出一个教材分析（写出教学过程中的教学目标、重点难点及注意事项，不需要整堂课的设计。

）
G
F D
E
A
B
C
28、“相似三角形”是平面几何中重要的概念之一，请你针对浙教版九上4.2节“相似三角形”
这一教学内容，写一个教学设计过程。

参考答案
一、选择题 B D B C C B D B D A 二、填空题
11、a ＜-1且a ≠ -3． 12、 3．41米 13、0 14、3/4 15、PR -PQ =2.4 16、a 的取值范围是98120a ≤≤
17、46 18、)13,13(-+
19、39.2cm 20、（4，8）或（5，-2.5）或(-5，2.5)或（5,52-）
三、解答题 21、
22．解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm （或乙 槽中水的深度达到14cm 时刚好淹没铁块， 说出大意即可）
（2）设线段DE 的函数关系式为 11y k x b =+，
则1116012k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，
，∴1
1
212k b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，．
DE ∴的函数关系式为212y x =-+．
设线段AB 的函数关系式为22y k x b =+，则22241412k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，，∴2232k b ⎧=⎪⎨
=⎪⎩，．
∴AB 的函数关系式为32y x =+．
由题意得21232
y x y x =-+⎧⎨
=+⎩，解得28
x y =⎧⎨=⎩． ∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．
（3） 水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍． 设乙槽底面积与铁块底面积之差为S ，则
A
B
C
图2
P 1 P 2 R 2
R 1
D
Q 1
Q 2
()()1422361914S -=⨯⨯-，
解得2
30cm S =．∴铁块底面积为236306cm -=． ∴铁块的体积为361484cm ⨯=． （4）甲槽底面积为2
60cm ．
铁块的体积为3112cm ，∴铁块底面积为2112148cm ÷=．
设甲槽底面积为2
cm s ，则注水的速度为
3122c ‎m /min 6
s
s =‍． 由题意得()26424
81914142
s s ⨯-⨯-=--，解得60s =．∴甲槽底面积为260cm ．
23、解：问题1：∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ， ∴P 1R 1∥P 2R 2∥BC ．∴△AP 1 R 1∽△AP 2R 2∽△ABC ，且面积比为1:4:9． ∴2
121R R P P S 四边形＝4－19 S △ABC ＝1
3 S △ABC
问题2：连接Q 1R 1，Q 2R 2，如图，由问题1的结论，可知 ∴2121R R P P S 四边形＝13 S △ABC ，2211Q R R Q S 四边形＝1
3 S △ACD
∴2
121R
R P P S 四边形＋2
211Q R R Q S 四边形＝1
3 S 四边形ABCD
由∵P 1，P 2三等分边AB ，R 1，R 2三等分边AC ， Q 1，Q 2三等分边DC ，
可得P 1R 1:P 2R 2＝Q 2R 2:Q 1R 1＝1:2，且P 1R 1∥P 2R 2，Q 2R 2∥Q 1R 1． ∴∠P 1R 1A ＝∠P 2R 2A ，∠Q 1R 1A ＝∠Q 2R 2A ．∴∠P 1R 1Q 1＝∠P 2R 2 Q 2． 由结论（2），可知111Q R P S ∆＝222Q R P S ∆．
∴2211P Q Q P S 四边形＝2211P R R P S 四边形＋2211Q R R Q S 四边形＝1
3 S 四边形ABCD
问题3：设2211P Q Q P S 四边形＝A ，4433P Q Q P S 四边形＝B ，设3322P Q Q P S 四边形＝C ， 由问题2的结论，可知A ＝1
3
33P ADQ S 四边形，B ＝13 CB
Q P S 22四边形
故A ＋B ＝13 (S 四边形ABCD ＋C )＝13 (1＋C )． 又∵C ＝13 (A ＋B ＋C )，即C ＝13 [1
3 (1＋C )＋C ]．
整理得C ＝1
5 ，即3322P Q Q P S 四边形＝1
5
问题4：S 1＋S 4＝S 2＋S 3．
24、。