山西省太原市第五中学2018-2019学年高二数学5月月考试题文含解析

14.对任意实数 x ，若不等式 x 1 x 2 k 恒成立，则 k 的 取值范围是_______． 【答案】 k 3
【解析】 【分析】 构造函数 y＝|x+1|﹣|x﹣2|，根据绝对值的几何意义，得函数的值域，根据不等式 |x+1|﹣|x﹣2|＞k 恒成立，则 ymin＞k，构造关于 k 的不等式，进而得到 k 的取值范围．
4
x 2
，当且仅当
等号成立
所以
a
1 4
,
．
故选：D．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求
最值，是中档题．
二、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
11.在极坐标系中，直线
cos
1与圆
4 cos
相交于
A, B 两点，则
AB
___．
【答案】 2 3
【解析】
意实数 x 恒成立，只需[2f（x）]min≥3a2﹣a﹣1 即可．
3x,
f (x) x 2,
【详解】（1）由题意得
17.已知函数 f x m 2 x ，且 f x 2 0 的解集为 1,1．
（1）求 m 的值；
1 1 （2）若正实数 a 、 b ，满足 a 2b m ．求 a 2b 的最小值．
【答案】（1）1；（2）4. 【解析】 【分析】 （1）由 f（x+2）＞0 得|x|＜m．由|x|＜m 有解，得 m＞0，且其解集为（﹣m，m），根据解
1 cos y sin
(
为参数)上的点到曲线 C2
:
x
2 2 1 2
y 1 1 t 2
t
(t
பைடு நூலகம்
为参数)上的点的
最短距离为（
）
A. 1 【答案】A
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】
【分析】
分别将圆 C1 和直线 C2 转化为直角坐标方程，然后利用圆上的点到直线的距离与圆心到直线
距离的关系从而求出最短距离。
B. m 1
C. m 2
【答案】C
【解析】
【分析】 求出|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，只需 m 大于最小值即可满足题意．
【详解】 x 5 x 3 m 有解，只需 m 大于 x 5 x 3 的最小值，
x 5 x 3 2 ，所以 m 2 ， x 5 x 3 m 有解．
故答案为：35． 【点睛】本题考查反序排列的性质，考查计算能力
三、解答题（每小题 0 分，共 40 分）
16.已知直线的极坐标方程为
sin
4
2 2
，求点
A 2,
7 4
到这条直线的距离．
2 【答案】 2
【解析】
试题分析： ，
， ，
，整理得
，在平面直角坐标系
到直线
，故答案 为 ． 考点：1、极坐标的应用；2、点到直线的距离公式．
山西省太原市第五中学 2018-2019 学年高二数学 5 月月考试题 文
（含解析）
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分，每小题只有一个正确答案）
1.过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为（
）
A. sin 4
B. 4sin
C. cos 4
D.
4 cos
【答案】C 【解析】 【分析】 根据直线与极轴垂直，直接写出直线极坐标方程即可。
【详解】将 C1 转化为直角坐标方程为 x
12
y2
1
，
所以曲线 C1 是以 1, 0为圆心，1 为半径的圆。
将 C2 转化为直角坐标方程为 x y 2 2 1 0 ，
1 2 2 1
d
2
由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离为
2
，
所以圆上的点到直线的最小距离为 d r 2 1 1，
故选 A。
【详解】消去参数 t，得：2x－y＝4，所以，与直线 2x y 0 平行，即没有公共点.
故选：C 【点睛】本题考查直线参数方程化为直角坐标方程以及直线位置关系，考查基本分析判断能 力，属基本题.
x 1 sin 40
7.直线
y
3
t
cos
40
（ t 为参数）的倾斜角是（ ）
A. 20
B. 70
【分析】
2 根据题意，设 P 为曲线 C 上任意一点，分析可得其对应圆 O 上的点的坐标为（ 2 x，y），
又由圆 O 的方程为 x2+y2＝1，分析可得答案．
【详解】根据题意，设 P x, y 为曲线 C 上任意一点，则 P 对应圆 O 上的点的坐标为
2 2 x, y ，
又由圆 O 的方程为
C. 50
D. 40
【答案】C
【解析】
【分析】
化成直角坐标方程后可得．
x 1 sin 40
【详解】由
y
3
cos
40
消去 t 得 y 3 tan 50x 1，
所以直线过点
1,
3
，倾斜角
为
50
．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线的参数方程，考查同角三角函数基本关系，属基础题．
8.曲线
C1
:
x
【详解】因为直线过 4, 0且与极轴垂直，可直接得出直线的极坐标方程为 cos 4 ，故
选 C。 【点睛】本题考察极坐标方程的应用。
2.不等式| 2x 1| 1的解集为（ ）
A. 1,1
【答案】C
1, 0
B.
C. 0,1
【解析】
【分析】
由绝对值不等式直接求解
【详解】由不等式 2x 1 1 可得 1 2x 1 1，解得 0 x 1，
故m 1；
（2）由（1）知 a 2b 1 ，又 a, b 是正实数，
由基本不等式得
1 a
1 2b
1 a
1 2b
(a
2b)
11
2b a
a 2b
4
a1 b1 当且仅当 2 ， 4 时取等号，
1 1 故 a 2b 的最小值为 4．
1 1 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式，注意求 a 2b 的最值，巧用“1”
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，准确计算是关键，是基础题
0, 2
D.
3.在极坐标系下，极坐标方程
(
3)
2
0(
0)
表示的图形是（ ）
A. 两个圆
B. 一个圆和一条直线
C. 一个圆和一条射线
D. 一条直线和一条射线
【答案】B
【解析】
(
试题分析：由
3)(
2
)
0
，得
3或
2
．因为
3
AB 2
，所以
3
.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查直线和圆的交点坐标的求法，
属于基础题.
12.在直角坐标系 xOy 中，圆 O 的方程为 x2 y2 1 ，将其横坐标伸长为原来的 2 倍，纵
坐标不变，得到曲线 C ，则曲线 C 的普通方程为_____．
x2 y2 1 【答案】 2 【解析】
集为（﹣1，1）可得
m；（2）由（1）知
a+2b＝1，则
1 a
1 2b
1 a
1 2b
a
2b
然后利用
基本不等式求解即可．
f x 2 m x
【详解】（1）∵
∴由 f x 2 0 得 x m ． 由 x m 有解，得 m 0 ，且其解集为 m, m 又不等式 f x 2 0 解集为 1,1，
故选：C．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．
D. m 2
x 1 2t
C: 6.下列直线中，与曲线 y
(t 2 4t
为参数）没有公共点的是 ( )
A. 2x y 0
B. 2x y 4 0
C. 2x y 0
D.
2x y 4 0
【答案】C 【解析】 【分析】 先将直线参数方程化为直角坐标方程，再根据方程判断直线位置关系.
3 表示圆心在极点半径为
3
的圆， 2 表示过极点极角为 2 的一条射线，故选 B．
考点：极坐标方程．
4.已知圆的极坐标方程为
P
4 sin
4
，则其圆心坐标为（ ）
A.
2,
4
B.
2,
3 4
C.
2,
4
【答案】B
2, 0
D.
【解析】
【分析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标 ( 2, 2) ，再根据极坐标与直角坐标
【答案】 6
【解析】
【分析】
设出点的 坐标，结合三角函数的定义求解 tan 的值即可.
M 2 cos,sin
【详解】设点 M 的坐标为
，由题意结合斜率的定义可得：
kOM
sin tan
tan sin
2 cos
3 ，据此可得：
cos
6
.
故答案为： 6 ．
【点睛】本题主要考查参数方程中点的坐标，三角函数的计算公式等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力.
的互化公式，即可求解.
【详解】由题意知，圆的极坐标方程为
4sin
4
，即
2
2 sin 2
2 cos ，
即 2 2 2 sin 2 2 cos ，所以 x2 y2 2 2x 2 2 y 0 ，
所以圆心坐标为 ( 2, 2) ，
又由
x
y
cos sin
，可得圆心的极坐标为
(2,
3 4
【分析】
将极坐标方程转化为直角坐标方程，将直线方程代入圆的方程，求得 A, B 的坐标，由此求得
AB
..
【详解】直线 cos 1即 x 1 .圆 4cos 两边乘以 得 2 4 cos ，即
x2 y2 4x ，令 x 1 ，解得 y
3 ，故 A 1,
3 , B 1,
【详解】对任意实数 x ，若不等式 x 1 x 2 k 恒成立，而 x 1 x 2 表示数轴上的 x 对应点到-1 对应点的距离减去它到 2 对应点的距离， 其最小值为-3，故有 k 3 ， 故答案为 k 3 ．
【点睛】本题考查的知识点是绝对值不等式，其中熟练掌握绝对值的几何意义，并分析出绝 对值函数的值域是解答此类问题的关系，本题也可以用零点分段法，将构造的函数表示为分 段函数，然后求出值域，但过程较为复杂．
∴ a 3 ，| b | 2 3 ，
S△OPM
∴
1 | OM 2
| | b |
3
．
故选：B．
【点睛】本题考查了参数方程化成普通方程，考查抛物线定义，面积公式，属中档题．
10.关于 x
ax2
的不等式
x
4a
0 的解集是 (, ) ，则实数 a 的取值范围（ ）
A.
,
1 2
B.
,
1 4
C.
)
，故选
B.
【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐
标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求
解能力，属于基础题.
5. x 为实数，且| x 5 | | x 3 | m 有解，则 m 的取值范围是（ ）
A. m >1
【点睛】本题考查圆上的点到直线的距离，若圆心距为 d ，圆的半径为 r 且圆与直线相离， 则圆上的点到直线距离的最大值为 d r ，最小值为 d r 。
x t2
9.己知在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2t
，（
t
为参数）．点
M
1,
0，
P 为 C 上一点，若 PM 4 ，则△POM 的面积为（ ）
的代换，是基础题．
18.设 f x x 1 2x 1 ．
f x 3
（1）求
的解集；
（2）若不等式
2
f
x
3a2
a
1
对任意实数
x
恒成立，求实数
a
的取值范围．
【答案】（1）
(,
1]
[1,
)
；（2）
1,
4 3
.
【解析】
【分析】
（1）对 f（x）去绝对值，然后分别解不等式即可；（2）不等式 2f（x）≥3a2﹣a﹣1 对任
A. 2 3
B. 3
C. 2
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】
消参得抛物线的方程，可知 M 为焦点，根据抛物线的定义可得 P 的坐标，从而可得面积．
x t2
【详解】由
y
2t
得
y2
4x
，∴
M
1,
0
为抛物线
C
的焦点，其准线为
x
1 ，
设 P a,b，根据抛物线的定义得 PM a 1 a 1 4 ，
1 2
,
D.
1 4
,
【答案】D
【解析】
【分析】
x 分离参数可得 a x2 4 ，根据基本不等式即可求出．
ax2
【详解】不等式
x
4a
0 的解集是 (, ) ，
即 x R
ax2
，
x
4a
0
恒成立，
当x 0，a 0，
a 1
|x| 4
当 x 0 时，
|x| ，
1 1
|x| 4
因为
|x|
x2
y2
1 ，则有
x2 2
y2
1 ；
x2 y2 1
即曲线 C 的普通方程为 2
；
x2 y2 1
故答案为： 2
．
【点睛】本题考查直角坐标系下的伸缩变化，注意伸缩变化的公式，属于基础题．
C
13.已知曲线
:
x
y
2 cos sin
， O 为坐标原点，
M
是曲线 C
上的一点， OM
与
x
轴的正半
轴所成的角为 3 ，则 tan _____．
15.设 x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 是 1，2，3，4，5 的任一排列，则 x1 2x2 3x3 4x4 5x5 的
最小值是_____． 【答案】35 【解析】 【分析】 利用反序排列，推出结果即可．
【详解】由题意可知： x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5 是 1，2，3，4，5 的反序排列时， x1 2x2 3x3 4x4 5x5 取得最小值，即1 5 2 4 3 3 4 2 51 35 ．