归纳推理 课件

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7Hale Waihona Puke 10157
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观察其数字特征： 4＋4－6＝2； 5＋5－8＝2； 5＋6－9＝2; 6＋6－10＝2； 6＋8－12＝2; 8＋6－12＝2； 7＋10－15＝2; 9＋9－16＝2. 可以发现，它们的顶点数V，棱数E及面数F有共同的关系 式： V＋F－E＝2.
如图，已知双曲线
②－①，得r1r2＝241c－2－c4oasθ2 ，
所以S△F1MF2＝c21－－ac2ossθinθ＝
b2 θ.
tan2
因为0°<θ<180°，0°<θ2<90°，
在(0°，90°)内，tanθ2的值随θ的增大而增大， 所以，当θ增大时，S△F1MF2＝ b2θ减小．
tan2
即r1·r2＝2S△F1MF2. 所以|F1F2|2－4S△F1MF2＝16， 而|F1F2|2＝(2 13)2＝52，所以S△F1MF2＝9.
(2)若∠F1MF2＝120°，在△MF1F2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝r21＋r22－2r1r2cos120°，
|F1F2|2＝(r1－r2)2＋3r1r2，所以r1r2＝12， 所以S△F1MF2＝12r1r2sin120°＝3 3. 同理可得，若∠F1MF2＝60°，则S△F1MF2＝9 3.
[分析] 仔细观察，通过几何图形的结构特征，找出三者 之间的关系．
[解析] 各多面体的面数F、顶点数V、棱数E如下表所示.
多面体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
正方体
6
8
12
多面体 正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
(3)由以上结果猜想：随着∠F1MF2(0°<∠F1MF2<180°)的 增大，△F1MF2的面积将减小．
证明如下：
令∠F1MF2＝θ(0°<θ<180°)， 则S△F1MF2＝12r1r2sinθ， 由双曲线定义及余弦定理，有
r1－r22＝4a2，
①
r21＋r22－2r1r2cosθ＝4c2. ②
(3)∵2 Sn＝an＋1， ∴2 S1＝a1＋1，即2 a1＝a1＋1，∴a1＝1. 又2 S2＝a2＋1，∴2 a1＋a2＝a2＋1， ∴a22－2a2－3＝0. ∵对一切的n∈N*，an＞0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7，猜测出an＝2n－1.
归纳推理在几何问题中的应用
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数 E，然后用归纳推理得出它们之间的关系．
[解析] (1)由已知有a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－1. 猜测出an＝2n＋1－1，n∈N* (n≥2)．
(2)由已知有a1＝a， a2＝2－1a1＝2－1 a，a3＝2－1a2＝32－－2aa， a4＝2－1 a3＝34－－23aa. 猜测出an＝n－n－1－n－n1－a2a.(n≥2)
[解析] (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝ 13， 设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2(r1>r2)， 由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4， 两边平方，得r21＋r22－2r1r2＝16. 因为在△MF1F2中，∠F1MF2＝90°， 所以|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2＝r21＋r22， 且S△F1MF2＝12|MF1|·|MF2|＝12r1r2，
归纳推理
1．由某类事物的 部分对象 具有某些特征，推出该类事物 的全部对象都具有这样特征的推理，或者由个别事实概括出 一般结论 的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳 推理是由 部分到 整体 、由 个别 到 一般 的推理．归纳推理包 括 不完全归纳法 和 完全归纳法 ．
2．如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成 的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
[答案] A
[解析] 由前三个图形呈现出来的规律可知，下一个图形 可视作上一图形顺时针旋转144°得到的，故由第三个图形顺时 针旋转144°得到的图形应为A.
归纳推理在数列中的应用
根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜想 它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的n∈N*，an＞0，且2 Sn＝an＋1. [分析] 写出a1，a2，a3，a4，观察所得数与项数n之间的规 律．
x2 4
－
y2 9
＝1，F1、F2分别是其
左、右焦点，点M在双曲线右半支上．
(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积； (2)若∠F1MF2＝120°，△F1MF2的面积是多少？若∠ F1MF2＝60°，△F1MF2的面积又是多少？ (3)观察以上计算结果，你能看出随∠F1MF2的变化，△ F1MF2的面积将怎样变化吗？试证明你的结论． [分析] 因为S△F1MF2＝12|MF1|·|MF2|·sin∠F1MF2，所以只要 求|MF1|·|MF2|即可，因此考虑利用双曲线的定义及余弦定理可 求出|MF1|·|MF2|.