[推荐学习]2018年中考数学考点总动员系列专题36解直角三角形含解析

[推荐学习]2018年中考数学考点总动员系列专题36解直角三角形含解析
考点三十六：解直角三角形
聚焦考点☆温习理解
一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b
正弦：sinA＝∠A的对边
斜边
＝
a
c
余弦：cos A＝∠A的邻边
斜边
＝
b
c
余切：tanA＝∠A的对边
∠A的邻边
＝
a
b
二、特殊角的三角函数值
αsinαcosαtanα
30°1
2
3
2
3
3
45°2
2
2
2
1
60°3
21
2
3
三、解直角三角形
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角
名师点睛☆典例分类
考点典例一、锐角三角函数的定义
【例1】（2017年甘肃省兰州市西固区桃园中学中考数学模拟）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC 于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示c osα的值，错误的是（）
A. BD
BC B. BC
AB
C. AD
AC
D. CD
AC
【答案】C
【解析】∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD，∴∠α=∠ACD，
∴cosα=cos∠ACD=BD
BC =BC
AB
=CD
AC
，
只有选项C错误.
故选C.
考点：锐角三角函数的定义．
【点睛】掌握锐角三角函数的算法，正弦（sin ）等于对边比斜边，余弦（cos ）等于邻边比斜边，正切（tan ）等于对边比邻边. 【举一反三】
1. （2017哈尔滨第8题）在Rt ABC △中，90C
∠°
，4AB ，1AC ，
则cos B 的值为( )
A.154
B.1
4 C.151
5 D.41717 【答案】A
考点：锐角三角函数的定义．
2.（2017江苏无锡第18题）在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于 ．
【答案】3.
【解析】
试题解析：平移CD 到C′D′交AB 于O′，如图所示，
则∠BO′D′=∠BOD ， ∴tan ∠BOD=tan ∠BO′D′， 设每个小正方形的边长为a ， 则22(2)5a a a
+=
，O′D′=2
2（2a)(2)22a a
+=，BD′=3a，
作BE ⊥O′D′于点E ， 则BE=3a 2322
22BD O F a a
O D a
''==''，
2222
322(5)(
)2
2
a a O B BE a '-=-=，
∴tanBO′E=32a
232BE
O E a
=='，
∴tan ∠BOD=3.
考点：锐角三角函数的定义． 考点典例二、特殊角的三角函数值
【例2】（甘肃省兰州市第36中学2017年九年级数学中考模拟）在△ABC 中，（tanA 32+|2
cosB|=0，则
∠C的度数为（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 75°
【答案】D
【解析】根据非负数的性质可得tanA=3，cosB=2，根据特殊角的三角函数值可得∠A=60°，∠B=45°，再由三角形的内角和定理可得∠C=75°，故选D.
考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．
【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．
【举一反三】
1. （山东省德州市2017年中考数学第三次模拟）计算：tan45°＋sin30°＝（）。

A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】∵tan45°=1，sin30°=
∴tan45°+sin30°=1+ =
故选C ．
2.（2017山东烟台第14题）在ABC Rt ∆中，0
90=∠C ，2=AB ，
3
=BC ，则=2
sin A ． 【答案】12． 【解析】
试题解析：∵sinA=3
2
BC
AB =，
∴∠A=60°，
∴sin 2A =sin30°=1
2
． 考点：特殊角的三角函数值． 考点典例三、解直角三角形
【例3】（2017年天津市南开区兴华中学中考数学模拟）如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=5
，
BD 是AC 边上的中线．求：
（1）△ABC 的面积；（2）∠ABD 的余切值．
【答案】（1）16+83 ；（2）3【解析】试题分析：（1）过点C 作CE⊥AB 与点E ，根据
已知条件分别解△BCE、△ACE可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；
（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．
（2）过点D作DH⊥AB与点H，
∵CE⊥AB，
∴DH∥CE，
又∵D是AC中点，
∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，
∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．
【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键.
【举一反三】
(广东省广州市南沙区2016-2017学年九年级一模) 如图，在中，，，则BC=______.
【答案】9
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠BCD=∠A，
∴tan∠BCD=tanA=，
在Rt△ABC中，AC=12，
∴tanA==，
则BC=9，
故答案为：9.
考点典例四、解直角三角形的实际运用
【例4】（2017湖南株洲第23题）如图示一架水平飞行
的无人机AB 的尾端点A 测得正前方的桥的左端点P 的 俯角为α其中tanα=23，无人机的飞行高度AH 为5003
米，桥的长度为1255米． ①求点H 到桥左端点P 的距离；
②若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度AB ．
【答案】①求点H 到桥左端点P 的距离为250米；②无人机的长度AB 为5米． 【解析】
试题分析：①在Rt △AHP 中，由tan ∠APH=tanα=AH HP ，即可解决问题；②设BC ⊥HQ 于C ．在Rt △BCQ 中，求出
CQ=tan 30BC
=1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH ﹣PC 计算即可；
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解仰角俯角的定义，及勾股定理的表达式，要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【举一反三】
（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距
离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2
≈
1.414）
【答案】3.05． 【解析】
试题分析：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：延长FE 交CB 的延长线于M ，过A 作AG ⊥FM 于G ，在Rt △ABC 中，tan ∠ACB =
AB
BC
，∴
AB =BC •tan75°=0.60×3.732=2.2392，∴GM =AB =2.2392，
在Rt △AGF 中，∵∠FAG =∠FHD =60°，sin ∠FAG =FG AF
，∴sin60°=32.5
FG
，∴FG =2.165，∴DM =FG +GM ﹣DF ≈3.05
米．
答：篮框D 到地面的距离是3.05米．
考点：解直角三角形的应用．
课时作业☆能力提升
1. （浙江省宁波市李兴贵中学2018届九年级上册期末）在△ABC中，∠C=90°，sinA=12
13
，则tanA的值为（）
A. 12
13
B.
5
13
C.
12 5 D. 13
12
【答案】C 【解析】
∵sinA=BC
AB =12
13
，
∴设BC=12x，AB=13x，
由勾股定理得：AC=22
AB BC
-=5x，
∴tanA=BC
AC =12
5
.
故选C.
2. （2017年内蒙古赤峰二中中考数学二模）已知：sin （﹣x）=﹣sinx，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）
=sinxcosy+cosxsiny，则下列各式不成立的是（）A. cos（﹣45°）= 2 B. sin75°=62
-
C. sin2x=2sinxcosx
D. sin（x﹣y）=sinxcosy ﹣cosxsiny
【答案】B
3. （2017广西百色第10题）如图，在距离铁轨200米处的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60︒方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处西北方向上，则这时段动车的平均速度是（）米/秒.
A ．20(
31)+ B ．20(
31)
- C. 200
D ．300 【答案】A 【解析】
试题分析：作BD ⊥AC 于点D ． ∵在Rt △ABD 中，∠ABD=60°， ∴AD=BD•tan∠ABD=200 3（米）， 同理，CD=BD=200（米）． 则AC=200+200 3（米）． 则平均速度是2002003
10
+ =20（3+1）米/秒．
故选A ．
考点：1.解直角三角形的应用﹣方向角问题；2.勾股定理的应用．
4. （2017黑龙江绥化第9题）某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米， BCA ∠约为29，则该楼梯的高度AB 可表示为（ ）
A．3.5sin29米 B．3.5cos29米 C．3.5tan29米米
D． 3.5
cos29
【答案】A
【解析】
试题分析：在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=AB
，∴AB=BCsin
BC
∠ACB=3.5sin29°，
故选A．
考点：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
5. （2017重庆A卷第11题）如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE=3米，CE=2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i=1：0.75，坡长BC=10米，则此时AB的长约为（）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）．
A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米
【答案】A. 【解析】
试题解析：如图，延长DE 交AB 延长线于点P ，作CQ ⊥AP 于点Q ，
∵CE ∥AP ， ∴DP ⊥AP ，
∴四边形CEPQ 为矩形， ∴CE=PQ=2，CQ=PE ， ∵i=14
0.753
CQ
BQ
=
=，
∴设CQ=4x 、BQ=3x ，
由BQ 2
+CQ 2
=BC 2
可得（4x ）2
+（3x ）2
=102
， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 则CQ=PE=8，BQ=6， ∴DP=DE+PE=11，
在Rt △ADP 中，∵AP=11tan
tan 40DP
A
=∠︒
≈13.1，
∴AB=AP ﹣BQ ﹣PQ=13.1﹣6﹣2=5.1，
故选A ．
考点：解直角三角形的应用.
6. （2017山东烟台第12题）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD 的高度，在水平底面A 处安置侧倾器得楼房CD 顶部点D 的仰角为0
45，向前走20米到达'A 处，
测得点D 的仰角为0
5.67.已知侧倾器AB 的高度为1.6米，则
楼房CD 的高度约为（ ） （结果精确到0.1米，
414
.12≈）
A ．14.34米
B ．1.34米 C.7.35米 D ．74.35米 【答案】
C ． 【解析】
试题解析：过B 作BF ⊥CD 于F ，
∴AB=A′B′=CF=1.6米， 在Rt △DFB′中，B′F=tan 67.5DF ︒，
在Rt △DFB 中，BF=DF ， ∵BB′=AA′=20，
∴BF ﹣B′F=DF﹣tan 67.5DF ︒=20， ∴DF ≈34.1米， ∴CD=DF+CF=35.7米，
答：楼房CD 的高度约为35.7米， 故选C ．
考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 7. （2017辽宁大连第15题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东0
60方向，距离灯塔nmile 86的A 处，它沿正南方向航
行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东0
45方向上的B 处.
此时，B 处与灯塔P 的距离约为 nmile .（结果取整数，参考数据：
4
.12,7.13≈≈）
【答案】102. 【解析】
试题分析：根据题意得出∠MPA=∠PAD=60°，从而知PD=AP•sin ∠PAD=43
3
，由∠BPD=∠PBD=45°根据
BP=
sin PD B
∠，即可求出即可．
过P 作PD ⊥AB ，垂足为D ，
考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题；勾股定理的应用.
8. （2017广西贵港第16题）如图，点P 在等边ABC ∆的内部，且6,8,10PC PA PB ===，将线段PC 绕点C 顺时针旋转60得到'P C ，连接'AP ，则sin 'PAP ∠的值为 ．
【答案】35
【解析】
试题解析：连接PP′，如图，
∵线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P'C ， ∴CP =CP′=6，∠PCP′=60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′=PC=6，
∵△ABC 为等边三角形， ∴CB=CA ，∠ACB=60°， ∴∠PCB=∠P′CA， 在△PCB 和△P′CA 中
PC P C PCB P CA CB CA '⎧=⎪
'
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PCB ≌△P′CA， ∴PB=P′A=10， ∵62+82=102， ∴PP′2+AP 2=P′A 2，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin ∠PAP′=63105
PP
P A
'
=='．
考点：旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．9. （2017郴州第22题）如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在,A C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东060方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东030方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么？
（参考数据：3 1.732
）
【答案】这条高速公路不会穿越保护区,理由详见解析. 【解析】
试题分析：作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题．
∴PH=PBsin60°=120×3≈103.80，
∵103.80＞100，
∴这条高速公路不会穿越保护区．
考点：解直角三角形的应用.
10. （2017内蒙古呼和浩特第22题）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30︒角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70︒角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）
【答案】A，B两地的距离AB长为200（3﹣tan20°）米．
【解析】
试题分析：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．
考点：解直角三角形的应用．
11. （2017上海第21题）如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D 是BC的中点，且AD⊥BC．
（1）求sinB 的值；
（2）现需要加装支架DE 、EF ，其中点E 在AB 上，BE=2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．
【答案】（1）sinB=21313 ；（2）DE =5．
【解析】
试题分析：（1）在Rt △ABD 中，利用勾股定理求出AB ，再根据sinB=
AD
AB
计算即可；
（2）由EF ∥AD ，BE=2AE ，可得2
3
EF BF BE AD BD BA === ,求出EF 、
DF 即可利用勾股定理解决问题；
试题解析：（1）在Rt △ABD 中，∵BD=DC=9，AD=6， ∴AB=
2
2
BD AD
+=
22
96
+ =3
13
，∴sinB=
AD AB
=
313
=
21313
． （2）∵EF ∥AD ，BE=2AE ，∴2
3
EF BF BE AD BD BA ===，∴
2
693
EF BF ==，
∴EF=4，BF=6，
∴DF=3，在Rt △DEF 中，DE=
22
EF DF + =
22
43+ =5．
考点：1.解直角三角形的应用；2.平行线分线段成比例定理.
12. （2017湖南张家界第19题）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
【答案】4.2m．
考点：解直角三角形的应用．
13. （2017海南第22题）为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：
水坝加高2米（即CD=2米），背水坡DE 的坡度i=1：1（即DB ：EB=1：1），如图所示，已知AE=4米，∠EAC=130°，求水坝原来的高度BC ．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）
【答案】水坝原来的高度为12米．. 【解析】
试题分析：设BC=x 米，用x 表示出AB 的长，利用坡度的定义得到BD=BE ，进而列出x 的方程，求出x 的值即可． 试题解析：设BC=x 米，
在Rt △ABC 中，∠CAB=180°﹣∠EAC=50°，AB=
tan50BC
≈
1.2
BC =56
x ，
在Rt △EBD 中，
∵i=DB ：EB=1：1，∴BD=BE ，∴CD+BC=AE+AB ， 即2+x=4+56
x ，解得x=12，即BC=12， 答：水坝原来的高度为12米．. 考点：解直角三角形的应用，坡度.
14. （2017新疆乌鲁木齐第21题）一艘渔船位于港口A
的北偏东60方向，距离港口20海里B处，它沿北偏西37方
向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，,B C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救
援的艇的航行速度.(sin370.6,cos370.8,3 1.732
≈≈≈，结果取整数）
【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．【解析】
∴∠BAD=30°，
∵AB=20海里，
∴BD=10海里，
在Rt△ABD中，22103
AB BD
-=17.32海里，
在Rt △BCE 中，sin37°=CE BC
， ∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6海里，
∵cos37°=EB BC ，
∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8海里， EF=AD=17.32海里， ∴FC=EF ﹣CE=11.32海里， AF=ED=EB+BD=18海里， 在Rt △AFC 中， AC=
2222
1811.32AF FC +=
+≈21.26海里，
21.26×3≈64海里/小时．
答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时．
考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题。