人教A版(新教材)高中数学第二册课件：复数的三角表示式 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的__商___，商的辐角等于
被除数的辐角减去除数的辐角所得的__差___.
r1（cos r2（cos
θ1＋isin θ2＋isin
θθ12） ）＝__rr_12_[c_o_s_(_θ_1－__θ_2_)_＋__is_i_n_(θ_1_－__θ_2_)]___.
2.将复数 i 对应的向量O→N绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量O→M，则O→M对应的复
数是( )
A. 23＋12i
B.－ 23＋12i
C.－ 23－12i
D. 23－12i
解析
i＝cos
π2＋isin
π2，将O→N绕原点按逆时针方向旋转π3得到O→M＝cos
56π＋isin
5π 6
＝－ 23＋12i. 答案 B
教材拓展补遗 [微判断] 1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.( √ ) 2.复数0的辐角是任意的.( √ ) 3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(的辐角主值为( )
π
π
A.6
B.3
π
π
C.4
D.2
解析 因为复数 1＋i 对应的点在第一象限，所以 arg(1＋i)＝π4. 答案 C
题型一 复数的代数形式化为三角形式
【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1) 3＋i；(2)1－i.
解 (1)r＝ （ 3）2＋12＝2，所以 cos θ＝ 23，对应的点在第一象限，所以 arg( 3＋i)
＝π6，所以
3＋i＝2cos
π6＋isin
π 6.
(2)r＝ 12＋（－1）2＝ 2，所以 cos θ＝ 22，对应的点在第四象限，所以 arg(1－i)
教材知识探究
前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即 z＝a＋bi(a，b∈R)；二是几 何表示，复数 z 既可以用复平面上的点 Z(a，b)表示，也可以用复平面上的向量O→Z来 表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数 z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？ 提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下， 代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式 的转化是非常有必要的.
53π－isin
5π
3
C.2cos
76π－isin
7π
6
D.2cos
116π＋isin
11π
6
解析 因为 r＝2，所以 cos θ＝ 23，与 z＝ 3－i 对应的点在第四象限，
所以 arg(
3－i)＝116π，所以 z＝
3－i＝2cos
116π＋isin
11π
6
.
答案 D
题型二 复数的三角形式化为代数形式
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数 z＝a＋bi 都可以表示成__r_(_c_o_s_θ_＋__is_i_n_θ_)___的形式，其中，r
是复数 z 的模；θ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量O→Z所在射线(射线 OZ)为终边的 角，叫做复数 z＝a＋bi 的__辐__角___，r(cos θ＋isin θ)叫做复数 z＝a＋bi 的三角表示式， 简称__三__角__形__式___，为了与三角形式区分开来，a＋bi 叫做复数的代数表示式，简称 _代__数__形__式__.
【例 2】
复数 z＝
3sin
23π＋icos
23π化为代数形式为(
)
A.32＋
3 2i
B.－32＋
3 2i
C.－32－
3 2i
D.32－
3 2i
解析
z＝
3sin
23π＋icos
23π＝
3sin
23π＋
3icos
23π＝
3× 23＋i
3×－12＝32－
3 2 i.
答案 D
规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式 z＝r(cos A
2.辐角主值 规定在__0_≤__θ_<_2_π__范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作__a_r_g_z__.
3.复数三角形式的乘法 两个复数相乘，积的模等于各复数模的__积___，积的辐角等于各复数的辐角的__和___. r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝_r_1_r_2[_c_o_s_(θ_1_＋__θ_2_)＋__i_s_in_(_θ_1＋__θ_2_)_]_.
＋isin A)，代数形式为 z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即 x＝rcos A，
y＝rsin A.
【训练 2】 将复数 z＝ 2cos－π4＋isin－π4化为代数形式为________.
3.若z＝cos 30°＋isin 30°，则arg z2＝( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 因为z＝cos 30°＋isin 30°，
则z2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋
isin 60°，故arg z2＝60°. 答案 B
7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课标要求
素养要求
通过复数的几何意义，了解复数的三 通过了解复数的三角表示及复数乘、
角表示；了解复数的代数表示与三角 除的几何意义，体会数学抽象及数学
表示之间的关系；了解复数乘除运算 运算素养.
的三角表示及其几何意义.
＝74π，所以 1－i＝
2cos
74π＋isin
7π
4
.
规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤： (1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的 三角形式.
【训练 1】 复数 z＝ 3－i 的三角形式为( )
A.2cos
23π＋isin
2π
3
B.2cos
[微思考] 1.复数的辐角有怎样的特征？
提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复 数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的. 2.你能根据复数的三角形式来解释i2＝－1的几何意义吗？ 提示 i本身可以用坐标平面上y轴的点(0，1)表示.而i2＝i×i表示把y轴上的点(0，1) 绕原点逆时针转90度，就变为x轴上的点(－1，0).