2021年高考数学二轮专题复习 空间向量与立体几何(美术班)

x y
z N
M
A B D
C O
P
N
M
A B
D
C
O
2021年高考数学二轮专题复习 空间向量与立体几何（美术班）
一、典型例题
例1如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
解：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．，
． （Ⅰ）因为，，故，．又， 所以平面．
（Ⅱ）因为平面 所以平面的法向量就是，即 设向量是平面的法向量，则，则 取，，，即
所以二面角的余弦值为．
例2 如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，, , ,为的中点，为的中点 （Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离。

解：作于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为轴建立坐标系
22222(0,0,0),(1,0,0),((0,0,2),(0,0,1),(1A B P D O M N , (1)22222(1,,1),(0,,2),(2)44222
MN OP OD =-
-=-=-- 设平面OCD 的法向量为,则
即 取,解得
22(1,,1)(0,4,2)044
MN n =-
-=∵
(2)设与所成的角为, , 与所成角的大小为
(3)设点B 到平面OCD 的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B 到平面OCD 的距离为
A
B C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1
例3 如图， 在四面体ABOC 中, , 且
（Ⅰ）设为为的中点， 证明： 在上存在一点，使，并计算的值； （Ⅱ）设的重心为，求直线与平面所成角的余弦值。

解：建立空间直角坐标系 （如图所示） 则 为中点，
设 3333
(1,0,0)(,,0)(1,,0),2222
OQ OA AQ λλλ=+=+-=- 即， 所以存在点 使得 且。

（Ⅱ）易得的重心
记平面的法向量为,则由，，且， 得， 故可取
设直线与平面所成角为，则
131663sin cos ,1348510131363636
OG n θ++
∴==
==⋅++⋅++
所以直线与平面所成角的余弦值是
二、专项练习
1、在如图所示的几何体中，平面ABC ，平面ABC ，，，M 是AB 的中点。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求CM 与平面CDE 所成的角；
2、如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，,E ，F 分别是BC , PC 的中点. （Ⅰ）证明：AE ⊥PD ;
（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角E —AF —C 的余弦值.
3、如图，已知三棱锥A – BCD 的侧视图，俯视图都是直角三角形, 尺寸如图所示.
（1）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；
（2）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF⊥面ACD ？若存在，求出CF 的长度；若不存在说明理由．
E M
A
C
B
D
（侧视图） (俯视图) （第19题 )
4、四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧
面SBC⊥底面ABCD。

已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，
SA＝SB＝。

(Ⅰ)证明：SA⊥BC；
(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；35911 8C47 豇39036 987C
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