Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov稳定性理论概述
Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述
稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。

通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。

一，稳定性的概念稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
ax dt
dx
= ，x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为e
x at
t x 0
)(=
，而x=0 是(1)式的一个解。

当a f 0时，无论|x 0|多小，只要
|x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，e
x at
t x 0
)(=。

与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。

这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。

下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。

设微分方程
),(x t f dt
dx =，x(t 0)=x 0 , x ∈R n
(2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件：
f (t ，0)=0 (3)
(3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。

这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。

二，Lyapunov
稳定性定理
Lyapunov稳定性定理
稳定性定理
Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理，为稳定性理论奠定了牢固的基础。

1，稳定性定理
= 0 为其平衡态。

若存在一个有设系统的状态方程为x/ = f( x ,t),其中 x
连续一阶偏导数的正定函数V (x ,t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定的；
2) 更进一步,若V(x,t)的定义域?为Rn,对任意的t0和任意x(t0)≠0,V’(x,t)在t>t0时不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。

此时,随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。

2，渐近稳定性定理
设系统的状态方程为
x/ = f f( x x, t)
=0为其平衡态。

若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件:
1) 若V /(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的;
2) 更进一步，若随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,那么该系统在原点处的平衡态是大范围一致渐近稳定的。

3，不稳定性定理
设系统的状态方程为x /
= f(x, t),其中 x 0 = 0 为其平衡态。

若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V (x, t),满足下述条件:
1) V /
(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;
2) 若V /
(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t 0) ≠ 0, V /
(x,t) 在 t>t 0 时不恒为零,那么该平衡态 x 0 亦是不稳定的。

由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表： V(x) V /
（x）结论
正定(>0)
负定(<0)
该平衡态渐近稳定
正定(>0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
该平衡态渐近稳定
正定(>0) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
的解) 该平衡态稳定但非渐近稳定正定(>0)
正定(>0)
该平衡态不稳定
正定(>0)
半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。

不过，这种可逆性的证明，即Lyapunov函数存在性的证明，是建立在解存在性的基础上的，并不能轻易构造出它的解析表达式来．而满足定理条件的Lyapunov函数，只要找到了1个(具体构造出来)就等于找到了无穷多个。

例如，若V是满足某定理要求的Lyapunov函数，则CV(对于任意的C>0)也是满足该定理合适的Lyapunov函数．任何函数)0)((/
>??V 也是，故有无穷多个．如果写成定理形式，系统的平衡位置有某种稳定性的充分必要条件是存在1个合适的Lyapunov 函数V，它的导数
dt
dV
满足定理条件，值得注意的是证明充分性时所用的Lyapunov 函数与证明必要性时所找到的Lyapunov函数不一定也不必要是同一个Lyapunov 函数。

三， Lyapunov Lyapunov函数的构造函数的构造函数的构造
Lyapunov直接法的核心技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实
际问题已经运用多种方法(能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方法等)具体构造出满足需要的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。

这当然是一个遗憾，但也正因为如此原则性与灵活性高度统一，反而留给了人们更加广阔的施展才华的机会，鼓励那些“勤于思考，
锲而不舍，锐利进取，精益求精”的人去砂里淘金。

所以有人说过：“谁能构造出一个巧妙的Lyapunov 函数，谁就能得出一批好结果，谁就能发表一批好的文章”．这是一位权威学者的肺腑之言。

关于如何构造Lyapunov函数，这里简要介绍了3种试探凑合的原则性方法。

1, 凑合V函数法
先试探构造出正定的函数V(或变号V)，然后沿系统之解对 V求导数dt
dV
，看条件能否保证
dt
dV
负定、半负定。

如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定(不稳定)、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov 函数V。

目前，大部分V函数的构造，都是用这种试探凑合法。

2，倒推V函数法
先设计dt dV
负定(或半负定)，然后积分求出V ，来看V是否正定。

若正定，便能断定系统平衡位置渐近稳定(稳定)；否则，也只好重新再找其它合适的V函
数。

3，微分矩方法
同时构造V和
dt
dV
，看能否满足所需条件，即所谓微分矩方法。

然而，这种方法实际问题中应用较少。

下面，我们运用上面所述的方法1和方法2对一个具体系统构造出它的Lyapunov函数。

形如
)(x f Ax dt
dx
+= （4） )0(0)
(,
0)0(→→=x x
x f f 的非线性系统，如果不知道A是否稳定，可尝试构造
V = X
T
B X (B正定)
沿其解计算得：
dt
dV = X T BX + X T
BX = X T (BA + A T B)X + X T Bf(x) + f T (x) BX (5)
若BA+A T
B负定，立即可断言平系统(5)的平衡位置x=O指数稳定，还可以根据
λmax （BA+A T
B）来估计x =0的吸引域。

这是根据上述方法1的思想做的推导。

如果已知A为Hurwitz矩阵，只是希望知道非线性系统在多大的区域内仍然指数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = x T
B x，其中B为线性矩阵不等式BA+A T
B=-C的解。

这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。

四， Lyapunov Lyapunov方法的发展方法的发展方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集，并说它所以重要，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题．我们认为这一
门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对于其它学科领域的重要性，在于它能启发、统一并推进这些学科领域。

了解常微分方程与其它学科之问是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察力和启示的一种主要源泉”。

如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、解决问题的能力。

这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我认识到了稳定性问题的实质和重要性，并让我有机会较为系统的接触到了Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。