教学设计6：§1.3 第1课时 柱体、锥体、台体的表面积与体积

§1.3 第1课时柱体、锥体、台体的表面积与体积
教学目标
1.了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式.
2.掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积和体积(难点).
3.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积(重点)．
知识梳理
知识点1柱体、锥体、台体的表面积
(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积和．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体侧面展开图表面积公式
圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长
圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，
r为下底面半径，
l为侧面母线长
互动探究
1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？
提示不同的展开方式，几何体的平面展开图不一定相同；表面积是各个面的面积和，几何体的平面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定．
2．求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？
提示求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关
键是求其母线长与上、下底面的半径． 知识点2 柱体、锥体与台体的体积公式 几何体 体积 说明
柱体 V 柱体＝Sh S 为柱体的底面积，h 为柱体的高 锥体
V 锥体＝13Sh
S 为锥体的底面积，h 为锥体的高 台体 V 台体＝1
3
(S ′＋S ′S ＋S )h
S ′，S 分别为台体的上、下底面面积，h 为台
体的高
互动探究
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则长方体的体积为( ) A ．27 cm 3
B ．60 cm 3
C ．64 cm 3
D ．125 cm 3
【解析】V 长方体＝3×4×5＝60(cm 3)． 【答案】B
2．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于________． 【解析】V 台体＝1
3(2＋4＋2×4)×3
＝13×3×(6＋22) ＝6＋2 2. 【答案】6＋2 2 教学案例
题型一 空间几何体的表面积
【例1】圆台的母线长为8 cm ，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积．
解 如图所示的是圆台的轴截面ABB 1A 1，其中∠A 1AB ＝60°，过A 1作A 1H ⊥AB 于H ，则O 1O ＝A 1H ＝A 1A ·sin 60°＝43(cm)，
AH ＝A 1A ·cos 60°＝4(cm)． 设O 1A 1＝r 1，OA ＝r 2，
则r 2－r 1＝AH ＝4.① 设A 1B 与AB 1的交点为M ， 则A 1M ＝B 1M . 又∵A 1B ⊥AB 1，
∴∠A 1MO 1＝∠B 1MO 1＝45°. ∴O 1M ＝O 1A 1＝r 1. 同理OM ＝OA ＝r 2.
∴O 1O ＝O 1M ＋OM ＝r 1＋r 2＝43，② 由①②可得r 1＝2(3－1)，r 2＝2(3＋1)．
∴S 表＝πr 21＋πr 22＋π(r 1＋r 2)l ＝32(1＋3)π(cm 2)．
规律方法 空间几何体的表面积的求法技巧： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【训练1】若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积为( ) A.2
3
B ．2 3
C. 3
D.
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【解析】所求凸多面体的表面积是两个底面边长为1，高为
2
2
的四棱锥的侧面积之和，如图，四棱锥的侧棱长l ＝
⎝⎛⎭⎫222＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＋1222
＝1，
∴以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的表面积：S ＝8×1
2×1×1×
sin 60°＝2 3.故选B. 【答案】B
题型二 柱体、锥体、台体的体积
【例2】在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕其斜边AC 所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？
解 由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图
所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD ，且BD ＝AB ·BC AC ＝125，
两个圆锥的高分别为AD 和DC ， 所以V ＝V 1＋V 2＝13πBD 2·AD ＋1
3πBD 2·CD
＝13πBD 2·(AD ＋CD )＝1
3πBD 2·AC ＝13π×⎝⎛⎭⎫1252×5＝485π. 故所形成的几何体的体积是
48
5
π. 规律方法 求几何体体积的常用方法
【训练2】如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求A 到平面A 1BD 的距离d .
解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1⊥平面ABD ，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，
A 1
B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵V A 1－ABD ＝V A －A 1BD ，
∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ×32·2a ·d . ∴d ＝
33a .∴A 到平面A 1BD 的距离为3
3
a . 题型三 求组合体的表面积与体积 方向1 知三视图求体积(表面积)
【例3－1】(1)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积等于( )
A ．8π cm 2
B ．7π cm 2
C ．(5＋3)π cm 2
D ．6π cm 2
(2)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
【解析】(1)此几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱与一个底面半径为1，母线长为2的圆锥组合而成的，故S 表＝S 圆柱侧＋S 圆锥侧＋S 底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π(cm 2)． (2)由题意，该几何体是由高为6的圆柱截去一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为V ＝1
2·π·32·6＋π·32·4＝63π，故选B. 【答案】(1)B (2)B 方向2 割补法求体积
【例3－2】如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1
的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积．
解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2＋⎝⎛⎭⎫a 22
＝52a ，
D 1F ∥EB ，
所以四边形EBFD 1是菱形． 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.
易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝1
4a 2，
则V F －EBA 1＝
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a 3， 所以V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1＝1
6a 3.
规律方法 组合体体积与表面积的求解策略：
(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.
课堂小结
1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开，其侧面展开图分别是由若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和． 2．对柱体、锥体、台体的体积公式的四点说明 (1)等底、等高的两个柱体的体积相同．
(2)等底、等高的锥体和柱体的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的柱体的体积是锥体的体积的3倍．
(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
课堂达标
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π
B.1＋2π4π
C.1＋2ππ
D.1＋4π2π
【解析】设底面圆半径为r ，母线长为h ，∴h ＝2πr ，则S 表S 侧＝2πr 2＋2πrh 2πrh ＝r ＋h h ＝r ＋2πr 2πr ＝1＋2π
2π.
【答案】A
2．如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A ．5π
B ．6π
C ．20π
D ．10π
【解析】用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
【答案】D
3．已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )
A ．9 3
B ．92＋93
4
C ．12 2
D ．12 3
【解析】由三视图可知三棱锥的高为22，底面正三角形的高为3，则底面正三角形的边长a 满足
3
2
a ＝3，解得a ＝2 3. 又侧棱长为（22）2＋22＝23， 故该正三棱锥是正四面体，
该三棱锥的表面积为：4×3
4×(23)2＝12 3.故选D.
【答案】D
4．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________． 【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r 1，r 2和h 1，h 2.由S 1S 2＝94，得πr 2
1πr 22＝9
4
，
∴r 1r 2＝3
2
. 由圆柱的侧面积相等，得2πr 1h 1＝2πr 2h 2， 即r 1h 1＝r 2h 2. ∴V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 1r 2＝32. 【答案】3
2
5.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是________.
【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积V ＝12×(1＋2)×2×2＝6.
【答案】6。