课时作业11：2.3.1 抛物线及其标准方程

§2.3 抛物线
2．3.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)
D ．(－4,0)
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点的坐标 答案 B
解析 ∵y 2＝－8x ，∴p ＝4，∴焦点坐标为(－2,0)．
2．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A ．(－1,0) B ．(1,0) C ．(0，－1) D ．(0,1) 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 B
解析 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2.由题设知－p
2＝－1，即p ＝2，故焦点坐标
为()1，0.故选B.
3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.1
2
B ．1
C ．2
D ．4 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C
解析 抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p
2，它与圆相切，所以必有3－⎝⎛⎭⎫－p 2＝4，p ＝2. 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12 考点 抛物线定义
题点 由抛物线定义求距离 答案 B
解析 由抛物线的定义可知，点P 到抛物线焦点的距离是4＋2＝6. 5．过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( ) A ．y 2＝12x B ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义确定轨迹及轨迹方程 答案 C
解析 由题意，知动圆圆心到点F (0,3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，轨迹方程为x 2＝12y .
6．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为( ) A ．－43
B ．－1
C ．－34
D ．－12
考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 C
解析 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p
2，且点A (－2,3)在准线上，故－p 2＝－2，
解得p ＝4.所以抛物线方程为y 2＝8x ，焦点F 的坐标为(2,0)，这时直线AF 的斜率k AF ＝3－0
－2－2
＝－3
4
.
7．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( ) A ．2 B ．2 2 C ．2 3
D ．4
考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求三角形面积 答案 C
解析 抛物线C 的准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)，由|PF |＝42及抛物线的定义知，P 点的横坐标x P ＝32，从而纵坐标y P ＝±2 6. ∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝12
×2×26＝2 3.
二、填空题
8．若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a ＝________. 考点 抛物线的标准方程 题点 抛物线方程的应用 答案 －1
8
解析 y ＝ax 2可化为x 2＝1
a
y .
∵准线方程为y ＝2，∴a <0且－1
4a ＝2，
∴a ＝－1
8
.
9．若椭圆x 23＋4y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 为________．
考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案
6
解析 由题意知，左焦点为⎝⎛⎭⎫－p 2，0，则c ＝p 2. ∵a 2＝3，b 2＝
p 2
4
， ∴3＝p 24＋p 2
4
，得p ＝ 6.
10．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是__________． 考点 抛物线的定义
题点 由抛物线定义求点的坐标 答案
1516
解析 抛物线方程化为x 2＝14y ，准线为y ＝－1
16.由于点M 到焦点的距离为1，所以点M 到准
线的距离也为1，所以点M 的纵坐标等于1－116＝15
16
.
11．若双曲线x 23－16y 2
p 2＝1(p >0)的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p ＝________.
考点 圆锥曲线的综合应用 题点 圆锥曲线的综合应用 答案 4
解析 由双曲线x 23－16y 2p 2＝1得标准形式为x 23－y 2
p
216
＝1，
由此c 2
＝3＋p 2
16
，
左焦点为⎝⎛⎭
⎫－
3＋p 216，0， 由y 2＝2px 得准线为x ＝－p
2，
∴－ 3＋p 216＝－p 2
， ∴p ＝4. 三、解答题
12．如图所示，抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点F 在y 轴上，准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若点A ，B 都在抛线C 上，且FB →＝2OA →
，求点A 的坐标． 考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义求点的坐标
解 (1)依题意，可设抛物线C 的方程为x 2＝2py (p >0)，其准线l 的方程为y ＝－p
2.
∵准线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，
∴圆心(0,0)到准线l 的距离d ＝0－⎝⎛⎭⎫－p
2＝1， 解得p ＝2.故抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 21＝4y 1，①x 22＝4y 2，②
由题意得F (0,1)， ∴FB →＝(x 2，y 2－1)，OA →
＝(x 1，y 1)， ∵FB →＝2OA →，
∴(x 2，y 2－1)＝2(x 1，y 1)＝(2x 1,2y 1)，
即⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝2x 1，y 2＝2y 1
＋1，代入②得4x 21＝8y 1＋4， 即x 21＝2y 1＋1，
又x 21＝4y 1，所以4y 1＝2y 1＋1，
解得y 1＝1
2
，x 1＝±2，
即点A 的坐标为⎝
⎛⎭⎫2，12或⎝⎛⎭⎫－2，12. 13．设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点．
(1)求点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2)若点B 的坐标为(3,2)，求|PB |＋|PF |的最小值． 考点 抛物线的定义 题点 由抛物线定义求最值
解 (1)如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，
准线方程是x ＝－1.由抛物线的定义知，点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是问题转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小．显然，连接AF ，AF 与抛物线的交点即为点P ，故最小值为22＋12＝5，即点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为 5. (2)如图，把点B 的横坐标代入y 2＝4x 中，得y ＝±2 3.
因为23>2，所以点B 在抛物线内部．过点B 作BQ 垂直于准线，垂足为点Q ，交抛物线于点P 1，连接P 1F .此时，由抛物线定义知，|P 1Q |＝|P 1F |.所以|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝3＋1＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 四、探究与拓展
14．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的一点，F 为抛物线的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴的关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离
D ．以上都对
考点 抛物线的定义 题点 抛物线定义的应用
答案 B
解析 如图，取线段MF 的中点C ，作CE 垂直于抛物线的准线l 于点E ，
则|CE |＝1
2(|MF |＋p )
＝12|MF |＋p 2
， 所以|CD |＝|CE |－p 2＝1
2
|MF |，
所以MF 的中点C 到y 轴的距离等于|MF |的一半．
15．已知曲线C 上的任意一点到定点F (1,0)的距离与到定直线x ＝－1的距离相等． (1)求曲线C 的方程；
(2)若曲线C 上有两个定点A ，B 分别在其对称轴的上、下两侧，且|F A |＝2，|FB |＝5，求原点O 到直线AB 的距离． 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程
解 (1)因为曲线C 上任意一点到点F (1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等， 所以曲线C 的轨迹是以F (1,0)为焦点的抛物线， 且p
2＝1，所以曲线C 的方程为y 2＝4x . (2)由抛物线的定义结合|F A |＝2可得，A 到准线 x ＝－1的距离为2，
即A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得y ＝2， 即A (1,2)，
同理可得B (4，－4)，故直线AB 的斜率k ＝2－(－4)
1－4＝－2，
故AB 的方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0， 由点到直线的距离公式，得原点O 到直线AB 的距离为
|－4|22＋12
＝455.。