第六章1静定结构的位移计算

几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对 任意协调位移,虚功方程成立. 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对 任意平衡力系,虚功方程成立”。
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
实功：力在自身所产生的位移上所作的功
P

W 1 P 2
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
tC
P t
W Pt
§6.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功
最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
qx
ab a b
a
b
b
a
b
1.利2用. 原变形理连的续证性明条表件计明算:原理适用2.于利任用平何衡(条线件性条和件非计线算性)的
所变有形微段体的，外适力用虚于功之任和何W结构。 所有微段的外力虚功之和 W
微段外力分 体系外力
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两3部. 原分理可有相两互种作用应力用： 为两部分
变形位移ab ab
微 分段 为将外 两实平力部际衡功分待问分题体相析化系互的为外作力用平几功力衡何功d力问WdeW状题n态来微 分，求段 为虚解外 两设。力 部的功 分 协调在在位刚变移体形位位状移移态上上，的的功功ddWWgi
微段外实力际功待dW分=析dW的e+协dW调n 位移状微态段，外虚力设功 的dW平=衡dW力g+d状W态i ，
所有微将段位的外移力分功析之化和为: 平衡问题来所求有解微。段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
（4）变形体虚功方程的展开式
δWi 的计算:
M
q M dM
微段外力: N
N dN
Q ds Q dQ
微段变形可看成由如下几部分组成:
位移h方/ l 向1是/10如, E 何确定Q的? 1
/
G

2Q.5i (钢砼) lx
M 100
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
P B
P=1
P
FQP M P
R A
θ
R
FNP R θ
O
解：构造虚设的力状态如设图: 示M M P PRsin , M R sin A
(3)求解时关键一步X 是找出虚位x 移状态的位移关系。
(4)用单几位何位法移来解法静(U力n平it-衡D问isp题lacement Method)
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 调位移状态之间。
例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移 . A
c
BC
1
A
B
A

C
a
充分条件是：
对于任何可能的虚位移，
作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。也即
FP 2
m 1
m 2
FN 2
Σ→fi .δr→i=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应的
反力，该反力便可看成外
力。则有：刚体系处于平
3Δ/2
衡的必要和充分条件是：
XA 0 Δ
P
2Δ
对于任何可能的
虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。
第六章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§6.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)

P
A Ay
A A
位移
线位移 转角位移
Ax A A点线位移
二、广义力(Generalized force)、广义位移 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× P---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶
PP
P
M
2
1 W P
W M

3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
解得：
bc / a 找出虚力状态的静力
这是单位荷载法 (Dummy-Unit L平oa衡d M关e系th。od)
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出(解4，)几是故何用也问静称题力为。平衡法来
Maxwell-Mohr Method
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
微段外力分 体系外力
为两部分
相互作用力
微段外力功 分为两部分
体系外力功dWe 相互作用力功dWn
微段外力功 dW= dWe+dWn
所有微段的外力功之和:
W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
微段位移分 刚体位移 ab ab
为两部分
变形位移ab ab
微段外力功 分为两部分

F

Q
sinQ 1 MM P4M00]ds
N M
1 1200
EA
GA 小曲EI率杆可利用直杆公式近

PR

k
PR

PR
3
似(计)算;轴向变形,剪切变形对位
4EA 4GA 4EI 移的影响可略去不计
二、如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移）
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应 的单位力。所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单 位广义力在所求广义位移上做功.
§6.3 荷载作用产生的位移计算
一、 单位荷载法 应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。
求k点竖向位移.
k
变形协调的
iP
位移状态(F)
F 1
平衡的力
状态(i)
K [F N P F Q P M P ]dx i
----适用于各种杆件体系(线性,非线性).
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
M
M
P
A
A
B
W M A MB M ( A B ) M
B P W P A PB P(A B ) P
三、变形体的虚功原理
（1）质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，在
FP1
某一位置处于平衡的必要和 FN1
Ax A点水平位移
Ay A点竖向位移
A截面转角
§6.1 结构位移计算概述
一、结构的位移 (Displacement of Structures)

A
引起结构位移的原因
P
Ay
A A
荷载 温度改变
Ax
支座移动
制造误差 等
t
二、 计算位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。
A
B
P
P X
C
C
a
(a)
b
X (b)
(c)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态
解：去掉A端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态.
(实(21将通))际对虚由常受位静外力取移定X力状与结/ 虚态实构C的功际，平力这a总/衡状里b和方态实代1为程无际入零关用得，的,故:是即可刚M设：体B虚XX位x0移X原b1P理P/，a 实C质上0是
微段拉伸
ds ds 微段剪切
ds
微段弯曲
对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:
δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线
二、如何施加单位荷载（求转角、相对转角）
三、位移计算公式的简化 1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）：
K


i
M (x)M P (x)dx EI
2、桁架（只考虑轴力影响）：
K


i
FN (x)FNP (x)dx EA
3、拱：一般只考虑弯曲变形
δWe =δWi
任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚
位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe,恒 等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。
变形体虚功原理的证明:
qx
ab a b
aБайду номын сангаас
b
b
a
b
1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W
2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W
F N (x) 0, FNP (x) 0
Ah
l
b
FQ (x) 1, FQP(x) q(l x)
P 1 x
M (x) x l, M P (x) q(l x)2 / 2
ip
[ FNP F N EA
k FQP F Q GA
设M: PMM
EI
ql 4 ]8dEsI
在刚体位移上的功dWg 在变形位移上的功dWi
微段外力功 dW= dWg+dWi
所有微段的外力功之和:
W=∫dWi =δWi
故有δWe=δWi成立。
几个任问何题一:个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚 位等变1条.移于形虚件时变力功。体，形状原因虚变体态理此功形各必里原体微原须存理所段满理在仅受外足的两是外力平个必证力在衡状要明在微条态性:虚段件：命位变；题移形位。上位移所移状作上态的作必总的须虚虚满功功足之δ协和W调eδ,恒Wi。
b C
Y(A1)所建立的虚功方程,
解：首先构造出相应的虚设力状态。实即质，上在是拟几求何位方移程之。
点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设(2)置虚单设位的荷力载状。态与实
由 MB 0求得： YA b / a
际位移状态无关，故 可设单位广义力 P=1
虚功方程为： 1 YA c 0 (3)求解时关键一步是
叠加原理适用（principle of superposition)
四、 计算方法
单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
§6.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
MP , Q

qk lq2 2GA

l q(l [

x)k

q(l

x)3
]dx
0 GA
2EI
Q M

4EIk GAl2
QP Mi
P 1
qkl2 ql4 ()
A bh, I bh3 /12, k 6 / 5,
2GA 8EI
对于细长杆,剪切变形 对位移的贡献与弯曲变 形相比可略去不计.
YA P / 2 YB P / 2
P P 2 P 3 0
22
2
（3）变形体的虚功原理
原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力
在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变
形体各微段外力在微段变形位移上作的虚
功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
P

FNP EA
,
P

k FQP GA
,
P

MP EI
适用于线弹性 直杆体系,
K
[ FNP ( x)FN ( x)
i
EA
k FQP ( x)FQ ( x) GA
M P ( x)M ( x) ]dx EI
例 1：已知图示粱的E 、G,
q
求A点的竖向位移。
解：构造虚设单位力状态.
(Virtual Work)
21
P2
22
注意： P1 （1）属同一体系；
1（112 2）均应力为满状可足态能变应状形满态协足。调平即条衡位件条移；件。
P1 （3）位移状态与力状态完全无关；
力状态 （虚力状态）
P2
位移状态 （虚位移状态）
12
§6.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
PR3
4EI bh, I
, Q bh3
kPR
4GA /12, k
,N 6 / 5,
PR
4EA
FQP

P cos , F Q

cos h/
R
1/10,
E
/G

2.5(钢砼)
ip



FNP P
ds Rd
[ FNP F N
sin

,FN
k FQP