《精编》浙江省杭州市高二数学下学期教学质量检测模拟卷试题(4) 文 新人教A版.doc

杭州市高二年级教学质量检测
数学文科试题卷(模拟4)
考生须知:
1．本卷总分值100分, 考试时间90分钟．
2．答题前, 在答题卷密封区内填写、班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效．
4．考试结束, 只需上交答题卷．
一、选择题：本大题共10小题，每题3分, 共30分，在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项符合题目要求的
1．某个容量为100的样本的频率分布直方图如以下列图，那么在区间[4,5)上的数据的频数为( )
A．15 B．20 C．25 D．30
2．数列{a n}的前n项和S n＝a n－1(a是不为0的实数)，那么{a n} ( )
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．可能是等差数列，也可能是等比数列
D．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
3．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，那么“A∪B＝I〞是“B＝∁I A〞的 ( ) A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数f(x)＝4cos x－e x2的图象可能是( )．
5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，那么EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．150°
6．抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，那么cos ∠AFB ＝( )
A.45
B.35 C ．－ 35 D ．－ 45
7．设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，那么以下命题中，逆命题不成立的是( )
A ．当c ⊥α时，假设c ⊥β，那么α∥β
B ．当b ⊂α时，假设b ⊥β，那么α⊥β
C ．当b ⊂α，且c 是a 在α内的射影时，假设b ⊥c ，那么a ⊥b
D ．当b ⊂α，且c ⊄α时，假设c ∥α，那么b ∥c
8．假设直线x a ＋y b
＝1经过点M (cos α，sin α)，那么( ) A ．a 2
＋b 2
≤1 B ．a 2＋b 2
≥1 C.1a 2＋1
b 2≤1
D.1a 2＋1
b
2≥1
9．如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论不成立的是( )
A ．BC ∥平面PDF
B ．DF ⊥平面PAE
C ．平面PDF ⊥平面PAE
D ．平面PD
E ⊥平面ABC
10、F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且
PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，那么( )
A.1e 21＋1
e 22＝4
B ．e 21＋e 2
2＝4 C.1e 21＋1
e 22
＝2
D ．e 2
1＋e 2
2＝2
二、填空题：本大题有7小题，每题4分，共28分．请将答案填写在答题卷中的横线上．
11．复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，那么z 的实部是________．
12．
2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415
，…，假设 6＋a t ＝6
a t
(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，那么a ＋t ＝________.
13．函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2
＋x )，假设f (x )≤g (x )在(0，＋∞)上恒成立，那么a 的取值范围是________．
14．α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ〞是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个．
15．函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx ，其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0)，(2,0)，如以下列图，那么以下说法中不正确的选项是________．
①当x ＝3
2时函数取得极小值；②f (x )有两个极值点；③当x ＝2时函数取得极小值；④
当x ＝1时函数取得极大值．
16.点P 在直线x ＋2y －1＝0上，点Q 在直线x ＋2y ＋3＝0上，PQ 中点为M (x 0，y 0)，且
y 0≥x 0＋2，那么y 0
x 0
的取值范围为________．
17．假设函数f (x )＝13x 3－a 2
x 满足：对于任意的x 1，x 2∈[0,1]都有|f (x 1)－f (x 2)|≤1
恒成立，那么a 的取值范围是________．
三、解答题：本大题有4小题, 共42分． 解容许写出文字说明, 证明过程或演算步骤．
18．(此题总分值10分)
直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.
(1)假设以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)假设直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2
＝4y 是否相切？说明理由．
19．(此题总分值10分) 如图，在梯形ABCD 中，
//AB CD ，2===CB DC AD ， 30=∠CAB ， 四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ， 3=CF ．
〔Ⅰ〕求证：BC ⊥平面ACFE ； 〔Ⅱ〕设点M 为EF 中点，
求二面角C AM B --的余弦值．
20．(此题总分值10分)
A
B
C
D
E
M F
〔第19题〕
H
x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ 〔Ⅰ〕当1=a 时, 研究()f x 的单调性与极值； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求证：
1
()()2f x g x >+；
〔Ⅲ〕是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3？假设存在，求出a 的值；假设不存在，说明理由．
21．(此题总分值12分)
椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与
直线0x y -相切，过点P 〔4，0〕且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。

〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2)→
→
⋅OB OA 的取值范围；
〔3〕假设B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。

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数学文科试题卷(模拟3)详细答案
一、选择题：〔本大题共10小题，每题3分, 共30分〕
1、解析：在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.应选D.
答案：D 2、C
3、解析：由B ＝∁I A ⇒A ∪B ＝I ，而A ∪B ＝I ⇒/ B ＝∁I A ，故“A ∪B ＝I 〞是“B ＝∁I A 〞的必要不充分条件．
答案：B
4、解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数，其图象关于yf (0)＝4 －1＝3>0，排除C ，应选A. 答案 A
5、解析：如以以下列图，∵EF ∥A 1B ，∴EF 、A 1B 与对面角BDD 1B 1所成的角相等，设正方体的棱长为1，那么A 1B ＝ 2.连接A 1C 1，交D 1B 1于点M ，连接BM ，那么有A 1M ⊥面BDD 1B 1，∠A 1BM 为A 1B 与面BDD 1B 1所成的角．Rt △A 1BM 中，A 1B ＝2，A 1M ＝
2
2
，故∠A 1BM ＝30°.
∴EF 与对角面BDD 1B 1所成角的度数是30°.应选A. 答案：A
6．解析：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y 2
＝4x
y ＝2x －4得：y 2
－2y －8＝0, y 1＝4，
y 2A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)
|AF |＝4－12
＋42
＝5， |BF |＝1－12
＋－2－0
2
＝2
|AB |＝
4－1
2
＋4＋2
2
＝3 5
cos ∠AFB ＝|AF |2
＋|BF |2
－|AB |
2
2|AF |·|BF |
＝
25＋4－452×5×2＝－4
5
.
7、解析：写出逆命题，可知B 中b 与β不一定垂直．选B. 答案：B
8、解析：由点M (cos α，sin α)可知，点M 在圆x 2
＋y 2
＝1上，又直线x a ＋y b
＝1经过点
M ，所以
|ab |
a 2＋b
2
≤1⇒a 2＋b 2≥a 2b 2，不等式两边同时除以a 2b 2
得1a 2＋1b
2≥1，应选D. 答案：D
9、解析： 因BC ∥DF ，所以BC ∥平面PDF ，A 成立；易证BC ⊥平面PAE ，BC ∥DF ，所以结论B 、C 均成立；点P 在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，不在中位线DE 上，故结论D 不成立．
答案： D
10、解析：设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，
那么⎩
⎪⎨
⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②.
①2
＋②2
得2(|PF 1|2
＋|PF 2|2
)＝4a 2
＋4m 2
，
又|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝4c 2
，代入上式得4c 2
＝2a 2
＋2m 2
， 两边同除以2c 2
，得2＝1e 21＋1e 22
，应选C.
答案：C
二、填空题：〔本大题有7小题，每题4分，共28分〕 11、解析：z ＋1＝－3＋2i i
＝
－3＋2i i
i
2
＝2＋3i ，∴z ＝1＋3i ，∴实部为1 12、解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋n
n 2－1
＝n n
n 2
－1
，所
以当n ＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41.
答案：41
13、 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，那么F ′(x )＝－
2x ＋1ax －1x
.根据题意，
只要使F (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立即可，①当a ≤0时，F ′(x )≥0，函数F (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以F (x )≤0在(0，＋∞)上不可能恒成立；②当a >0时，令F ′(x )＝0，
得x ＝1a 或x ＝－12(舍去)．当0<x <1a 时，F ′(x )>0，函数F (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增；当x >1a 时，F ′(x )<0，函数F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．此时F (x )在(0，＋∞)上的最大值是F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＝
ln 1a ＋1a h (a )＝ln 1a ＋1a －1，那么h ′(a )＝－1a －1
a
2<0，所以h (a )在(0，＋∞)上单调递减，且
h (1)＝0，所以ln 1a ＋1
a
－1≤0成立的充要条件是a ≥1，所以a 的取值范围是[1，＋∞)．
答案：[1，＋∞)
14、解析：假设α，β换为直线a ，b ，那么命题化为“a ∥b ，且α⊥γ⇒b ⊥γ〞，此命题为真命题；假设α，γ换为直线a ，b ，那么命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β〞，此命题为假命题；假设β，γ换为直线a ，b ，那么命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b 〞，
此命题为真命题．
答案：2
15、解析：从图象上可以看到：当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )有两个极值点1和2，且当x ＝2时函数取得极小值，当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．
答案：①
16、解析：如以以下列图所示，点M 在射线AB 上，射线AB 的方程为y ＝－12x －12⎝
⎛
⎭⎪⎫x ≤－53，
点A 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－53，13，根据y 0x 0的几何意义可知y 0x 0的取值范围是(－12，－15]．
答案：(－12，－1
5
]
17、解析：问题等价于在[0,1]内f (x )max －f (x )min ≤1恒成立．f ′(x )＝x 2
－a 2
，函数
f (x )＝1
3
x 3－a 2x 的极小值点是x ＝|a |，假设|a |>1，那么函数f (x )在[0,1]上单调递减，故
只要f (0)－f (1)≤1即可，即a 2
≤43，即1<|a |≤233；假设|a |≤1，此时f (x )min ＝f (|a |)
＝13|a |3－a 2
|a |＝－23a 2|a |，由于f (0)＝0，f (1)＝13－a 2，故当|a |≤33时，f (x )max ＝f (1)，此时只要13－a 2＋23a 2|a |≤1即可，即a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3|a |－1≤23，由于|a |≤33，故23|a |－1≤23×33－
1<0，故此时成立；当
33<|a |≤1时，此时f (x )max ＝f (0)，故只要23
a 2
|a |≤1即可，此式显然成立．故a 的取值范围是[－233，2
3
3]．
答案：[－233，2
3
3]
三、解答题：(本大题有4小题, 共42分．)
18、
解：解法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m
2－0
×1＝－1，
解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)从而圆的半径
r ＝|MP |＝2－0
2
＋
0－2
2
＝2 2.
故所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－x －m ，x 2
＝4y 得x 2
＋4x ＋4m ＝0.
Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．
①当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； ②当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．
综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切，当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 解法二：
(1)设所求圆的半径为r ，那么圆的方程可设为(x －2)2
＋y 2
＝r 2
.
依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，那么⎩
⎪⎨⎪
⎧
4＋m 2
＝r 2
，|2－0＋m |
2＝r ，
解得⎩⎨
⎧
m ＝2，
r ＝2 2.
所以所求圆的方程为(x －2)2
＋y 2
＝8. (2)同解法一．
19、(1)证明： 60,2=∠===ABC CB DC AD
那么4=AB ，122=AC ，那么得2
22BC AC AB +=
AC BC ⊥∴， 面⊥ACEF 平面ABCD ，
面 ACEF 平面ABCD AC =
⊥∴BC 平面ACEF ． ……7分
〔II 〕过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,
那么CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，13,3==HB CH ，13
133cos =
∠CHB ，那么二面角C AM B --的余弦值为
13
13
3． 20、
解：〔Ⅰ〕 x x x f ln )(-=，x
x x x f 111)(-=-
=' ……1分 ∴当10<<x 时，/
()0f x <，此时()f x 单调递减
当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增 …………3分 ∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分 〔Ⅱ〕 ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =……5分
令2
1
ln 21)()(+=+=x x x g x h ，2/ln 1)(x x x h -=， …………6分
当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增 ………7分
∴min max |)(|12
1
21211)()(x f e e h x h ==+<+== ………9分
∴在〔1〕的条件下，1
()()2
f x
g x >+……………………………10分
〔Ⅲ〕假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=〔],0(e x ∈〕有最小值3，
/1()f x a x =-x
ax 1
-=
① 当0≤a 时，(]e x ,0∈，所以0)(/
<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，
31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=〔舍去〕，
所以，此时)(x f 无最小值. ……12分
②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a
上单调递增
3ln 1)1
()(min =+==a a
f x f ，2e a =，满足条件. ……14分
③ 当e a
≥1时，(]e x ,0∈，所以0)(/
<x f ，
所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=
〔舍去〕，
所以，此时)(x f 无最小值. ……15分 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3 .……16分
21、(1)解：由题意知12c e a ==，∴22222214c a b e a a
-===，即2243a b =
又b ==2243a b ==， 故椭圆的方程为22
143
y x += (2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =- 由2
2(4)14
3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=
由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：214k < 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么221212223264124343
k k x x x x k k -+==++， ①
∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++ ∴
222
22121222264123287(1)41625434343k k OA OB x x y y k k k k k k -⋅=+=+⋅-⋅+=-+++ ∵2104k <
≤，∴28787873443
k --<-+≤，∴13[4)4OA OB ⋅∈-， ∴OA OB ⋅的取值范围是13[4)4-，． (3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)
直线AE 的方程为121112()y y y y x x x x +-=--，令y = 0得：112112
()y x x x x y y -=-+ 又1122(4)(4)y k x y k x =-=-，，∴12121224()8
x x x x x x x -+=+- 由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)．。