高中数学(人教B版)选择性必修二：独立性与条件概率的关系【精品课件】
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64 + 60 = 155，有自主创业打算的人数为
16 + 15 = 31.
所以抽到的人有自主创业打算的
1
概率为P A = .
5
例1 (2)求抽到的人是女生的概率；
解：记B为“抽到的人是女生”.
由题意可知，所有学生人数为16 + 15 +
64 + 60 = 155，女生人数为15 + 60 = 75.
解：(1)甲、乙、丙都通过可用表示，因此所
求概率为
=
= 0.8 × 0.9 × 0.7
= 0.504
ҧ
解：(2)甲、乙通过且丙未通过可用表示，因
此所求概率为
ҧ = ҧ
= [1 − ()]
= 0.8 × 0.9 × (1 − 0.7)
= ()
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否
有自主创业打算的情况如下表所示.
有自主创业打算
无自主创业打算
男生/人
16
64
从这些学生中随机抽取一人：
女生/人
15
60
例1(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；
解：记A为“抽到的人有自主创业打算”.
由题意可知，所有学生人数为16 + 15 +
关至少有一个闭合.
分析：
用 ， ，分别表示甲、乙、丙能正常工作，
表示系统能正常工作.
由题意知，系统能正常工作时，可分为三种
互斥的情况：
甲、乙、丙都正常工作，即；
ത ；
甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即
甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即.ҧ
ത ∪ .ҧ
因此 = ∪
知识回顾：
3.事件与事件独立的直观理解是什么？
事件是否发生不会影响事件发生的概
率，事件是否发生也不会影响事件发
生的概率.
思考：
事件与事件独立的直观理解的数学含义是
什么？
尝试与探究：
假设 > 0且 > 0，在与独立的前
提下，通过条件概率的计算公式考察
与()的关系，以及P B A 与()的关系.
谢谢
独立性与条件概率的关系
知识回顾：
1.条件概率的概念和计算公式是什么？
一般地，当事件发生的概率大于0时（即
> 0），已知事件发生的条件下事件
发生的概率，称为条件概率，记作 .
()
=
()
知识回顾：
2.事件 与事件 相互独立的充要条件是什么？
= ()
解：
甲、乙、丙都通过可用表示，因此所求
概率为
∪∪
= 1 − (ҧത )ҧ
= 1 − [1 − ][1 − ][1 − ]
= 0.994
小结：
独立乘法公式的灵活应用
借助间接法求对立事件的概率
例3 在一个系统中，每个部件能正常工作的概率称为部
件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的
无自主创业打算
男生/人
16
64
女生/人
15
60
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
分析：
可以借助事件独立的充要条件 = ()
来判断A 与B 是否独立.
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
解：由(1)和(3)的计算结果可知 =
1
，因此“抽到的人是女生”与“抽到的
5
=
人有自主创业打算”独立.
拓展：有自主创业打算的女生人数由原来的15人
改为16人，判断“抽到的人是女生”与“抽到
的人有自主创业打算”是否独立.
32
8
=
=
=
76 19
可知 ≠ (),则“抽到的人是女生”与
可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所
示的系统，已知当甲正常工作且乙、丙至少有一个
能正常工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠
度均为r(0 < r < 1)，而且甲、乙、丙互不影响.
求系统的可靠度.
分析：
该问题可类比成一个带开关的电路，甲、乙
丙相当于3个开关.
电路连通需要甲开关闭合，且乙开关或丙开
因为甲、乙、丙互不影响，所以，，相
互独立，而且 = = = .
由互斥事件概率的加法公式以及独立性求解.
解：
用 ， ，分别表示甲、乙、丙能正常工作，
表示系统能正常工作，则
ത ∪ ҧ
= ∪
ത + ()ҧ
= +
“抽到的人有自主创业打算”不独立.
解：
小结：
判断与独立的依据：
= ()
= ()
例2 已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过
的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这3人之
间的考试互不影响.求：
（1）甲、乙、丙都通过的概率；
（2）甲、乙通过且丙未通过的概率.
作业
1.已知P A B = 0.6， ҧ = 0.4，判断与是否
独立.
2.已知与独立，且 =
ഥ .
5
，()
12
=
5
，求
6
3.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工
1
1
1
序的次品率分别为 ， ， ，且各道工序互不影响，
70 69 68
求加工出来的零件的次品率.
= + ത +
()ҧ
= 3 + 2 2 1 −
= 2 2 − 3
课堂小结
1.探究了事件独立性与条件概率的关系.
2.学习了事件独立性充要条件并灵活解决问题.
3.运用化归转化思想，将复杂问题分解，并
用数学语言来表述实际问题.
= 0.216
拓展：
甲、乙、丙至少有一位通过考试的概率是多
少？
分析：所求事件可以表示为A ∪ B ∪ C
由于，，三个事件不是互斥事件，因此
不能利用 ∪ ∪ = + +
()来求解，但可以借助对立事件和事件的
独立性进行转化.
ഥB
ഥCത .
A ∪ B ∪ C的对立事件为A
分析：
当 > 0且 = ()时，由条件
概率的计算公式有
() ()
=
=
= ()
()
()
分析：
类似地，可以看出，如果 = ()，那
么一定有
P AB = = P A P B .
事件独立的充要条件：
当 > 0时，与独立的充要条件是：
所以抽到的人是女生的概率为P B =
15
.
31
例1 (3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创
业打算的概率；
解：所要求的是 ，注意到75名女生中有
15人有自主创业打算，因此 =
（也可利用条件概率公式）
1
.
5
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
有自主创业打算
分析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试
通过，则可知A，B，C相互独立，而且
P A = 0.8,P B = 0.9,P C = 0.7.
已知多个事件 1 ， 2 ，…， 相互独立，
求这些事件同时发生的概率，可以利用
1 2 ⋯ = 1 (2 ) ⋯ ( )计算.
16 + 15 = 31.
所以抽到的人有自主创业打算的
1
概率为P A = .
5
例1 (2)求抽到的人是女生的概率；
解：记B为“抽到的人是女生”.
由题意可知，所有学生人数为16 + 15 +
64 + 60 = 155，女生人数为15 + 60 = 75.
解：(1)甲、乙、丙都通过可用表示，因此所
求概率为
=
= 0.8 × 0.9 × 0.7
= 0.504
ҧ
解：(2)甲、乙通过且丙未通过可用表示，因
此所求概率为
ҧ = ҧ
= [1 − ()]
= 0.8 × 0.9 × (1 − 0.7)
= ()
例1 已知某大学数学专业二年级的学生中，是否
有自主创业打算的情况如下表所示.
有自主创业打算
无自主创业打算
男生/人
16
64
从这些学生中随机抽取一人：
女生/人
15
60
例1(1)求抽到的人有自主创业打算的概率；
解：记A为“抽到的人有自主创业打算”.
由题意可知，所有学生人数为16 + 15 +
关至少有一个闭合.
分析：
用 ， ，分别表示甲、乙、丙能正常工作，
表示系统能正常工作.
由题意知，系统能正常工作时，可分为三种
互斥的情况：
甲、乙、丙都正常工作，即；
ത ；
甲、丙正常工作，且乙不正常工作，即
甲、乙正常工作，且丙不正常工作，即.ҧ
ത ∪ .ҧ
因此 = ∪
知识回顾：
3.事件与事件独立的直观理解是什么？
事件是否发生不会影响事件发生的概
率，事件是否发生也不会影响事件发
生的概率.
思考：
事件与事件独立的直观理解的数学含义是
什么？
尝试与探究：
假设 > 0且 > 0，在与独立的前
提下，通过条件概率的计算公式考察
与()的关系，以及P B A 与()的关系.
谢谢
独立性与条件概率的关系
知识回顾：
1.条件概率的概念和计算公式是什么？
一般地，当事件发生的概率大于0时（即
> 0），已知事件发生的条件下事件
发生的概率，称为条件概率，记作 .
()
=
()
知识回顾：
2.事件 与事件 相互独立的充要条件是什么？
= ()
解：
甲、乙、丙都通过可用表示，因此所求
概率为
∪∪
= 1 − (ҧത )ҧ
= 1 − [1 − ][1 − ][1 − ]
= 0.994
小结：
独立乘法公式的灵活应用
借助间接法求对立事件的概率
例3 在一个系统中，每个部件能正常工作的概率称为部
件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的
无自主创业打算
男生/人
16
64
女生/人
15
60
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
分析：
可以借助事件独立的充要条件 = ()
来判断A 与B 是否独立.
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
解：由(1)和(3)的计算结果可知 =
1
，因此“抽到的人是女生”与“抽到的
5
=
人有自主创业打算”独立.
拓展：有自主创业打算的女生人数由原来的15人
改为16人，判断“抽到的人是女生”与“抽到
的人有自主创业打算”是否独立.
32
8
=
=
=
76 19
可知 ≠ (),则“抽到的人是女生”与
可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所
示的系统，已知当甲正常工作且乙、丙至少有一个
能正常工作时，系统就能正常工作，各部件的可靠
度均为r(0 < r < 1)，而且甲、乙、丙互不影响.
求系统的可靠度.
分析：
该问题可类比成一个带开关的电路，甲、乙
丙相当于3个开关.
电路连通需要甲开关闭合，且乙开关或丙开
因为甲、乙、丙互不影响，所以，，相
互独立，而且 = = = .
由互斥事件概率的加法公式以及独立性求解.
解：
用 ， ，分别表示甲、乙、丙能正常工作，
表示系统能正常工作，则
ത ∪ ҧ
= ∪
ത + ()ҧ
= +
“抽到的人有自主创业打算”不独立.
解：
小结：
判断与独立的依据：
= ()
= ()
例2 已知甲、乙、丙3人参加驾照考试时，通过
的概率分别为0.8，0.9，0.7，而且这3人之
间的考试互不影响.求：
（1）甲、乙、丙都通过的概率；
（2）甲、乙通过且丙未通过的概率.
作业
1.已知P A B = 0.6， ҧ = 0.4，判断与是否
独立.
2.已知与独立，且 =
ഥ .
5
，()
12
=
5
，求
6
3.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工
1
1
1
序的次品率分别为 ， ， ，且各道工序互不影响，
70 69 68
求加工出来的零件的次品率.
= + ത +
()ҧ
= 3 + 2 2 1 −
= 2 2 − 3
课堂小结
1.探究了事件独立性与条件概率的关系.
2.学习了事件独立性充要条件并灵活解决问题.
3.运用化归转化思想，将复杂问题分解，并
用数学语言来表述实际问题.
= 0.216
拓展：
甲、乙、丙至少有一位通过考试的概率是多
少？
分析：所求事件可以表示为A ∪ B ∪ C
由于，，三个事件不是互斥事件，因此
不能利用 ∪ ∪ = + +
()来求解，但可以借助对立事件和事件的
独立性进行转化.
ഥB
ഥCത .
A ∪ B ∪ C的对立事件为A
分析：
当 > 0且 = ()时，由条件
概率的计算公式有
() ()
=
=
= ()
()
()
分析：
类似地，可以看出，如果 = ()，那
么一定有
P AB = = P A P B .
事件独立的充要条件：
当 > 0时，与独立的充要条件是：
所以抽到的人是女生的概率为P B =
15
.
31
例1 (3)若已知抽到的人是女生，求她有自主创
业打算的概率；
解：所要求的是 ，注意到75名女生中有
15人有自主创业打算，因此 =
（也可利用条件概率公式）
1
.
5
例1(4)判断“抽到的是女生”与“抽到的人有自主
创业打算”是否独立.
有自主创业打算
分析：用A，B，C分别表示甲、乙、丙驾照考试
通过，则可知A，B，C相互独立，而且
P A = 0.8,P B = 0.9,P C = 0.7.
已知多个事件 1 ， 2 ，…， 相互独立，
求这些事件同时发生的概率，可以利用
1 2 ⋯ = 1 (2 ) ⋯ ( )计算.