海南省2010年高三数学五校第二次联考测试理 新人教版

海南省国兴中学 海 师 大 附 中 嘉 积 中 学 三 亚 一 中 农 垦 中 学
2010 年 高 三 联 考
数 学 试 题（理）
说明：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22—24题
为选考题，其它题为必考题。

共150分。

考试时间120分钟。

2．考生作答时时，将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效。

第I 卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的） 1．设复数i z i z 32,4321+-=-=，则21z z -在复平面内对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 2．“p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．若关于x 的方程|1|2x
a a -=(0,1)a a >≠有两个不等实根，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)
(1,)+∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．1
(0,)2
4．平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是直线1m 和直线1n ，给
出下列四个命题：
①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ；
②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；
③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合； 其中不正确．．．
的命题个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：
车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．
据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图1是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频
20 30 40 50 60 70 80 90 100 酒精含量
频率 组距
（mg/100ml ）
0.015 0.01 0.005
0.0率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 （ ）
A ．2160
B ．2880
C ．4320
D ．8640
6．△ABC ，ABC AB AC A A ∆===+则,3,2,2
2
cos sin 的面积为 （ ）
A ．
()2343+ B ．
()2643-
C ．
(
)264
3+
D ．
(
)234
3-
7．阅读程序框图，其功能是计算数列}{n a 前n 项和的最大值S ，
则
（ ）
A ．225,229=-=S n a n
B ．225,231=-=S n a n
C ．256,229=-=S n a n
D ．256,231=-=S n a n
8．已知点P 是椭圆()018
162
2≠=+xy y x 上的动点，F 1．F 2为椭圆的左．右焦点，O 为坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上的一点，且OM MP M F 则,01=⋅的取值范围是（ ） A ．（0，3） B ．（3,32）
C ．（0，4）
D ．（0，22）
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12010a =-，
20092007
220092007
S S -=，则2010S =（ ） A ．－2008 B ．2008 C ．－2010 D ．2010
10．某五所大学进行自主招生，同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀，并在某些方面有
特长的学生发出提前录取通知单．若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读，
俯视图 正视图 侧视图
则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是 （ ） A ．15
B ．
24125 C ．96125 D ．48
125
11．已知函数f(x)= x
2
+2x +1,F(x)=⎩
⎨
⎧<-≥)0()()
0()(x x f x x f ，若x R ∈时,g(x )=F(x ) -k x 是
增函数，则实数k 的取值范围是
（ ）
A ．22≤≤-k
B ． 2≥k
C ．2-≤k
D ．φ
12．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，
它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端
的数均为1
n ()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数 的和，如111122=+，111236=+，111
3412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为
（ ）
A ．11260
B ．1
840
C ．1504
D ．1360
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中横线上）
13．设O 为坐标原点，点(2,1),M 点(),N x y 满足360,0x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
则OM ON ⋅的
取值范围为
14．如图是一个简单的组合体的直观图与三视图．下面是一个
棱长为4的正方体，正上面放一个球，且球的一部分嵌入正 方体中，则球的半径是_______________ 15．若()3211n
n x x ax bx +=+
++++，且3a b =，
则n =_________。

16．简化北京奥动会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图如图所示，
内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，外层椭圆顶点向内
层椭圆引切线AC ．BD ．设内层椭圆方程为22
2
21x y a b
+=(0)a b >>， 1
1
12 1
2
13 16 1
3
14
112
112
1
4
15 120 130 120
15
………………………………………
图2
则外层椭圆方程可设为
22
22
1()()x y ma mb +=(0,1)a b m >>>．若AC 与BD 的斜率之积为9
16-
，则椭圆的离心率为______________________
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）若函数24y f x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像关于直线6
x π
=
对称，求ϕ的值．
18．（本题满分14分）如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现
在投掷一个质地均匀．每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1．两个2．两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前进两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止． （Ⅰ）求点P 恰好返回到A 点的概率；
（Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随
机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，
AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C ．D 的点，3AE =，圆O 的直径为
9．
（1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值． 20．（本小题满分13分）
已知a ∈R ，函数()ln 1a
f x x x
=+-，()()ln 1x g x x e x =-+（其中e 为自然对数的底数）．
（1）求函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值；
（2）是否存在实数(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在，
求出0x 的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分13分）
已知点()0,1F ，直线l ：1y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂
⌒ 足为Q ，且QP QF FP FQ =． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）已知圆M 过定点()0,2D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A ．B 两
点，设1DA l =，2DB l =，求
12
21
l l l l +的最大值．
考生在题22，23，24中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做题时用2B 铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑。

（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
22．如图10，已知⊙O 和⊙M 相交于A ．B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点
G 为BD 中点，连结AG 分别交⊙O ．BD 于点E ．F 连结CE 。

（1）求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；
（2）求证：.22
CE
EF AG GF =
（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程
23．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线l 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 5425
3（t 为参数）。

（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 为曲线C 上一动点，求|MN|的最大值。

（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲
24．设函数.
|2||1|)(a x x x f -+++=
（1）当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；
（2）若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围。

参考答案
DADDC CBDCD CB
(-3,9) 1 11
17．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思
想方法，以及运算求解能力） （1）解：∵()()sin f x x ϕ=+，
∴函数()f x 的最小正周期为2π． （2）解：∵函数2sin 244y f x x ππϕ⎛⎫
⎛⎫
=+
=++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 又sin y x =的图像的对称轴为2
x k π
π=+（k ∈Z ），
令24
2
x k π
π
ϕπ++=+
，
将6
x π=
代入，得12
k π
ϕπ=-
（k ∈Z ）．
∵0ϕπ<<，∴1112
πϕ=
． 18．解：（Ⅰ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 12163
P =
= 因为只投掷一次不可能返回到A 点；
若投掷两次点P 就恰能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： （1，3）．（3，1）．（2，2）三种结果，其概率为221
1()333P =⋅=
若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依次为：
（1，1，2）．（1，2，1）．（2，1，1）三种结果，其概率为3
3
11()33
9
P =⋅= 若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为441
1()381
P ==
所以，点P 恰好返回到A 点的概率为23411137
398181
P P P P =++=
++=
┅┅┅┅┅┅7分 （Ⅱ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种，
因为，3(2)7P ξ==
，3(3)7P ξ==，1(4)7P ξ== 所以，33119
2347777
E ξ=⋅+⋅+⋅= ┅┅┅┅┅┅┅┅12分
本小题主要考查空间线面关系．空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合．化归与转
化的数学思想方法，以及空间想象能力．推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵CD ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面ADE ．
（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，
∴CD DE ⊥．
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-，
由22
819a a -=-，解得，35a =．
∴226DE AD AE =-=．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG AB 交BC 于点G ，连结GE ，
由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，
∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ， ∴BC EF ⊥．
∵BC FG ⊥，EF FG F =，
∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．
∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．
在Rt △ADE 中，35AD =，3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅， ∴65
535
AE DE EF AD ⋅=
==
． 在Rt △EFG 中，35FG AB ==， ∴2
tan 5
EF EGF FG ∠=
=． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为
25
． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．
G
F
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-，
由22
819a a -=-，解得，35a =．
∴226DE AD AE =-=．
以D 为坐标原点，分别以ED ．CD 所在的直线为x 轴．y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()6,0,0E -，()
0,35,0C -，()6,0,3A -，
()
6,35,3B --．
设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，
则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即111630,350.x z y -+=⎧⎪⎨-=⎪
⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，
则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即22223530,6350.
y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =，则(
)
25,2,25=
n 是平面ABCD 的一个法向量．
∵()()
1212121,0,25,2,25cos ,104542029
===
⋅++⋅++n n n n n n ， ∴12sin ,29
=n n ． ∴122tan ,5
=
n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为
25
． 20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
x
y
z
（1）解：∵()ln 1a f x x x =
+-，∴221()a x a f x x x x
-'=-+=． 令()0f x '=，得x a =．
①若a ≤0，则()0f x '>，()f x 在区间(]0,e 上单调递增，此时函数()f x 无最小值． ②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<，函数()f x 在区间()0,a 上单调递减， 当(],x a e ∈时，()0f x '>，函数()f x 在区间(],a e 上单调递增， 所以当x a =时，函数()f x 取得最小值ln a ．
③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 所以当x e =时，函数()f x 取得最小值
a
e
． 综上可知，当a ≤0时，函数()f x 在区间(]0,e 上无最小值； 当0a e <<时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln a ； 当a e ≥时，函数()f x 在区间(]0,e 上的最小值为a e
． （2）解：∵()()ln 1x
g x x e x =-+，(]0,x e ∈，
∴ ()()()()ln 1ln 11x x
g x x e x e
'''=-+-+
()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ⎛⎫
=+-+=+-+ ⎪⎝⎭
． 由（1）可知，当1a =时，1
()ln 1f x x x
=+-． 此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=，即1
ln 10x x
+-≥．
当(]00,x e ∈，00x
e >，
00
1
ln 10x x +-≥， ∴00001()ln 1110x g x x e x ⎛⎫
'=+-+>
⎪⎝⎭
≥． 曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解． 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解．
故不存在(]00,x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直．
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查圆．抛物线．基本不等式等知识，考查数形结合．化归与转化．函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设(),P x y ，则(),1Q x -，
∵QP QF FP FQ =，
∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． 即()()22121y x y +=--，即2
4x y =，
所以动点P 的轨迹C 的方程2
4x y =．
（2）解：设圆M 的圆心坐标为(),M a b ，则2
4a b =． ①
圆M 的半径为
MD =
圆M 的方程为()()()2
2
2
2
2x a y b a b -+-=+-． 令0y =，则()()2
2
2
2
2x a b a b -+=+-，
整理得，2
2440x ax b -+-=． ② 由①．②解得，2x a =±． 不妨设()2,0A a -，()2,0B a +，
∴1l =
2l =
．
∴22212122112l l l l l l l l ++==
== ③
当0a ≠
时，由③得，
1221l l l l +==
当且仅当a =±时，等号成立． 当0a =时，由③得，
12
21
2l l l l +=．
F
E O
B
M A D
C
故当
a =±时，
12
21
l l l l +的最大值为． 选修4－1：几何证明选讲
22．证明：（1）连结AB ，AC ， ∵AD 为
M 的直径，∴090ABD ∠=，
∴AC 为O 的直径, ∴CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠，∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点，∴DAG GDF ∠=∠，
∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠,
∴CEF ∆∽AGD ∆，∴CE AG
EF GD
=
， ∴GD CE EF AG ⋅=⋅。

5分 （2）由（1）知DAG GDF ∠=∠，G G ∠=∠,
∴D G F ∆∽AGD ∆,∴GF AG DG ⋅=2
,
由（1）知2222EF GD CE AG
=，∴2
2GF EF AG CE =． 10分
选修4—4：坐标系与参数方程
23．解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为： θρρsin 22
=， 又.sin ,cos ,2
2
2
θρθρρ===+y x y x 所以，曲线C 的直角坐标方程为：
.0222=-+y y x 5分
（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：
)2(34
--=x y 7分
令0=y 得2=x 即M 点的坐标为（2，0）
又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为（0，1） 半径5||,1=
=MC r 则，
1
5||||+=+≤∴r MC MN
10分
选修4—5：不等式选讲
24．（1）由题设知：1250x x ++--≥，在同一坐标系中作出函数12y x x =++-和5y =的图象,
3分
知定义域为(]
[),23,-∞-+∞． 5分
（2）由题设知，当x R ∈时，恒有120x x a ++--≥， 即12x x a ++-≥， 7分 又由（1）123x x ++-≥，∴ 3a ≤ 。

10分。