北京市石景山区2016届高三数学一模考试试卷-理(含解析)

石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷
高三数学（理）
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项．
1．已知集合{|0}M x x x =≥∈，R ，2{|1}N x x x =<∈，R ，则M N ＝( )
A ．
[]01， B ．()01， C ．(]01，
D ．[)01， 2．设i 是虚数单位，则复数
21i
i
-在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．1y x =+ B ．3y x =- C ．1
y x =
D ．y x
x =
4．下图给出的是计算
1111
24610
+++⋅⋅⋅+的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A ．5i > B ．5i < C ．6i > D ．6i <
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．62 C ．10 D ．82
6．在数列
{}n a 中，
“1n n a a +>”是“数列{}n a 为递增数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 7．函数()sin()(00)2
f x A x A =+>><，，π
ωϕωϕ的部分图象如
图所示，则将()y f x =的图象向右平移6
π
个单位后，得到的函数
图象的解析式为( ) A ．sin 2y x = B ．2sin(2)3y x π=+
C ．sin(2)6y x π
=-
D ．cos 2y x = 8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半 (即
2
n
)；如果n 是奇数，则将它乘3加1(即31n +)，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．
对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n (首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则n 的所有不同值的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．32 D ．128
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．双曲线22
12
x y -=的焦距是________，渐近线方程是________．
10．若变量x y ，
满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，，，则2z x y =+的最大值等于_____． 11．如图，AB 是半圆O 的直径，30BAC ︒∠=，BC 为半圆的切线，且
43BC =，则点O 到AC 的距离OD ＝________．
12．在平面直角坐标系中，已知直线l 的参数方程为11x s y s =+⎧⎨=-⎩，
(s 为参数)，曲线C 的参数方程为
2
2x t y t
=+⎧⎨=⎩，
(t 为参数)，若直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，则AB ＝____．
13．已知函数2log 0()30x
x x f x x >⎧=⎨
≤⎩，
，，
，关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．
14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，
丁得了_______________分．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）
设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =． （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，
的值．
16．（本小题共13分）
我市某苹果手机专卖店针对苹果6S 手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S 手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：
付款方式 分1期 分2期 分3期
分4期 分5期
频数
35
25
a
10
b
已知分3期付款的频率为0.15,请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题： （Ⅰ）求a ，b 的值；
（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；
（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S 手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X 表示销售一部苹果6S 手机的利润，求X 的分布列及数学期望．
17．（本小题共14分）
ABC ，
如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面
BC AC ⊥，2BC AC ==，13AA =，D 为AC 的
中点．
（Ⅰ）求证：1AB ∥平面1BDC ； （Ⅱ）求二面角1C BD C --的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得CP ⊥
平面
1BDC ？若存在，求出
AP 的长；若不存在，说明理由．
18．（本小题共13分）
已知函数()sin cos f x x x x =-．
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点(())πf π，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当(0)2x ∈，π时，31
()3
f x x <；
（Ⅲ）若()cos f x kx x x >-对(0)2x ∈，π
恒成立，求实数k 的最大值．
19．（本小题共14分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2，离心率为2
2
，直线
:l y kx m =+与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的垂直平分线通过点1
(0)2
-，．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）求△AOB （O 为坐标原点）面积的最大值．
20．（本小题共13分）
若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称{}n a 是“回归数列”．
（Ⅰ）①前n 项和为2n n
S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；
②通项公式为2n b n =的数列{}n b 是否是“回归数列”？并请说明理由；
（Ⅱ）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值； （Ⅲ）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得
n n n a b c =+*()n ∈N 成立，请给出你的结论，并说明理由．
答案及试题解析
1【知识点】集合的运算 【试题解析】因为
故答案为：D 【答案】D
2【知识点】复数综合运算
【试题解析】因为
所以，对应的点位于第二象限
故答案为：B
【答案】B
3【知识点】函数的奇偶性函数的单调性与最值
【试题解析】因为A．不是奇函数，B．不是增函数，C．不是增函数，只有D．既是奇函数又是增函数
故答案为：D
【答案】D
4【知识点】算法和程序框图
【试题解析】因为
判断框内填入的条件是输出的值
故答案为：A
【答案】A
5【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】因为如图为原几何体的直观图，面积中最大的是,
故答案为：C
【答案】C
6【知识点】充分条件与必要条件
【试题解析】因为不能推出数列为递增数列，由数列为递增数列能推出，
所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件
故答案为：B
【答案】B
7【知识点】三角函数图像变换
【试题解析】因为由图像可知,
过点，又得，，图象向右平移
个单位后
故答案为：C
【答案】C
8【知识点】合情推理与演绎推理
【试题解析】因为倒着分析得第一个数可为共六个不同取值
故答案为：B
【答案】B
9【知识点】双曲线
【试题解析】因为焦距渐近线方程是
故答案为：，
【答案】，
10【知识点】线性规划
【试题解析】因为如图为可行域，在取得最大值10
故答案为：10
【答案】10
11【知识点】几何选讲
【试题解析】因为
故答案为：3
【答案】3
12【知识点】参数和普通方程互化
【试题解析】因为，联立得得
，得
故答案为：
【答案】
13【知识点】零点与方程函数图象
【试题解析】因为原命题等价于函数与图像只有一个交点，a为直线在x轴上的截距，有图像可得。

故答案为：
【答案】
14【知识点】合情推理与演绎推理
【试题解析】因为由已知得第3、4题应为一对一错，所以丙和丁得分相同
所以，丁的得分也是6分。

故答案为：6
【答案】6
15【知识点】解斜三角形
【试题解析】（Ⅰ），
由正弦定理得，
在△中，，即，，
．
（Ⅱ），由正弦定理得，
由余弦定理，
得，
解得，∴．
【答案】见解析
16【知识点】概率综合
【试题解析】（Ⅰ）由题意得，
所以，
又，所以．
（Ⅱ）设事件为“购买一部手机的3名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，
由题意得：随机抽取一位购买者，分期付款的概率为，
所以．
（Ⅲ）记分期付款的期数为，依题意得，，，，，
因为可能取得值为元，元，元，
并且易知，
，
，
所以的分布列为
所以的数学期望
【答案】见解析
17【知识点】立体几何综合
【试题解析】（Ⅰ）证明：连接，与相交于，连接．
∵是矩形，∴是的中点．
又是的中点，∴∥．
∵平面，平面，
∴∥平面．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，
，，，，
设是平面的一个法向量，
则即
令，则，
易知是平面的一个法向量，
∴，
由题意知二面角为锐角，
∴二面角的余弦值为．
（Ⅲ）假设侧棱上存在一点()，使得平面．则，即∴．
∴方程组无解．∴假设不成立．
∴侧棱上不存在点，使⊥平面．
【答案】见解析
18【知识点】导数的综合运用
【试题解析】解：
（Ⅰ），．
所以切线方程为．
（Ⅱ）令，
则，
当时，设，则
所以在单调递减，
即，所以
所以在上单调递减，所以，所以．
（Ⅲ）原题等价于对恒成立，
即对恒成立，
令，则．
易知，即在单调递增，所以，所以
故在单调递减，所以．
综上所述，的最大值为．
【答案】见解析
19【知识点】椭圆
【试题解析】解：（Ⅰ）由已知可得解得，
故椭圆的标准方程为．
（Ⅱ）设，，
联立方程
消去得．
当，
即时，
，．
所以，．
当时，线段的垂直平分线显然过点
因为,所以
，当时，取到等号．
当时，因为线段的垂直平分线过点，
所以，
化简整理得．
由得．
又原点到直线的距离为．
所以
而且，
则．
所以当，即时，取得最大值．
综上，最大值为．
【答案】见解析
20【知识点】数列综合应用
【试题解析】解:（Ⅰ）①∵，作差法可得，当时，；
当时，，存在，使得
∴数列是“回归数列”．
②∵，∴前项和，根据题意
∵一定是偶数，∴存在，使得
∴数列是“回归数列”．
（Ⅱ），根据题意，存在正整数，使得成立
即，，，
∴，即．
（Ⅲ）设等差数列
总存在两个回归数列，
使得………9分
证明如下：
数列前项和，
时，；时，；
时，为正整数，当时，．
∴存在正整数，使得，∴是“回归数列”
数列前项和存在正整数，使得，∴是“回
归数列”，所以结论成立．
【答案】见解析。