高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算

2.3.3 平面向量的坐标运算
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A (1，－3)，AB →
的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( ) A ．(4,4) B ．(－2,4) C ．(2,10)
D ．(－2，－10)
【解析】 设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →
＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)，得B (4,4)．
【答案】 A
2．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 等于( )
A ．(1，－1)
B ．(－1,1)
C ．(－4,6)
D ．(4，－6)
【解析】 因为4a,3b －2a ，c 对应有向线段首尾相接，所以4a ＋3b －2a ＋c ＝0，故有
c ＝－2a －3b ＝－2(1，－3)－3(－2,4)＝(4，－6)．
【答案】 D
3．若a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．32a －12
b
D ．－32a ＋12
b
【解析】 设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则
(－1,2)＝λ1(1,1)＋λ2(1，－1)＝(λ1＋λ2，λ1－λ2)，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ1＋λ2＝－1，λ1－λ2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧
λ
1
＝1
2
，λ
2＝－32
，
∴c ＝12a －32
b .故选B ． 【答案】 B
4．已知点A (1,2)，B (2,4)，C (－3,5)．若BP →＝BA →＋mBC →
，且点P 在y 轴上，则m ＝( ) A ．－2
B ．1
5
C ．－15
D ．2
【解析】 设P (x ，y )，由题意AP →＝mBC →
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －1＝－5m ，y －2＝m ，∴P (－5m ＋1，m ＋2)，又点P 在y 轴上，∴－5m ＋1＝0，m ＝1
5
.
【答案】 B
5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →
＝λOA →＋(1－λ)·OB →
(λ∈R )，则λ的值为( ) 【导学号：00680050】
A ．15
B ．13
C ．25
D ．23
【解析】 如图所示，∵∠AOC ＝45°，
∴设C (x ，－x )，则OC →
＝(x ，－x )． 又∵A (－3,0)，B (0,2)，
∴λOA →＋(1－λ)OB →
＝(－3λ，2－2λ)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝2
5
.
【答案】 C 二、填空题
6．已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13
AB →
，则点C 的坐标为________．
【解析】 因为AC →＝13AB →，即OC →－OA →＝13(OB →－OA →)，所以OC →＝23OA →＋13OB →＝2
3(2,3)＋13
(－1,5)
＝⎝
⎛⎭⎪⎫1，113.
【答案】 ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，113
7．已知边长为单位长度的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →
的坐标为________. 【导学号：70512033】
【解析】 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为A (0,0)，
B (1,0)，
C (1,1)，
D (0,1)．
∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →
＝(1,1)． ∴2AB →＋3BC →＋AC →
＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1) ＝(3,4)． 【答案】 (3,4) 三、解答题
8．若向量|a|＝|b|＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求a 与b 的坐标． 【解】 设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
m 2＋n 2＝1，
p 2
＋q 2
＝1，m ＋p ＝1，
n ＋q ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12
，
q ＝－32，
n ＝32，
或⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝p ＝12
，
q ＝32，
n ＝－32.
故所求向量为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2，－32，
或a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2，32.
9．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →
＋12
AC →. (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 【解】 (1)因为A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)， 所以AB →
＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)． AC →
＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)，
AB →
＋AC →
＝(3，－1)＋(－3,2)
＝(0,1)，
AB →
－AC →
＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
2AB →＋12AC →
＝2(3，－1)＋12
(－3,2)
＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫92，－1. (2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)，
a －
b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)， 3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．
[能力提升]
1．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →
＝(1,0)，BA →|BA →|＋BC →|BC →|＝BD →
|BD →|，则四边形ABCD 的面积是( )
A ．32
B ． 3
C ．
34
D ．
32
【解析】 BA
→
|BA →|为在BA →方向上的单位向量，记为e 1＝BM →，类似地，设BC →|BC →|＝e 2＝BN →，
BD
→|BD →|
＝e 3＝BG →，所以e 1＋e 2＝e 3，可知四边形BNGM 为菱形，且|BM →|＝|BG →|＝|BN →
|，所以∠MBN ＝120°，从而四边形ABCD 也为菱形，|AB →|＝|BC →|＝1，所以S ▱ABCD ＝|AB →|·|BC →
|·sin∠ABC ＝32
. 【答案】 D
2．以原点O 及点A (23，－2)为顶点作一个等边△AOB ，求点B 的坐标及向量AB →
的坐标． 【解】 因为△AOB 为等边三角形，且A (23，－2)，
所以|OA →|＝|OB →|＝|AB →
|＝4.
因为在0～2π范围内，以Ox 为始边，OA 为终边的角为11π
6，当点B 在OA 的上方时，
以OB 为终边的角为π6，由三角函数的定义得：OB →＝⎝
⎛
⎭⎪⎫4cos π6，4sin π6＝(23，2)．
所以AB →＝OB →－OA →
＝(23，2)－(23，－2)＝(0,4)． 当点B 在OA 的下方时，以OB 为终边的角为3π
2，
由三角函数的定义得：OB →
＝(0，－4)， 所以AB →＝OB →－OA →
＝(0，－4)－(23，－2) ＝(－23，－2)．
综上所述，点B 的坐标为(23，2)，AB →的坐标为(0,4)或点B 的坐标为(0，－4)，AB →
的坐标为(－23，－2)．。