人教A版高中数学必修三试卷惠来一中--下学期高一期中考试.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
惠来一中2011--2012年度下学期高一期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟， 满分：150）
注意事项：
1、 选择题每题有且仅有一个正确答案，用黑色签字笔将前10小题正确代码涂在答题卷对
应位置；
2、 用0.5毫米的黑色签字笔填答填空题和解答题，谨防答题错位和将答题内容超出扫描区
域外，否则评卷时对应部分不给分； 一、选择题（每题5分，共50分） 1.10sin()3
π
-
的值等于 （ ） A ．21 B ．－2
1
C ．23
D ．－23
2．θ是第二象限角，且满足2cos
sin
(sin
cos )2
2
22θ
θ
θ
θ-=-，那么2
θ
（ ）
A 是第一象限角
B 是第二象限角
C 是第三象限角
D 可能是第一象限角，也可能是第三象限角
3．若非零实数m 、n 满足tan sin m αα-=，tan sin n αα+=，则cos α等于（ ） A ．
n m
m n
-+ B ．
2
m n
- C ．
2
m n
+ D ．
m n
n m
-+ 4．已知sin(π
4+α)=32,则sin(3π4－α)值为 ( )
A.12
B. —1
2
C.32
D. —32
5．函数f(x)=sin(π
4-x)的一个单调增区间为
（ ）
A ．(3π4,7π
4)
B ．(-π4,3π
4) C ．(-π2,π2) D ．(-3π4,π4)
6．如图所示，角θ的终边与单位圆交于点525(,)5
5
P -，则cos()πθ-的值为 （ ）
A ．255-
B ．55-
C ．5
5
D ．
25
5
7．在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中抽取20个作为样本．
①将零件编号为00,01，…，99，抽签取出20个；
②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个； ③采用分层抽样法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．
对于上述问题，下面说法正确的是( )
A ．不论采用哪一种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率都是1
5
B ．①②两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为1
5，③并非如此
C ．①③两种抽样方法，这100个零件中每一个被抽到的概率为1
5
，②并非如此
D ．采用不同的抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的 8．读程序 甲：INPUT i ＝1 乙：INPUT i ＝1000 S ＝0 S ＝0 WHIL
E i ＜＝1000 DO
S ＝S ＋i S ＝S ＋i i ＝i ＋l i ＝i 一1 WEND LOOP UNTIL i ＜1 PRINT S PRINT S
END END 对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 （ ） A ．程序不同，结果不同 B ．程序不同，结果相同 C ．程序相同，结果不同 D ．程序相同，结果相同
9、已知圆的方程为0862
2
=--+y x y x ，设该圆中过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是 （ ） A ．610 B ．620 C ．630 D ．640
10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )
二、填空题（每题5分，共20分）
11．把七进制数305(7)化为五进制数，则305(7)＝______(5)． 12．已知()2cos
6
f x x π
=,则(0)(1)(2)(2010)f f f f +++⋅⋅⋅+=__________．
13、定义某种运算b a S ⊗=,运算原理如图4所示,则式子:
1
31100lg ln 45tan 2-⎪⎭
⎫
⎝⎛⊗+⊗⎪⎭⎫ ⎝⎛e π的值是
.
14. 一个几何体的三视图如下图所示，
则这个几何体的体积为 ．
三、解答题：本大题共6小题．共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分12分）
已知α为第三象限角，()2
3sin()cos()tan()
22tan()sin ()
f ππ
ααπαααπαπ-+-=----． （１）化简()f
α
（２）若31
cos()25
πα-=，求()f α的值
输出a ×(b +1) 输出a ×(b –1) 结束 开始
输入两个数a 和b b a ≥ 是 否 图4
俯视图侧视图
正视图1
111
22
114题图
16．（本小题满分12分）
已知角θ的终边在直线2y x =上。

（1）求tan θ的值； （2）求
θ
θθ
θsin cos sin cos -+的值。

17．（本小题满分12分）
某校从高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，其成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分 及以上为及格）和平均分； （Ⅱ）假设在[90,100]段的学生的成绩都不相同, 且都在94分以上,现用简单随机抽样方法,
从95，96,97,98,99,100这6个数中任取2个数,求这2个数恰好是两个学生的成绩的概率.
18．（本小题满分14分）
在长为3的线段AB 上依次取两点C 和D ，求这两点CD 之间的距离小于1的概率。

19．（本小题满分14分）
已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切． （Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．
20. 函数)(x f 的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意实数x ，在定义域中存在21,x x 使21x x x -=，)()(21x f x f ≠，且满足以下3个条件。

（1）21,x x 是)(x f 定义域中的数，)()(21x f x f ≠，则)
()(1
)()()(122121x f x f x f x f x x f -+=-
（2）1)(=a f ，（a 是一个正的常数） （3）当a x 20<<时，0)(>x f 。

证明：（1）)(x f 是奇函数；
（2）)(x f 是周期函数，并求出其周期； （3）)(x f 在)4,0(a 内为减函数。

惠来一中2011--2012年度下学期高一期中考试
数学答卷
评分栏
一、选择题（每题5分，共50分）
二、填空题（每题5分，共20分）
11、 ．12、 ． 13、 ． 14、 ．
三、解答题（共六题，总分80分） 试室座位号
选择填空题
15 16 17 18 19 20 总分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项
15、（本小题满分12分） 级 姓名 座号
16、（本小题满分12分）
17、（本小题满分14分）
18.（本小题满分14分）
19.（本小题满分14分）
20、（本小题满分14分）
惠来一中2011--2012年度下学期高一期中考试
数学考试参考答案
一、选择题（每题5分，共50分）
C C A C A C A B B C
二、填空题（每题5分，共20分）
11. 1102 12. 0 13. 8 14. 3
三、解答题：本大题共6小题．共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.解：（本题满分12分）
（1）()2
3sin()cos()tan()
22tan()sin ()f ππ
ααπαααπαπ-+-=---- 2(c o s )(s i n )(t a n )
(t a n )s i n ααααα--=- cos sin α
α
=-
…………………6分 （2）∵31cos()25πα-= ∴ 1sin 5α-= 从而1
sin 5
α=- …………8分
又α为第三象限角
∴2
26
cos 1sin 5
αα=--=-
………………11分
即()f α的值为26- ………………12分
16．解：（1）角θ的终边在直线2y x =
上所以tan 2θ=；……………………5分
（2）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-
+
=++θθθθθθ
θθθθ…………12分
17.（本题满分12分）
解:（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组， 频率和为 80.010)005.0025.0030.0020.0(=⨯+++，
所以，估计抽样学生成绩的及格率是80%…………………………………3分 利用组中值估算抽样学生的平均分:
05.09525.0853.0752.06515.05505.045⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=72=.
估计这次考试的平均分是72分 ………………6分
（Ⅱ）从95 ，96 ，97 ，98 ，99 ，100中抽取2个数全部可能的基本结果有：
)97,95(),96,95(,)98,95(，)99,95(,)100,95(,)97,96(,)98,96(,)99,96(，
)100,96(,)98,97(，)99,97(,)100,97(，)99,98(，)100,98(，)100,99(．
共15个基本结果．………9分
如果这2个数恰好是两个学生的成绩,则这2个学生在[90,100]段,而[90,100]的人数是3人,不妨设这3人的成绩是95,96,97.则事件A :“2个数恰好是两个学生的成绩”包括的基本结果有：)97,95(),96,95(，)97,96(.共有3个基本结果．……………………12分
所以所求的概率为
51153)(=
=
A P . ……………………………………14分
18．（本小题满分14分）
设AC=x ，BD= y ，则CD=3－x －y ， ………………………2分
基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x ，y )|0＜x ＜3,0＜y ＜3,0＜x ＋y ＜3}， ………………………4分
事件“两点CD 之间的距离小于1”所对应的几何区域可表示为
M ＝{(x ，y )|(x ，y )∈ Ω，,3－x －y ＜1 }={(x ，y )|(x ，y )∈ Ω，,x +y >2 }．
………………………6分
如图，用图形表示Ω为C OB ，表示M 为图形中的阴影部分梯形ABCD
………………………10分 由几何概型公式得：
P （M ）＝
ABCD C OB S S 梯形=113322221332
⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 59 ；
………………………14分
19. (本小题满分14分)
解：（Ⅰ）设圆心为(, 0)M m （m ∈Z ）．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5，所以 42955
m -=，即42925m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=． …………………………………4分
（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在，由于，则直线l 的斜率为1a - l 的方程为1(2)4y x a
=-++，即240x ay a ++-= 由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上，
所以10240a ++-=，解得34a =。

由于35,412⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故存在实数34a = 使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB………………………14分
20. 证：（1）对定义域中的x ，由题设知在定义域中存在21,x x 使21x x x -=
，
)()(21x f x f ≠，则)()()()(1)()()()(12122121x f x x f x f x f x f x f x x f x f --=--=-+=-= ∴)(x f 为奇函数 ……………… 4分
（2）因1)(=a f ，∴1)()(-=-=-a f a f ，于是 0)
()(1)()()()2(=--+-=--=-a f a f a f a f a a f a f 若0)(≠x f ，则)(1)()2(1)2()()]2([)2(x f x f a f a f x f a x f a x f -=--+-=
--=+ )()2(1]2)2[()4(x f a x f a a x f a x f =+-=++=+
………………8分 若0)(=x f ，则 1)()(1)()()]([)(-=--+-=
--=+x f a f a f x f a x f a x f 1)
(1]2)[()3(=+-=++=+a x f a a x f a x f 0)3()(1)()3()]()3[()4(=+--+-+=
--+=+a x f a f a f a x f a a x f a x f 仍有)()4(x f a x f =+。

∴)(x f 为周期函数，a 4是它的一个周期。

………………10分
（3）先证在)2,0(a 内)(x f 为减函数，
事实上，设a x x 2021≤<<，
则a x x 2012<-<，0)(,0)(21≥>x f x f （当a x 22=时，0)2()(2=--=a f x f ）。

=-+)
()(1)()(2112x f x f x f x f 0)(12>-x x f 所以)()(21x f x f > 当a x x a 4221<<<时，
0)2()2(,22202121>->-<-<-<a x f a x f a a x a x ，于是 )2(1]2)2[()(a x f a a x f x f --
=+-= 0)
2(1)2(1)()(2121>-+--=-a x f a x f x f x f 即在)4,2(a a 内，)(x f 也是减函数，从而命题得证。

………………14分。