拉格朗日（Lagrange）中值定理的构造性证明

理学、教育学的相关书籍，了解认知主义、建构主义以及有意义的接受学习等学习观，提高自己的教育理论水平。

这样，教师才容易理解和接受新课程的理念，并且在科学理论的指导下，设计和组织三角函数的教学过程，实现对学生的最有利培养。

2.突显探究教学对课堂效率的提升作用。

“合作交流，自主探究”是新课程提倡的学习方式，但是在三角函数教学中，很多教师的教学是“多练少讲”和“以讲解为主”。

他们主要是担心“探究教学”会降低课堂效率。

探究教学真的会降低课堂效率吗？什么叫课堂效率？课堂效率是指在课堂规定的教学时间内所取得的教学效果的大小，其中教学效果包括数量与质量。

而所谓的高效课堂，不仅有量，还要有质（即学生对知识的理解程度和学生能力的培养）。

如果按照传统的教学方式进行教学，虽然教师噼里啪啦讲了很多知识，但是学生真正理解的又有多少。

一些教师认为这没什么，我们可以通过题海战术来巩固提高。

这样对于学生能力的培养有用吗？没用，只会解题不是新课程对学生培养的目标。

而三角函数的内容很特殊，是建立在图形的基础上，形象直观，非常适合用来培养学生的探究、发现、归纳等数学能力，培养学生自主学习的能力。

所以，教师应该充分发挥三角函数的这一优势，利用探究教学，引导学生去探索和归纳，经历三角函数知识的再创造过程。

这样，学生才能从本质上理解这些知识，同时还能提高数学能力，这样的课堂才是真正、高效的课堂。

而学生学起来轻松，才会有学习数学的兴趣，积极性才高，学习也会更有效率。

所以在三角函数课堂中，探究教学可以提升课堂效率。

3.明确三角函数新定义在教学中的中心地位。

新教材对三角函数采用的是单位圆定义，明确提出了单位圆在三角函数学习中的中心地位，可以帮助学生形成一个以单位圆为中心的知识体系，便于理解三角函数知识的来龙去脉。

但是，如果利用单位圆定义进行三角函数求值运算，过程非常烦琐，而利用终边定义法，运算就非常简捷。

那么我们能否找到一种方法，将这两种定义的优势结合起来，取长补短呢？新课程改革并不等于革命，并不是彻底的推倒重建，我们不仅要反思以前课程的弊端，同时还要反思它的优势。

所以新教材虽然用的是单位圆定义，但并没有彻底遗弃终边定义（教材中也在旁白处给出了终边定义法）。

但是，如何在以单位圆定义为主的基础上，融入终边定义的优势，是处理好三角函数定义教学的关键。

本次课程改革的核心理念是促进学生的全面发展、和谐发展。

教师一定要正视、重视高中三角函数内容及教学要求的变化，将学生的全面发展作为日常教学的立足点和目标点，充分准备、积极应对、努力解决由于认识不足、经验惯性等导致的教学问题，进而提高课堂教学效率。

参考文献：
[1]严士健，张奠宙，王尚志.普通高中数学新课程标准解读[M].南京：江苏教育出版社，2004.
[2]普通高中课程标准实验教科书数学4（A版）必修[M].北京：人民教育出版社.
[3]李瑾瑜.课程改革与教师角色转换[M].北京：中国人事出版社，2002.
[4]袁娜.三角函数内容的浅显分析[J].教育教学论坛，2012，（25）.
[5]孙玉兰.高中数学教学中“问题—探究”教学模式的运用[J].学周刊，2013，（01）.
作者简介：张安涛，西华师范大学数学与信息学院2011级硕士研究生（数学学科教学专业）；汤强，西华师范大学数学与信息学院副教授，博士研究生，硕士生导师。

微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是微分学的核心理论。

目前，对微分中值定理的证明方法，除了数学分析或高等数学课本上的之外，还有很多值得学习借鉴的方法。

基于微分中值定理的重要意义，同时为了使学生都能更加全面、深入地理解微分中值定理，掌握构造辅助函数证明的技巧，本文从几何和分析角度加以分析证明。

一、罗尔定理的回顾与拉格朗日中值定理的引入
我们简单回顾一下罗尔定理的内容：若函数f（x）满足
下列条件：①在闭区间[a，b]连续，②在开区间（a，b）可导，③f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得f'（ξ）=0。

罗尔定理的几何意义大家都清楚了（如图1），现在我们把曲线y=渍（x）绕A在平面内的逆时针旋转α角，得到新的曲线（如图2），大家看看有什么不同？
二、拉格朗日中值定理
（一）拉格朗日中值定理
如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续，（2）在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得等式f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a）成立。

拉格朗日（Lagrange）中值定理的构造性证明
丁显峰
（西南石油大学理学院，四川成都610500）
摘要：本文采用探究式的教学方法，结合自己多年的教学实践，通过对罗尔定理与拉格朗日中值定理几何特性的比较，提出证明拉格朗日中值定理的辅助函数构造方法，使证明更加清晰易懂。

关键词：罗尔定理；拉格朗日中值定理；辅助函数
中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）
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图1图2【学法指导】
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力培养模式，必然将推进高职室内设计的进一步发展。

参考文献：[1]许林.谈现代室内设计中的中式风格[J].甘肃农业，2005，（11）.
[2]仲晓凯.浅析室内设计中的中国传统元素[J].江西科技师范学院学报，2007，（04）.[3]潘振寰.中式风格室内设计初探[J].室内设计，2004，（03）.
[4]陈祖建.现代“中式”室内风格[J].室内设计，2003，（04）.[5]张怀强.居室设计中的中国元素[J].东方艺术，2005，（12）.
作者简介：马辰雪（1982-），男，辽宁葫芦岛人，渤海船舶职业学院研究实习员。

注：①深刻认识定理是两个条件，而罗尔定理是三个条件。

②若加上f （a ）=f （b ），则f'（ξ）=f （b ）-f （a ）b-a =0b-a =0，即：f'（ξ）=0，拉格朗日定理变为罗尔定理，换句话说罗尔定理
是拉格朗日定理的特例。

（二）拉格朗日（微分）中值定理的几何意义我们从几何的角度看如下问题：
设连续函数y=f （x ），a 与b 是它定义区间内的两点（a ＜b ），假定此函数在（a ，b ）上处处可导，也就是在（a ，b ）内的函数图形上处处有不垂直于x 轴的切线，那么我们从图2上容易看到，差商Δy Δx =f （b ）-f （a ）b-a 就是割线AB 的斜率，若我们把割线AB 作平行于自身的移动，那么至少有一次机会达到离割线最远的一点C （x=ξ）处成为曲线的切线，而切线的斜率为f'（ξ），由于切线与割线是平行的，因此f'（ξ）=f （b ）-f （a ）b-a 成立。

三、分析与证明1.分析：如何来证明该定理呢？由于罗尔定理为拉格朗日定理的特例，我们考虑是否可将拉格朗日定理的证明转化到罗尔定理上来，为此需要构造一个辅助函数φ（x ），使它满足罗尔定理的条件。

由前述分析，我们知道图2是在图1的基础上绕点A 旋转了α角得到的，现进行逆变换，即将图2曲线f （x ）减去铅直量（x-α）tan α得到图1的曲线，而tan α=f （b ）-f （a ）b-a 。

作辅助函数φ（x ）=f （x ）-f （b ）-f （a ）b-a （x-a ），注意
φ（x ）满足罗尔定理的三个条件。

2.证明：作辅助函数φ（x ）=f （x ）-f （b ）-f （a ）b-a （x-a ），易知φ（x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，又φ（a ）=φ（b ），根据罗尔定理，φ（x ）在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得φ'（ξ）=0，而φ'（x ）=f'（x ）-f （b ）-f （a ）b-a ，于是φ'（ξ）=f'（ξ）-f （b ）-f （a ）b-a =0，即f'（ξ）-f （b ）-f （a ）b-a =0，命题得证。

当设f （x ）在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导时，若x 0，
x 0+Δx ∈（a ，b ），则有f （x 0+Δx ）-f （x 0）=f'（x 0+θΔx ）·Δx ，（0＜θ＜1）；当y=f （x ）时，也可写成Δy=f'（x 0+θΔx ）·Δx ，（0＜θ＜1），试与微分dy=f'（x ）·Δx 比较：即微分dy=f'（x ）·Δx 是函数增量Δy 的近似表达式，而Δy=f'（x 0+θΔx ）·Δx （0＜θ＜1）是函数增量Δy 的精确表达式。

所以拉格朗日中值公式又称为有限增量公式，拉格朗日中值定理又称有限增量定理。

它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：f （b ）-f （a ）=f'（ξ）（b-a ），ξ∈（a ，b ）f （b ）-f （a ）=f'[a+θ（b-a ）]（b-a ），θ∈（0，1）f （a+h ）-f （a ）=f'（a+θh ）h ，θ∈（0，1）注：①罗尔定理是拉格朗日中值定理f （a ）=（b ）时的特例。

②几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线y=f （x ）上至少存在一点C （ξ，f （ξ）），该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB 。

我们在证明中引入的辅助函数φ（x ），正是曲线y=f （x ）与铅直量（x-a ）tan α之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于图形绕点A 在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB 平行于新x 轴（φ（a ）=φ（b ））。

本定理的证明是从几何角度提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范，同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是高等数
学中的重要而常用的数学思维的体现。

③拉格朗日中值定理的中值点ξ是开区间（a ，b ）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。

换言之，这个中值定理都仅“定性”地指出了中值点ξ的存在性，而非“定量”地指明ξ的具体数值。

④拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，该公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某
点处的导数之间的关系。

四、拉格朗日中值定理的两个重要推论1.函数f （x ）在区间I 上可导且f'（x ）≡0，⇒f （x ）为I 上的常值函数.证明：任取两点x 1，x 2∈I （设x 1＜x 2），在区间[x 1，x 2]上应用拉格朗日中值定理，存在ξ∈（x 1，x 2）⊂I ，使得f （x 2）-f （x 1）=f'（ξ）（x 2-x 1）=0.Qf'（x ）≡0，∴f'（ξ）=0，即f （x 1）=f （x 2），因x 1，x 2是区间内的任意两点，得出f （x ）为I 上的常值函数。

证毕。

2.函数f （x ）和g （x ）在区间I 上可导且f'（x ）≡g'（x ）⇒f （x ）
=g （x ）+C ，x ∈I 。

（证明略）
五、拉格朗日中值定理的应用简述：如何用拉式定理证明不等式，考虑注③，ξ点的
不定，则f'（ξ）不定，但它毕竟在区间内导数的最大最小值之间，即引入不等式的概念。

例：证明arcsinx+arccosx=π2（-1≤x ≤1）证明：设f （x ）=arcsinx+arccosx ，x ∈[-1，1]
由于f'（x ）=11-x 2√+（-11-x 2√）=0，所以f （x ）≡C ，x ∈[-1，1].又f （0）=arcsin0+arccos0=0+π2=π2，即C=π2.
故arcsinx+arccosx=π2。

六、结论
本文从几何角度构造辅助函数对拉格朗日中值定理进行了证明，不仅使学生掌握了定理的本质，并使学生积极主
动参与到教学之中，较轻松地学会了定理的应用，而且对辅助函数的构造不再感到困惑，为后续课程利用拉格朗日中值定理解决实际问题打下了良好的理论基础。

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