辽宁省大连市五校高二数学下学期尖子生竞赛考试试题

高二下学期尖子生竞赛考试数学（文）试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1. 已知集合{|13}A x x =<<，集合2{|1log 2}B x x =<<，则A B =I ( ) A.{|03}x x << B.{|23}x x << C.{|13}x x << D.{|14}x x << 2. 若12i
z i
+=
，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A .i B.-i C.1 D.-1
3.已知向量a r 和b r 的夹角为1200
，1,3a b ==r r ，则a b -=r r （ ）
A. 23
B.15
C. 4
D.13
4.双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线与圆22
(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为
（ ） A.
32 B.2 C.5
2
D.3 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则
9
5
S S =( ) A. 9 B.
259 C.2 D.925
6.已知函数2cos()(0,0)y x ωφωφπ=+><<满足()()f x f x -=-，其图像与直线y=0的某两个交点的横坐标分别为1x 、2x ,12x x -的最小值为π，则（ ） A . 2,4
π
ωφ==
B.2,2
π
ωφ==
C.1,4
π
ωφ==
D.1,2
π
ωφ==
8.已知O为坐标原点，点A（1,0），若点M（x,y）为平面区域
2
1
2
x y
x
y
+≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≤
⎩
内的一个动点，则
22
(1)
x y
++的最小值为( )
A.9
B.5
C.9
2
D.2
9.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为（）A．18π B.36π C.9π D.
9
2
π
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0
x≥时()3x
f x m
=+（m为常数）,则
3
(log5)
f-
的值为（）
A.6
- B.6 C.4 D.4
-
11、斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)
y px p
=>的焦点F，且交抛物线与A、B两点，若AB的中点到抛物线准线的距离1，则P的值为（）
A.1
B.
4
5
C.
3
5
D.
2
5
12.若定义在R上的函数f(x)满足：f(4)= 3
-，且对任意x R
∈满足()3
f x
'<，
则不等式()315
f x x
<-的解集为（）
A．(,4)
-∞- B.(,4)
-∞ C.(4,)
+∞ D.(,4)(4,)
-∞-+∞
U
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上）
13.已知α为第二象限角，
1
sin
2
cos
αα
+=,则cos2α=_____________
15.已知圆C的圆心与点M（1，1
-）关于直线10
x y
-+=对称，并且圆C与10
x y
-+=相切，则圆C的方程为_______________
16.已知△ABC中，∠ABC=600，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为_______________
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
1
cos
2
a C c b
+=
（1）求角A的大小（2）若1
a=，求△ABC的周长L的取值范围。

18.（本小题满分12分）某县为增强市民的环境保护意识，面向全县征召义务宣传志愿者，先从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45),得到的频率分布直方图如图所示,
(Ⅰ)分别求第3，4，5组的频率。

（Ⅱ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参与广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者。

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率。

19. （本小题满分12分）已知侧棱垂直于底面的四棱柱
ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AD=A A1，
点F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点。

（1）求证： MF∥平面ABCD
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1
20. （本小题满分12分）
已知圆G
：2
2
20x y x +-=经过椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>
的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一点（m,0）(m a >)倾斜角为
56
π 的直线L 交椭圆与C 、D 两点。

（1）求椭圆的方程
（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围。

21. （本小题满分12分）
已知a 是实数，函数2
()()f x x x a =-
（1）若(1)3f '=，求a 的值及曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程。

（2）求()f x 在[0,2]上的最大值。

请考生在第22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）
如图⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于P （Ⅰ）求证：2PM PA PC =⋅
（Ⅱ）若⊙O
的半径为，
求MN 的长
C
D 1
A1
A
B
C
D
B 1
C 1
F M
23. （本小题满分10分）
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半
轴建立平面直角坐标系，直线L 的参数方程是2
222
x t m
y t ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 是参数） （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程和直线L 参数方程转化为普通方程
（Ⅱ）若直线L 与曲线C 相交于M 、N 两点，且22MN =，求实数m 的值
24. （本小题满分10分） 设全集U R =
（1）解关于x 的不等式110()x a a R -+->∈
2013—2014学年度下学期省五校高二尖子生竞赛
数学试题答案（文科）
三．解答题
17.解：（Ⅰ）1cos 2a C c b +
=Q 1
sin cos sin sin 2A C C B ∴+= （2分） 1
sin cos sin sin()2
A C C A C ∴+
=+ 1
sin cos sin sin cos cos sin 2
1
sin cos sin 2sin 0
1
cos 2
A C C A C A C
C A C
C A ∴+=+∴=≠∴=
Q （4分）
03
A A π
π
<<∴=
Q （ 6分）
3sin 3A A π=
∴=Q ，由正弦定理得 2323
,b B c C =
= （8分） 2323
1sin )1sin())L a b c B C B A B =++=+=+++ 23331sin )12sin()26B B B π=+
=++ （10分） 25(0,
)(,)3
3666
A B B π
ππππ
=
∴∈∴+∈Q
1sin()126
B π
∴
<+≤ 即23L <≤ ∴△ABC 的周长L 的取值范围为(1,3] （12分）
18.解：（Ⅰ）由题设可知，第3组的频率为0.0650.3⨯=，第4组的频率为0.0450.2⨯=，
第5组的频率为0.0250.1⨯=. （3分）
（Ⅱ）第3组的人数为0.310030⨯=，第4组的人数为0.210020⨯=，
第5组的人数为0.210010⨯=。

因为第3,4,5组共有60名志愿者，若利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，则每组抽取的人数分别为：第3组为
30
6360
⨯=，第4组为206260⨯=，第5组为106160
⨯=.所以应从第3,4,5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者。

（6分）
（3）记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的一名志愿者为C 。

其中第4组的2名志愿者至少有一名志愿者被抽中的可能情况有：（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（B 1，B 2），（B 1，C ）（B 2，C ），共9种。

（10分）
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93
155
= （12分）
19.（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C !N 的中点，B 为CN 的中点，
∴又因为M 为线段AC ！的中点，∴MF ∥AN ，又MF ⊄平面 ABCD ，AN ⊂平面ABCD ，
MF ∴∥平面ABCD 。

（6分）
（2）连接BD ，由题知1A A ⊥平面AB-CD ，又Q BD ⊂平面ABCD ，1A A BD ⊥.Q 四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥.又1AC A A A ⋂=Q ,AC ⊂平面11ACC A ,1A A ⊂平面
11ACC A ,BD ∴⊥平面11ACC A .在四边形DANB 中，DA ∥BN,且DA=BN,，∴四边形DANB 为平
行四边形，NA ∴∥BD ，NA ∴⊥平面11ACC A 。

又NA ⊂Q 平面1AFC ，∴平面1AFC ⊥平面11ACC A 。

（12分）
20.（Ⅰ）Q
圆22
:20G x y x +-=经过点F 、B
，
2
(2,0),2,6F B c b a ∴∴==∴=故椭圆的方程为22
162
x y += （4分）
（Ⅱ）设直线L
的方程为)(y x m m =
->
由22
162)x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
消去y 得22
22(6)0x mx m -+-= 由2
2
48(6)0,m m =-->V
解得m -<<。

又m m ><<（6分）
设1122(,),(,),C x y D x y 则 212126,,2
m x x m x x -+== （8分）
2
121212121))()333m m y y x m x m x x x x ⎡⎤⎡⎤∴=-⋅-=-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
11221212
(2,),(2,),
(2)(2)FC x y FD x y FC FD x x y y =-=-∴⋅=--+u u u r u u u r
Q u u u r u u u r
212124(6)2(3)()43333
m m m m x x x x +-=-+++= （10分） Q 点F 在圆E 内部，
0,FC FD ∴⋅<u u u r u u u r 即
2(3)
0,3
m m -<解得0<m<3 ∴m 的取值范围是(6,3). （12分）
21.解：（Ⅰ）2
()32f x x ax '=-，因为(1)323,0f a a '=-=∴= （2分）
又当0a =时(1)1,(1)3f f '==
所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为320x y --= （4分）
（Ⅱ）令()0f x '=，解得1220,3
a
x x ==
， 当
203
a
≤即0a ≤时，()f x 在[0,2]上单调递增，从而max ()(2)84f x f a ==-。

（6分） 当
223
a
≥即3a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，从而max ()(0)0f x f == （8分）
22.解：（Ⅰ）连结ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形， 则∠OBN=∠ONB ，∵∠PMN=∠OMB=900
-∠OBN ，∠PNM=900
-∠ONB ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN (3分) 由条件，根据切割线定理，有2
PN PA PC =⋅
所以2
PM PA PC =⋅ （5分）
（Ⅱ）OM=2，在Rt △BOM 中，4BM == 延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN
由条件易知△BOM ∽△BND ，于是
BO BM
BN BD
=
=
BN=6 （8分） 所以MN=BN-BM=6-4=2 （10分） 23.解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为2
2
40x y x +-= （2分） 直线L 的普通方程为x-y-m=0 (4分) （Ⅱ）因为曲线C ：2
2
(2)4x y -+= （6分） 所以，圆心到直线的距离是
d =
=（8分）
所以m=0或m=4 (10分) 24．解：（Ⅰ）∵110x a -+-> ∴11x a ->-
ⅰ当10a -≤即1a ≥时，原不等式的解集为R （2分） ⅱ当10a ->即1a <时，11x a ->-或11x a -<- ∴2x a >-或x a <
此时原不等式的解集为()(2,),a a -+∞-∞U （5分）
- 11 - （Ⅱ）{}{}
|sin()3
cos()0|2sin()033|,B x x x x x x x k k Z πππππ⎧⎫=-+-===⎨⎬⎩⎭
==∈（6分） ∵()U C A B I 恰有3个元素，∴1a <，{}|2U C A x a x a =≤≤-
∵1a < ∴21a -> ∴1U C A ∈ （7分） ∵()U C A B I 恰有3个元素
∴10223a a -<≤⎧⎨≤-<⎩或01324a a <<⎧⎨≤-<⎩或21122a
a -<≤-⎧⎨≤-<⎩
（9分）。