宜昌市必修第二册第二单元《复数》检测(答案解析)

一、选择题 1．
12i
12i
+=- A ．43i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在
24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）
A ．-16
B ．0
C ．16
D ．32
3．2
13(1)i
i +=+（ ） A ．
3122
i - B ．
3122
i + C ．3122
i -
- D ．3122
i -
+ 4．已知复数，是z 的共轭复数，则=
A ．
B ．
C ．1
D ．2
5．设复数z 满足()13i z i +=+，则z =（ ） A 2B ．2
C ．22
D 56．已知(,)a bi a b R +∈是11i
i
+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-
B ．12
-
C ．12
D ．1
7．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ）
A ．
15
i + B ．1i - C ．
15
i - D ．1i +
8．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ） A ．
22
B ．
12
C 2
D ．2
9．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z
z
+＝（ ） A ．
32
i
+ B ．
132i
+ C ．332i + D ．12
i +
10．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
11．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则
01z -的取值范围是（ ）
A
．
)
2 B
．
)
1 C
．)
2-
D
．)
1-
12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数22020
21a i z i
=-
-不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
第II 卷（非选择题）
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参考答案
二、填空题
13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．
14．已知复数z 满足||1z =，则|i ||i |z z ++-的最大值是__________. 15．已知集合{}11M z z =+=，{}
i N z z i z =+=-，则M N =______.
16．已知i
为虚数单位，计算：12cos sin 2
33i ππ⎛⎫⎡⎤
⎛⎫÷-= ⎪ ⎪⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
⎝⎭_________. 17．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________.
18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 19．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2
2
12
z z +=________.
20．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若
4
13
B A
C A z z i z z -=+-，则
ABC ∆的三边长之比为________ 三、解答题
21．已知1z i =+，i 为虚数单位. （1）若234z z ω=+-，求ω；
（2）若2211
z az b
i z z ++=--+，求实数a ，b 的值.
22．复数(
)()2
12
510,1225,z a a
i z
a a i =++-=-+-，其中a R ∈ .
（1）若2a =-，求1z 的模；
（2）若12z z +是实数，求实数a 的值.
23．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长. 24．已知i 为虚数单位，当实数m 取何值时，复平面内，复数
22(4)(6)i z m m m m =-+--的对应点满足下列条件？
（1）在第三象限； （2）在虚轴上；
（3）在直线30x y -+=上．
25．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =. （Ⅰ）求复数z ；
（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积. 26．已知复数()
2
122315,52z i z i
i =-=-+．求：
（1）21z z +；
（2）12·
z z ； （3）12
z z ．
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一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：212(12)341255
i i i
i ++-+==∴-选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
2．B
解析：B 【分析】
先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】
∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称，
∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.
由24y x y x
⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】
本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．A
解析：A 【分析】
首先计算2
(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】
()
2
131331
222
1i
i i i i ++=
=-+， 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.
4．A
解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.
【详解】
，
，
，
故答案为：A. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．D
解析：D 【解析】
分析：先根据复数除法得z ，再根据复数的模求结果. 详解：因为()13i z i +=+，所以31
(3)(1)212
i z i i i i +==+-=-+,
因此z = 选D.
点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，
如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为
.-a bi
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
先利用复数的除法运算法则求出11i
i
+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】
()()21(1)21112
i i i
i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
7．D
解析：D 【分析】
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论. 【详解】
()12i 3i z +=+，
()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5
z +-+-∴=
===-++-，
所以1z i =+，故选D. 【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
8．A
解析：A 【解析】
由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22
z -=
+++-＝＝，
z ∴=故选A ． 9．B
解析：B 【分析】
由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z i
z i
++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】
由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112
i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
10．A
解析：A 【分析】
根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】
由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得5
1212z i i
==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.
故选:A.
本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
11．A
解析：A 【分析】
根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.
【详解】
因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<
由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.
01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=
则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A
【点睛】
本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】
()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，
z 不是纯虚数，则21
022
a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，
所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件.
【点睛】
本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
二、填空题
13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9
【分析】
由模长公式易得()2
2216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】
因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()2
2216x y -+=，
故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，
设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -， 又因为22(22)(30)5AB =--+-=，
所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.
【点睛】
本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.
14．【分析】设则化简可得；然后分类讨论去绝对值在根据三角函数的性质即可求出结果【详解】设则当时所以的最大值是；当时所以的最大值是；当时所以综上的最大值是故答案为：【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何
解析：
【分析】
设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤<，则化简可得
cos
cos
2
2
2
2
z i z i θ
θ
θ
θ
++-=++-；然后分类讨论去绝对值，在根据三
角函数的性质，即可求出结果． 【详解】
设cos sin (,0)2z i θθθπ=+≤< ．
则z i z i ++-=
==
cos
cos
2
2
2
2
θ
θ
θ
θ
=++-．
02θπ≤<，02
θ
π∴≤
<．
当
0,24θ
π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，0sin cos 1222
θθ≤≤≤≤，
所以2
z i z i θ
+-=+，z i z i ++-的最大值是
当
3,244θ
ππ∈⎛⎤
⎥⎝⎦时，cos sin 122
θθ≤<<≤，
所以2
z i z i θ
++-=，z i z i ++-的最大值是；
当3,24θ
ππ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭时，1cos sin 22θθ-<<<<sin cos 22θθ<，
2
z i z i θ
++-=-，z i z i ++-<．
综上，z i z i ++-的最大值是
故答案为： 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数模的求法,训练了利用三角函数求最值,是中档题．
15．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的
位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-
【分析】
根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果. 【详解】
11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆. i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离
相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.
M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，
故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-. 【点睛】
本题考查复数的几何意义，属中档题.
16．【分析】先把转化为再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案【详解】解：原式故答案为：【点睛】本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则属于基础题
解析：14-+
【分析】
先把
122
i +转化为cos sin 33i ππ+，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案.
【详解】 解：原式cos
sin
2cos sin 3
333i i π
πππ⎡
⎤⎛
⎫⎛
⎫=+÷⨯- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦ cos sin 2cos 3333i isin ππππ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
1cos sin 23333i ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
14=-+.
故答案为：144
-+. 【点睛】
本题主要考查由复数的代数形式转化为复数三角形式以及复数三角形式的除法运算法则，
属于基础题.
17．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题
解析：2i ±
【分析】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数.
【详解】
设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，
即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050
a c
b d a
c b
d ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩
.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ±
【点睛】
本小题主要考查复数运算，属于中档题.
18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题
【分析】
先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.
【详解】
由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，
12z z -==，
因为45sin 26θ-， 故12z z -
.
.
【点睛】
考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.
19．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩
形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100
【解析】
【分析】
设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出22
12z z +的值. 【详解】
设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，
又M 是斜边12M M 的中点，且245OM =
=，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.
故答案为：100.
【点睛】
本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5
【分析】
设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.
【详解】
设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +，
则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++
=-++， 所以43a c d =-，43
b d
c =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a b
d i d ci -=-+-=
-， 所以44(,)(,)033
AC BC c d d c ⋅=⋅-
=， 所以AC BC ⊥,
又B A C A z z AB AC z z -=-
，所以45133
AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,
则43
BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,
故答案为：3:4:5.
【点睛】
本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.
三、解答题
21．（1
）ω；（2）12a b =-⎧⎨
=⎩
【分析】
（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211
z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】
（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，
()()2
13141i i i ω=++--=--∴，
ω∴=
（2）()()22211a b a z az b i z z i i
+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，
121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得1
2
a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】
此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解. 22．（1）（2）5a =-或3a =.
【解析】
（1）
2a =-，则1
36z i =+，
则1z ==
=， ∴1z 的模为.
（2）()
()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()
()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦
()()26215a a a i =-++- 因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =
故5a =-或3a =.
23．z 4＝7＋3i ，210AD =
【分析】
由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果. 【详解】 如图所示：
AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，
得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).
∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1
i 62i 210＋－＋＝＋＝ 【点睛】
在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．
24．（1）(0,3)；（2）0m =或4；（3）3m =．
【分析】
（1）根据复数对应的点在第三象限，得到实部和虚部都小于0，得到不等式组解之得结果；
（2）根据复数对应的点在虚轴上，得到实部等于0，解方程得结果；
（3）根据复数对应的点在直线30x y -+=上，得到实部和虚部满足此方程，由此解得m 的值.
【详解】
复数22(4)(6)i z m m m m =-+--对应点的坐标为22
(4,6)Z m m m m ---． （1）因为点Z 在第三象限，所以224060m m m m ⎧-<⎨--<⎩
，解得0423m m <<⎧⎨-<<⎩， 所以03m <<，故实数m 的取值范围为(0,3)．
（2）因为点Z 在虚轴上，所以240m m -=，
解得0m =或4m =．
（3）因为点Z 在直线30x y -+=上，
所以22
(4)(6)30m m m m ----+=，
即390m -+=，解得3m =．
【点睛】
该题考查的是有关复数在复平面内对应的点所处的位置的问题，要明确虚轴是y 轴，属于简单题目.
25．（1）132z i =-+. (2）33ABC S ∆=
. 【解析】 分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.
详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-，
故2222z a b abi z a bi =-+==-.
所以22a b a -=，2ab b =-.
又0a <，0b >，解得12a =-
，3b =，132z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得132z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：
故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=.
点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
26．（1）3；（2）79i --；（3）
1131010i +． 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简求得2z ，（1）求出2z ，由复数代数形式的加法运算求21z z +;
（2）由复数代数形式的乘法运算求12·
z z ； （3）由复数代数形式的除法运算求12
z z . 【详解】
221551555(3)(34)(2)34(34)(34)
i i i i z i i i i ----===+++- 515135
i i -==-． （1） 12(23)(13)3z z i i +=-++=．
（2） ()()12·
231329979z z i i i i =--=--=--． （3） 1223(23)(13)13(13)(13)
z i i i z i i i --+==--+ 293113101010
i i ++=
=+． 【点睛】 本题主要考查复数的代数形式的加法、乘法、除法运算法则，复数的共轭复数，属于中档题.。