2017-2018北京西城161中学高三上期中【文】数学真题卷

北京一六一中学2018届高三年级期中考试
文科数学试题
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，如图阴影部分所表示的集合为（ ）．
A ．{2}
B ．{0,1}
C ．{3,4}
D ．{0,1,2,3,4}
【答案】B
【解析】阴影部分表示的集合为()U A B ð．
∵{0,1,2}A =，{2,3,4}B =，
∴(){0,1
}U A B =ð． 故选B ．
2．若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）．
A ．1b a
< B ．11a b < C ．22a b > D ．33a b >
【答案】D 【解析】对于A ，当2a =-，3b =-时，满足a b >，但
312b a =>，故A 错误； 对于B ，当2a =，2b =-时，满足a b >，但11a b
>，故B 错误； 对于C ，当1a =，2b =-时，满足a b >，但22a b <，故C 错误；
对于D ，因为3y x =在R 上单调递增，故当a b >时，33a b >，故D 正确．
故选D ．
3．复数12i 1i
++的虚部为（ ）． A ．12 B ．1i 2
C ．32
D ．3i 2 【答案】A 【解析】∵复数12i (12i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z -=
===-++++++， ∴复数z 的虚部为
12
． 故选A ．
4．关于函数3()log ()f x x =-和()3x g x -=，下列说法中正确的是（ ）．
A ．都是奇函数
B ．都是偶函数
C ．函数()f x 的值域为R
D ．函数()g x 的值域为R 【答案】C
【解析】∵3()log ()f x x =-的定义域为(,0)-∞，
∴()f x 是非奇非偶函数，()f x 在定义域上为单调递减函数，值域为R ．
∵()3x g x -=的定义域为(,)-∞∞+，且()3()x g x g x -=≠±，故()g x 是非奇非偶函数，又()g x 在定义域上单调递减，值域为(0,)∞+，结合选项，说法正确的只有C ．
故选C ．
5．已知数列{}n a ，则“11n n a a +>-”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若数列{}n a 为递增数列，则10n n a a ->+，
所以“11n n a a ->+”是“数列{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选B ．
6．已知向量(1,3)a =，(,23)b m m =-，平面上任意向量c 都可以唯一地表示为(,)c a b λμλμ=+∈R ，则实数m 的取值范围是（ ）．
A ．(,0)(0,)-∞+∞
B ．(,3)-∞
C ．(,3)(3,)-∞--+∞
D ．[3,3)- 【答案】C
【解析】根据平面向量基本定理可知，
若平面上任意向量c 都可以唯一地表示为(,)c a b λμλμ=∈R +，
则向量a ，b 不共线，由(1,3)a =，(,23)b m m =-得233m m -≠，
解得3m ≠-，即实数m 的取值范围是(,3)(3,)-∞--+∞．
故选C ．
7．已知三棱柱的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱柱的左视图为（ ）．
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由俯视图可知三棱锥的底面是个边长为2的正三角形，
由正视图可知三棱锥的一条侧棱垂直于底面，且其长度为2，
故其左视图为直角边长为2
故选B ．
8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，动点P 在侧面11B BCC 内，且点P 到棱AB 与棱1CC 距离相等，则点P 运动形成的图形是（ ）．
A ．线段
B ．圆弧
C ．椭圆的一部分
D ．抛物线的一部分
【答案】D
【解析】由题意知，直线AB ⊥平面11BB C C ，则AB PB ⊥，
即||PB 就是点P 到直线AB 的距离，
所以，在面11BB C C 中，点P 到直线1CC 的距离等于它到点B 的距离，
由抛物线的定义可知，点P 运动形式的图形是抛物线的一部分．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
9．命题:p x ∀∈R ，20x ≥的否定是__________．
【答案】x ∃∈R ，20x <
【解析】全称命题的否定需要全称量词变为存在量词，同时否定结论，
故命题:p x ∀∈R ，20x ≥的否定是x ∃∈R ，20x <．
10．以抛物线24y x =的焦点为圆心且过坐标原点的圆的方程为__________．
【答案】22(1)1x y -=+
【解析】∵抛物线24y x =的焦点为(1,0)，∴所求圆的圆心为(1,0)．
又∵所求圆过坐标原点，∴所求圆的半径1r =，
∴所求圆的方程为22(1)1x y -=+．
11．已知变量x ，y 满足约束条件1218y y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩
≥≤≤，则z x y =-的最小值为__________．
【答案】2-
【解析】
作出不等式所表示的可行域，如图所示，由z x y =-得y x z =-，平移直线y x z =-， 由图可知当直线经过点(3,5)A 时，纵截距最大，从而z 最小，故min 352z =-=-．
12．双曲线2214x y m -=，则m =__________，其渐近线方程为_________． 【答案】1；12
y x =±
【解析】双曲线22
1(0)4x y m m
-=>的2a =，b ，c =，
则=c e a ，解得1m =， 所以双曲线的方程为2
214
x y -=，故双曲线的渐近线方程为12y x =±．
13．设2,(),x x a f x x x a <⎧=⎨⎩
≥，对任意实数b ，关于x 的方程()f x b =总有实根，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】[0,1]
【解析】
若对任意实数b ，关于x 的方程()0f x b -=总有实数根，
则对任意实数b ，函数()f x 的图象与直线y b =总有交点，即函数()f x 的值域为R ．
∵2,(),x x a f x x x a
<⎧=⎨⎩≥，∴在同一坐标系中画出y x =与2y x =的图象，如图所示， 由图可知，若函数()f x 的值域为R ，则01a ≤≤，即实数a 的取值范围是[0,1]．
14．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当ABC △滚动到111A B C △时，顶点B 运动轨迹的长度为__________；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为__________．
【答案】8π3，【解析】根据题意知，点B 的轨迹为两个圆心角为
2π3所对的圆弧和一个点，且圆弧的半径为2， ∴顶点B 运动轨迹的长度为2π8π2233
⨯⨯
=．
OP =，设(,)B x y ，
①设滚动前点B 坐标，∴3OB OP ⋅=；
②第一次滚动后B 点纵坐标为2y ≤，∴3OB OP y ⋅=≤
③第二次滚动后B 点坐标(3,0)，∴0OB OP ⋅=；
④第三次滚动后B 点纵坐标2y ≤，∴3OB OP y ⋅=≤．
∴OB OP ⋅的最大值为．
三、解答题共6小题，共80分
15．（本小题满分13分）
已知函数π()cos 2sin 26f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭． （1）求函数()f x 的最小正周期及单减区间．
（2）求函数()f x 在区间[π,0]-上的零点．
【答案】
【解析】（1）∵π()cos 2sin 26f x x x ⎛⎫= ⎪⎝
⎭++
1sin 2sin 22
x x x -+
1sin 22x x = πsin 23x ⎛⎫= ⎪⎝
⎭+， ∴函数()f x 的最小正周期2π=π2
T =．
令ππ3π2π22π232
k x k ≤≤+++，k ∈Z ， 得π7πππ1212
k x k ≤≤++，k ∈Z ， ∴函数()f x 的单调减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦++，()k ∈Z ． （2）∵当[π,0]x ∈-时，π5ππ2,333x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
+， ∴令π2π3x =-+
或0，得2π3
x =-或π6-， ∴函数()f x 的区间[π,0]-上的零点为2π3
-和π6-．
16．（本小题满分13分） 如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．
（1）求sin BAD ∠的值．
（2）求BD ，AC 的长．
【答案】
【解析】（1）∵在ABC △中，1cos 7ADC ∠=
，
∴sin ADC ∠， 则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠⋅-∠⋅
1127-=． （2）在ABD △中，由正弦定理得
sin sin BD AB BAD ADB =∠∠，
∴8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠． 在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492
AC AB CB AB BC B =-⋅⋅=-⨯⨯⨯=++． ∴7AC =．
综上所述3BD =，7AC =．
17．（本小题满分13分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11a =，121n n S a +=-．
（1）求2a ，3a 的值．
（2）求数列{}n a 的通项公式，并求数列{21}n a n +-的前n 项和n T ．
【答案】
【解析】（1）∵121n n S a =-+，∴121n n a S =++，
∴21121213a S a ===++，3212212()19a S a a ===+++．
（2）∵121n n S a =-+，
∴当2n ≥时，121n n S a -=-，
两式相减得12n n n a a a =-+，即12n n a a =+， ∴13(2)n n
a n a =≥+． 又由11a =，23a =，得
213a a =， ∴数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴13(*)n n a n -=∈N ，
∴0121313335321n n T n -=-++++++
++ 0121(3333)(13521)n n -=-++++++++
+ 13(121)132
n n --=-++ 2312
n n -=+．
18．（本题满分14分）
如图，等腰梯形BCDP 中，BC PD ∥，BA PD ⊥于点A ，3PD BC =，且1A B B C ==．沿AB 把PAB △折起到P AB '△的位置，使90P AD '∠=︒．
（1）求证：CD ⊥平面P AC '．
（2）求三棱柱A P BC '-的体积．
（3）线段P A '上是否存在点M ，使得BM ∥平面P CD '．若存在，指出点M 的位置并证明；若不存在，请说明理由．
【答案】
【解析】
（1）证明：∵90P AD '∠=︒，∴P A AD '⊥．
∵在等腰梯形中，AB AP ⊥，
∴在四棱锥中，AB AP '⊥．
又AD AB A =，∴P A '⊥平面ABCD ．
又∵CD ⊂平面ABCD ，∴P A CD '⊥．
∵在等腰梯形BCDE 中，AB BC ⊥，3PD BC =，且1AB BC ==，
∴AC CD =，2AD =，
∴222AC CD AD =+，
∴AC CD ⊥．
∵P A AC A '=，
∴CD ⊥平面P AC '．
（2）∵1122
ABC S BC AB =⋅=△，P A '⊥平面ABCD ， ∴1136
ABC A P BC P ABC V V S P A ''--'==⋅⋅=△． （3）线段P A '上存在一点M ，使得BM ∥平面P CD '，M 为P A '的中点， 证明：取P A '的中点M ，P D '的中点N ，连结BM ，MN ，NC ． ∵M ，N 分别为P A '，P D '的中点，
∴MN AD ∥且12
MN AD =
． ∵BC PD ∥且3PD BC =， ∴BC AD ∥且12
BC AD =， ∴MN BC ∥且MN BC =，
∴四边形MNCB 为平行四边形，
∴BM CN ∥．
又∵BM ⊄平面P CD '，CN ⊂平面P CD '，
∴BM ∥平面P CD '．
19．（本小题满分13分）
已知ABC △的顶点A ，B 在椭圆22:34G x y =+上，C 在直线:2l y x =+上，且AB l ∥． （1）求椭圆G 的离心率．
（2）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积．
（3）当90ABC ∠=︒，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程．
【答案】
【解析】（1）将椭圆G 化为标准方程为22
1443
x y =+，
∴2a =
，b
，c ， ∴椭圆G
的离心率c e a -
． （2）∵AB l ∥，且AB 边通过点(0,0)，∴AB 所直线的方程为y x =． 设A ，B 两点坐标分别为12(,)x y ，22(,)x y ．
由2234x y y x
⎧=⎨=⎩+，得1x =±．
∴12|||AB x x -=
又∵AB 边长的高h 等于原点到直线l
的距离，∴h
∴ABC △的面积1||22
ABC S AB h =⋅=△． （3）设AB 所在直线的方程为y x m =+，
由2234x y y x m
⎧=⎨=⎩++，得224340x bmx m -=++． ∵A ，B 在椭圆上，∴212640m ∆=->+．
设A ，B 两点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则1232m x x =-+，212342
m x x -=，
∴12|||AB x x -． 又∵BC 的长等于点(0,)m 到直线l
的距离，即||BC ， ∴22222||||||210(1)11AC AB BC m m m ==--=-++++，
∴当1m =-时，AC 边最大，且满足0∆>，
此时AB 所在直线的方程为1y x =-．
20．（本小题满分14分） 已知函数(2)()1ln k x f x x x
-=-
+，其中k 为常数． （1）若0k =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程． （2）若5k =，求证：函数()y f x =有且仅有两个零点．
（3）若k 为常数，且当2x >时，()0f x >恒成立，求k 的最大值．
【答案】
【解析】（1）当0k =时，()1ln f x x =+，1()f x x
'=， ∴(1
=1f ），()1f x '=， ∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为11y x -=-，即0x y -=．
（2）证明：当5k =时，10()ln 4f x x x =-+，2211010()x f x x x x -'=-=， 当(0,10)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．
当(10,)x ∈∞+时，()0f x '>，()f x 单调递增．
∴当10x =时，()f x 有极小值．
∵(10)ln1030f =-<，(1)60f =>，
∴()f x 在(1,10)之间有一个零点． ∵44
10(e )440e f =->+， ∴()f x 在4(10,e )之间有一个零点，
∴函数()f x 有且仅有两个零点．
（3）由题意知，(2)1ln 0k x x x
--
>+对(2,)x ∈∞+恒成立． 由(2)()1ln k x f x x x -=-+，得22()x k f x x -'=． ①当22k ≤，即1k ≤时，()0f x '>对(2,)x ∈∞+恒成立， ∴()f x 在(2,)∞+上单调递增．
又(2)1ln20f =>+，
∴()0f x >对(2,)x ∈∞+恒成立．
②当22k >，即1k >时，
若(2,2)x k ∈，则()0f x '<，()f x 单调递减；若(2,)x k ∈∞+，()0f x >，()f x 单调递增． ∴当2x k =时，()f x 有最小值(2)2ln2f k k k =-+，
∴()0f x >在(2,)x ∈∞+恒成立，等价于2ln20k k ->+．
令()2ln2g k k k =-+，则1()0k g k k
-'=
<，从而()g k 在(1,)∞+为减函数． ∵(4)ln820g =->，(5)ln1030g =-<， ∴使2ln20k k ->+成立的最大正整数4k =．
综上所述，k 的最大值是4．。