版高考数学文科二轮专题复习课件:第二部分 不等式选讲(选修4-5)(共31张PPT)
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定理 2:如果 a,b 为正数,则a+2 b≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.
定理 3:如果 a,b,c 为正数,则a+3b+c≥3 abc, 当且仅当 a=b=c 时,等号成立.
定理 4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1, a2,…,an 为 n 个正数,则a1+a2+n …+an≥n a1a2…an, 当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.
【例 2】 (2017·全国卷Ⅱ)已知实数 a>0,b>0,且
a3+b3=2.
证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;
(2)a+b≤2. 证明:(1)因为 a>0,b>0,且 a3+b3=2. 则 (a + b)(a5 + b5) = a6 + ab5 + a5b + b6 = (a3 + b3)2 - 2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b) ≤2+3(a+4 b)2·(a+b)=2+3(a+4 b)3, 所以(a+b)3≤8,因此 a+b≤2.
[规律方法] 1.证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析 法和反证法,其中比较法和综合法是基础,综合法证明的 关键是找到证明的切入点. 2.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系 时,可用分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键 是推理的每一步必须可逆.如果待证命题是否定性命题、 唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑 用反证法.
(1)在图中画出 y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1 的解集.
x-4,x≤-1, 解:(1)f(x)=3x-2,-1<x≤32, -x+4,x>32,
故 y=f(x)的图象如图所示.
(2)由 f(x)的解析式及图象知, 当 f(x)=1 时,可得 x=1 或 x=3; 当 f(x)=-1 时,可得 x=13或 x=5. 故 f(x)>1 的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1 的解集为 xx<13或x>5. 所以|f(x)|>1 的解集为xx<13或1<x<3或x>5.
2x+4,x≤-1, 解:(1)当 a=1 时,f(x)=2,-1<x≤2,
-2x+6,x>2. 可得 f(x)≥0 的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1 等价于|x+a|+|x-2|≥4. 又|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当 x=2 时等号成立.
故 f(x)≤1 等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4 可得 a≤-6 或 a≥2. 所以 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞).
[规律方法] 1.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最 值问题解决. 2.本题分离参数 m,对含绝对值符号的函数 f(x)分 段讨论,求出 f(x)的最大值,进而求出 m 的取值范围, 优化解题过程.
[变式训练] (2018·全国卷Ⅱ)设函数 f(x)=5-|x+a| -|x-2|.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求 a 的取值范围.
或x(≥x5+,1)+(x-5)≤10, 解得-3≤x≤-1 或-1<x<5 或 5≤x≤7, 所以不等式 f(x)≤10 的解集为{x|-3≤x≤7}. (2)证明:因为 f(x)=|x+1|+|x-5|≥|(x+1)-(x-5)| =6. 所以 m=6,即 a+b+c=6. 因为 a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,c2+b2≥2cb. 所以 2(a2+b2+c2)≥2(ab+ac+bc),
[变式训练] (2018·湖南郴州第二次教学质量检测) 已知 a,b,c 为正数,函数 f(x)=|x+1|+|x-5|.
(1)求不等式 f(x)≤10 的解集; (2)若 f(x)的最小值为 m,且 a+b+c=m,求证:a2 +b2+c2≥12. (1)解:f(x)=|x+1|+|x-5|≤10, 等价于x-≤(-x1+,1)-(x-5)≤10, 或(-x1+<1x)<-5,(x-5)≤10,
专题七 选修4系列
第 2 讲 不等式选讲(选修 4-5)
1.(2018·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出 y=f(x)的图象;
(2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求 a+b 的最小 值.
-3x,x<-12, 解:(1)f(x)=x+2,-12≤x<1,
解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|, 即 f(x)=-2x,2,-x≤1<-x<1,1,
2,x≥1. 则当 x≥1 时,f(x)=2>1 恒成立,所以 x≥1;
当-1<x<1 时,f(x)=2x>1,所以12<x<1; 当 x≤-1 时,f(x)=-2<1. 故不等式 f(x)>1 的解集为xx>12. (2)当 x∈(0,1)时,|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时|ax-1|<1 成立. 若 a≤0,则当 x∈(0,1)时,|ax-1|≥1; 若 a>0,|ax-1|<1 的解集为x0<x<2a,
[规律方法] 1.含绝对值的函数本质上是分段函数,求解绝对值 不等式,可借助分段函数的图象的直观性求解. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,常用的 零点分段法的一般步骤:求零点;划分区间,去绝对值 符号;分段解不等式;求各段的并集.此外,还常用绝 对值的几何意义,结合数轴直观求解.
[变式训练] (2018·贵阳调研)已知函数 f(x)=|x+1| -|2x-3|.
3x,x≥1. y=f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知,y=f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2, 且各部分所在直线斜率的最大值为 3,故当且仅当 a≥3 且 b≥2 时,f(x)≤ax+b 在[0,+∞)成立.
因此 a+b 的最小值为 5.
2.(2018·全国卷Ⅰ)已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)求 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求 a 的取值 范围.
-2x,x<-1.
①当 x>1 时,f(x)≥g(x)⇔-x2+x+4≥2x,
解得 1<x≤
17-1 2.
②当-1≤x≤1 时,f(x)≥g(x)⇔(x-2)·(x+1)≤0,
则-1≤x≤1.
③当 x<-1 时,f(x)≥g(x)⇔x2-3x-4≤0,解得-1
≤x≤4,又 x<-1,所以不等式此时的解集为空集.
热点 2 不等式的证明 1.绝对值不等式的性质 定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且-c|≤|a-b|+ |b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立. 2.算术—几何平均不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立.
【例 1】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=-x2+ax +4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求 a 的 取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=-x2+x+4, g(x)=|x+1|+|x-1|=22x,,-x>1≤1,x≤1,
所以 3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a +b+c)2,
所以 a2+b2+c2≥12.当且仅当 a=b=c=2 时等号成 立.
热点 3 绝对值不等式恒成立(存在)问题 利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| 求函数最值,要注意其中等号成立的条件,利用基本不 等式、最值也必须满足等号成立的条件.不等式恒成立 问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. 【例 3】 (2018·山东潍坊二模)已知 f(x)=|x+1|+|x -m|. (1)若 f(x)≥2,求 m 的取值范围; (2)已知 m>1,若∃x∈(-1,1),f(x)≥x2+mx+3 成立,求 m 的取值范围.
所以 m(1-x)≥x2+2,m≥x12-+x2, 令 g(x)=x12-+x2=(1-x)2-1-2(x 1-x)+3=(1-x)
+1-3 x-2. 因为 0<1-x<2, 所以(1-x)+1-3 x≥2 3(当且仅当 x=1- 3时取
“=”), 所以 g(x)min=2 3-2, 所以 m≥2 3-2.
所以2a≥1,故 0<a≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2].
从近几年高考命题看,本讲主要考查绝对值不等式 的解法、不等式的性质及简单不等式的证明.命题的热 点是绝对值及其应用.考查学生的基本运算与推理论证 能力,考查分类讨论、等价转化与数形结合思想.试题 分值 10 分,难度中等.
热点 1 绝对值不等式的解法 1.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. (2)|ax+b|≥c⇔ax+b≥c 或 ax+b≤-c. 2.|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等 式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义直观求解. (2)利用零点分段法求解. (3)构造函数,利用函数的图象求解.
解:(1)因为 f(x)=|x+1|+|x-m|≥|m+1|, 又 f(x)≥2 恒成立, 所以只需要|m+1|≥2, 所以 m+1≥2 或 m+1≤-2, 解得 m≥1 或 m≤-3. 所以 m 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞). (2)因为 m>1, 所以当 x∈(-1,1)时,f(x)=m+1, 所以不等式 f(x)≥x2+mx+3,即 m≥x2+mx+2,
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为x-1≤x≤
17-1
2
.
(2)当 x∈[-1,1]时,g(x)=2, 所以 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]等价于当 x∈[-1, 1]时,f(x)≥2. 又 f(x)在[-1,1]的最小值必为 f(-1)与 f(1)之一, 所以 f(-1)≥2 且 f(1)≥2,得-1≤a≤1. 所以 a 的取值范围为[-1,1].