北理工数学物理方程复习(1)

从而
n 2 2 n 2 l n x X n ( x ) C1 cos l
n 1, 2, ...,
n 特征值 n l2
2
2
n 0,1, 2,
n 0,1,
特征函数 X n ( x ) C1 cos n x l
T 的方程
T a T 0
'' 2
其解为
' ' T0 0 2 2a 2 n Tn'' Tn 0 2
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件; 2）三类典型方程：波动方程，热传导方程， 拉普拉斯方程； 3）三类典型方程的初始条件、边界条件。 根据问题的描述，要会写出定解问题。
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件;
描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边 界条件.只附加边界条件的定解问题称为边值问 题.
波方程
2 u( x , t ) 2 a u( x , t ) f ( x , t ), 2 t
弦的自由横振动方程： 弦的强迫横振动方程：
x , t 0
2 2u u 2 a , 2 2 t x 2 2u u 2 a f ( x, t ) 2 2 t x
热传导问题（一维：杆上的温度分布规律） 第一类边界条件：
uS 0 u s f (t )
边界上的温度为0
边界上的温度为f(t)
边界条件的物理意义
热传导问题（一维：杆上的温度分布规律） 第二类边界条件： u 物体和周围介质处于绝热状态， 0 n S 即在边界上热量流速始终为0
u f (t ) n s
故
n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1

n x X n ( x ) C1 cos l
n 0,1,
T0 ( t ) A0 B0 t
nat nat Tn ( t ) An cos Bn sin l l n 1,2,
Laplace方程, 泊松方程
u( x ) 0, x
u: 稳恒温度场内的温度
u( x ) f ( x ),
x
u: 有源稳恒温度场内的温度
第一类边界条件直接给出 u 在边界 S 上的值，即
u S f1 .
第二类边界条件是给出 u 沿 S 的外法线方向的 方向导数，即 u f2 n S
均匀杆的纵向振动问题：以 u(x,t) 表示杆上各点 的纵向位移，则 u(x,t) 满足波方程。
二维波动方程（例如薄膜振动）和三维波动方程 （例如电磁波和声波的传播）：
utt a uxx u yy uzz
2
utt a
2
u
xx
u yy

热方程
u( x , t ) - a 2 u( x , t ) f ( x , t ), t x , t 0
若物体内部有热源
u(x,y,z,t) ：物体在空间位置 x 以及时刻 t 的温度。 二维齐次热传导方程
2 2 u u u 2 a 2 2 t y x
三维非齐次热传导方程
2 2 2 u u u u 2 a 2 2 2 f ( x, y, z, t ) t y z x
2 2 u u 1 u 1 u 2 a 2 2 , 0 r R,0 2 2 t r r r r
u( R, ) f ( )
边界上温度已知
圆盘上的Laplace方程
x cos y sin 代入 2u 2u 2 0 2 x y
（） 1 0， X ( x ) C1e
由边值条件
x
C 2e
x
(C1 C 2 ) 0 l ( C e C e 1 2
l
)0
得C1 =C 2=0 从而 X ( x ) 0 ， 0 无意义
（） 2 ＝0，X ( x ) C0 D0 x
XT '' a X "T 0
2
X '(0)T (t ) 0 X '(l )T (t ) 0
引入参数 得
X '' X a 2T
T ''
X '(0) X '(l ) 0
分离变量：
T '' a 2T 0
'' X X 0 ' ' X ( 0) X ( l ) 0
不同类型的方程，相应初值条件的个数不同; 初始条件给出的应是整个系统的初始状态， 而非系统中个别点的初始状态。
u t 0 ( x ),
ut t 0 ( x )
圆盘上的热方程
x cos y sin 代入
2 2 u u u 2 a 2 2 t y x
1 u 1 2u ( ) 2 0 或者 2 u | 0 2 0 f ,
叠加原理
设 L 是线性微分算子，若 ui 满足线性方程（或 线性定解条件）
Lui f i ,
l
n0
T0 ( t ) A0 B0 t nat nat Tn ( t ) An cos Bn sin l l
n 1,2,
u0 ( x , t ) A0 B0t n at n at n x un ( x , t ) ( An cos Bn sin ) cos n 1,2, l l l
由边值条件 X ' (0) X ' ( l ) 0 X ( x ) C0
（） 3 0，X ( x ) C1 cos x C 2 sin x
由边值条件
C2 0 C1sin l 0
C1 0 sin l 0 l n ( n 1,2,...),
例：
假设弦在 x = 0 端按照规律 u1 ( t ) 运动，在 x = l 端自由，初始位移、初始速度为 ( x ), ( x ) ， 弦振动满足的定解问题为：
u a 2u tt xx u t 0 ( x ), ut t 0 (x ) u x 0 u1 ( t ), ux x l 0 (0 x l , t 0) (0 x l ) (t 0)
u t 0 ( x ), ut t 0 ( x )
热传导问题：若 f(M) 表示 t = 0 时物体内一点M 的温度，则热传导问题的初始条件为
u M , t |t 0 f M .
泊松方程和拉普拉斯方程：描述稳恒状态的，与时 间无关，所以不提初始条件。
注意：
分离变量法（I）
要求： 1. 掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分 离变量解法；
例：两端自由的杆的自由纵振动问题. u a 2u 0 xx tt u x x 0 0 u x x l 0 u t 0 ( x ) ut t 0 ( x ) 解：令 u( x , t ) X ( x )T ( t )
u 第三类边界条件是给出 u 以及 n 的线性组合在
边界的值，即
u n u f 3 , 0. S
边界条件的物理意义
弦振动问题： 第一类边界条件：
u xl 0 u xl f (t )
x=l端固定
x=l端按照规律f(t)振动
边界条件的物理意义
描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始 条件。只附加初值条件的定解问题称含初值条件和边界条件的定解问题称为混 合问题(初边值问题)
初值条件、边界条件统称为定解条件 . 初值问题、边值问题、混合问题统称为定 解问题.
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件; 2）三类典型方程：波动方程，热传导方程， 拉普拉斯方程；
代入初始条件求 An, Bn :
n x A0 An cos ( x) l n 1

n a n x B0 Bn cos ( x) l l n 1

n at n at n x u( x , t ) A0 B0 t ( An cos Bn sin ) cos l l l n 1
2 u 1 u 1 2 u 2 0, 0 r R,0 2 2 2 r r r r u( R, ) f ( )
边界上温度已知
典型方程和定解条件的推导
1）概念:定解问题、初始条件、边界条件; 2）三类典型方程对初始条件、边界条件的要求： 波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程； 3）根据问题的描述，要会写出定解问题。
i 1,2,
i 1
, n,

i
则它们的线性组合 u
c u
i
必满足方程（或定解条件） Lu
c
i 1

i
fi
分离变量法
要求： 1. 掌握有界弦振动和有限长杆上热传导问题的分 离变量解法；
2. 掌握矩形域和圆域内拉普拉斯方程的分离变量
法解法； 3. 会使用特征函数法解非齐次方程的定解问题 4. 会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边界条件 的定解问题。
例：
一均匀细杆长为 l，在 x=0 端温度为0度，且保持 温度不变， x=l 端与外界绝热。已知初始时刻温度 分布为 ( x ). 试求细杆上温度的变化规律。
u a 2u 0, 0 x l , t 0 t xx t0 u x 0 0, u x x l 0, 0 xl u t 0 ( x ),
b
, n 1,2,...

2 x ,...,cos n x ,... 是L 中的完备正交系 1,cos x ,cos 2,1 l l l

1 l 首先，A0 ( )d， l 0 l l n x m x m x A0 An cos cos dx ( x )cos dx 0 0 l l l n 1 l l m x 2 m x Am |cos | dx ( x )cos dx 0 0 l l 2 l m x Am ( x )cos dx , 0 l l
边界上有恒定热流q进入(单位 时间单位截面流入的热量)， f=q/k
边界条件的物理意义
热传导问题（一维：杆上的温度分布规律） 第三类边界条件：
u k hu hu1 x
物体和周围介质通过 边界有热量交换
边界条件的物理意义
稳恒温度场内的温度分布规律：
与热方程相同
初始条件
弦振动问题：设初始位移、初始速度为 ( x ), ( x ) , 则波动方程的初值条件为

法一：由特征函数系的完备正交性
若{ f n }是L2, 中的完备正交系，则对任意f L2, ， 有其Fourier展开： f cn f n ,
n 1
cn ( f , f n
)
( x ) f ( x ) f n ( x )dx a
2 ( x ) f ( x )dx n a b
i方程边界条件齐次分离变量法任意初始条件ii边界条件齐次方程非齐次分为2个问题原初始条件齐次方程分离变量法齐次定解条件非齐次方程特征函数法注意初始条件的变化iii边界条件非齐次引进辅助函数齐次化边界条件再用上述方法二维拉普拉斯方程的边值问题根据求解区域的形状适当的选取坐标系使得在此坐标系下边界条件的表达方式最简单
例：
考察一个半径为 0 的圆形薄板，板的上下两面绝热， f ( ) (0 2 ), 圆周边界上的温度已知函数 且 求稳恒状态下的温度分布规律。 f (0) f (2 ). 2 u 1 u 1 2 u 2 2 2 0, 0 0 ,0 2
弦振动问题： 第二类边界条件：
ux ux
xl
0 f (t )
x=l 端自由 x=l 端的张力沿垂直x 轴的 方向的分量是 f(t)
xl
边界条件的物理意义
弦振动问题： 第三类边界条件：
u T x ku x l
xl
弦在端点 x=l 被某个弹性 体所支撑
边界条件的物理意义