内蒙古自治区呼和浩特市铁路第五中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析

内蒙古自治区呼和浩特市铁路第五中学2021-2022学年高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列中，若，则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 如图所示的算法流程图中（注：“”也可写成“”或“”, 均表示赋值语句），第3个输出的数是（）
A．1 B．
C． D．
参考答案：
C
3. 若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）··
A．相交B．异面 C．平行 D．异面或相交
参考答案：
D
4. 设集合S=｛x∣∣x∣＜6｝,T=｛x∣x+4x-21＜0｝，则S∩T=（）
A ｛x∣-7＜x＜-6｝； B.｛x∣3＜x＜
6｝；
C.｛x∣-6＜x＜3｝；
D.｛∣-7＜x＜6｝
参考答案：
C
5. 已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为3，则（）
A． B． C．4 D．
参考答案：
B
6. 若曲线在点处的切线平行于轴,则
A．B．0 C．1 D．2
参考答案：
A
略
7. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）
A ．22
B ．46
C ．
D ．190
参考答案： C
8. 已知可导函数在点
处切线为
（如图），设
，则
( )
A ．的极大值点
B
．的极小值点 C ．的极值点 D ．的极值点
参考答案：
B
9. 复数z 满足
，则复数z 的虚部是（ ）
A. 1
B. －1
C.
D.
参考答案：
C 【分析】
由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部 【详解】由题意可得
则
则复数的虚部是
故选C
【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单
10. 根据下面的结构图，总经理的直接下属是
(A)总工程师、专家办公室和开发部 (B)开发部
(C)总工程师和专家办公室 (D)总工程师、专家办公室和所有七个部 参考答案：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两平行线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：x ﹣y+3=0间的距离是 ．
参考答案：
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】根据两条平行线之间的距离公式直接计算，即可得到直线l 1与直线l 2的距离． 【解答】解：∵直线l 1：x ﹣y+1=0与l 2：x ﹣y+3=0互相平行 ∴直线l 1与直线l 2的距离等于
d==
故答案为：
12. 不等式≧0的解集为___________.
参考答案：
由题意得
，所以解集为
，填。

13. 若函数
在区间上是单调递增函数，则实数
的取值范围是
．
参考答案：
14. 数列
是等差数列，若
构成公比为的等比数列，则
参考答案：
1
15. 已知p ：x=1，
q ：x 3﹣2x+1=0，则p 是q 的 条件（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选出适当的一种填空）．
参考答案：
充分不必要
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数与方程之间的关系进行转化是解决本题的关键． 【解答】解：当x=1时，x 3﹣2x+1=1﹣2+1=0， 设f （x ）=x 3﹣2x+1，
∵f （﹣2）=﹣8+4+1=﹣3＜0， f （﹣1）=﹣1+2+1=2＞0，
即在区间（﹣2，﹣1）内至少存在一个x ，使f （x ）=0， 即p 是q 的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要；
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数与方程之间的关系求出函数的零点是解决本题的关键．
16. 将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，
，
，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧，则异面直线B 1C 与AA 1所成角的大小
是 .
参考答案：
设点B 1在下底面圆周的射影为
,连结
,则
,
为直线
与
所成角(或补
角),
,连结
,
，
为正三角形,
,
直线B 1C 与
所成角大小为45°..
17. 已知圆C ：x 2+y 2=1，点A （﹣2，0）及点B （2，a ），若从A 点观察B 点，要使视线不被圆C 挡住，则a 的取值范围是 ．
参考答案：
a ＞
或a
．
【考点】J7：圆的切线方程．
【分析】先求过A与圆C：x2+y2=1相切的直线方程，再求a的取值范围．
【解答】解：过A与圆C：x2+y2=1相切的直线的斜率是，切线方程是y=（x+2），
若从A点观察B点，要使视线不被圆C挡住，B在x=2的直线上，且a＞或a．
故选A＞或a．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知抛物线，焦点为F，准线为l，线段OF的中点为G.点P是C上在x轴上方的一点，且点P到l的距离等于它到原点O的距离.
（1）求P点的坐标；
（2）过点作一条斜率为正数的直线与抛物线C从左向右依次交于A、B两点，求证：.
参考答案：
（1）；（2）详见解析.
【分析】
（1）由点到的距离等于它到原点的距离，得，又为线段的中点，所以，设点的坐标为，代入抛物线的方程，解得，即可得到点坐标. （2）设直线的方程为，代入抛物线的方程，根据根与系数的关系，求得
，，进而得到，进而得到直线和的倾斜角互补，即可作出证明.
【详解】（1）根据抛物线的定义，点到的距离等于，
因为点到的距离等于它到原点的距离，所以，
从而为等腰三角形，
又为线段的中点，所以，
设点的坐标为，代入，解得，
故点的坐标为. （2）设直线的方程为，代入，并整理得，
由直线与抛物线交于、两点，得，
结合，解得，
由韦达定理，得，，
，
所以直线和的倾斜角互补，从而，
结合轴，得，故.
【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线与抛物线的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
19. （本题13分）已知圆的方程为C：，求圆上的点到已知直线L：ax+by+c=0 (a2+b2≠0)的最大距离和最小距离。

请设计一个算法程序框图，并写出算法程序。

参考答案：
解：求圆C上的点到直线L距离的最大值与最小值的程序框图，运算程序如下：
20. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）
的函数解析式可以表示为：y=x3﹣x+8（0＜x≤120）已知甲、乙两地相距100千米．（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；函数模型的选择与应用．
【分析】（I）把用的时间求出，在乘以每小时的耗油量y即可．
（II）求出耗油量为h（x）与速度为x的关系式，再利用导函数求出h（x）的极小值判断出就是最小值即可．
【解答】解：（I）当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，
要耗油（升）．
答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．（II）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h（x）升，依题意得，
．
令h'（x）=0，得x=80．
当x∈（0，80）时，h'（x）＜0，h（x）是减函数；
当x∈（80，120）时，h'（x）＞0，h（x）是增函数．
∴当x=80时，h（x）取到极小值h（80）=11.25．
因为h（x）在（0，120]上只有一个极值，
所以它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．21. (本小题满分12分)
由下列不等式：
你能得到怎样一个不等式？并加以证明.
参考答案：
根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为：
（）. ............4分
用数学归纳法证明如下：
（1）当时, ，猜想成立;
（2）假设当时猜想成立,即
则当时，
即当时，猜想也成立.
由（1）、（2）得对任意的，不等式都成立. ................12分
22. 在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为A的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为A的奇子集，其个数记为. 令
(1)当时，求的值；
(2)求.
参考答案：
（1），，，（2）
试题分析：（1）第一小问是具体理解及时定义：当时，集合为，当时，偶子集有，奇子集有，，；同理可得，，（2）从具体到一般，是归纳：当为奇数时，偶子集的个数等于奇子集的个数，；当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数
，
涉及两个组合数相乘：构造二项展开式，比较对应项的系数
试题解析：解（1）当时，集合为，
当时，偶子集有，奇子集有，，；
当时，偶子集有，奇子集有，
，；
当时，偶子集有，奇子集有，
，；
（2）当为奇数时，偶子集的个数，
奇子集的个数，
所以．当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数，
所以
．
一方面，
所以中的系数为
；
另一方面，，中的系数为，故．
综上，
考点：二项展开式的应用。