教学设计1：2.2.4 第1课时 均值不等式

2.2.4 第1课时 均值不等式
教学目标
1.探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义；
2.会用均值不等式及其变形形式解决证明不等式、比较大小、求取值范围等问题；
3.掌握运用均值不等式a ＋b
2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．
教学知识梳理
知识点一 均值不等式
(1)如果a ，b 都是正数，那么a ＋b
2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．此结论通常称为均
值不等式，也称为基本不等式．
(2)对任意两个正实数a ，b ，我们称a ＋b
2为a ，b 的算术平均值，称ab 为a ，b 的几何平均
值．因而，均值不等式可叙述为：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值． 思考1．如何证明均值不等式？
提示：因为a >0，b >0，所以a ＋b 2－ab ＝a ＋b －2ab 2＝(a －b )22≥0，即a ＋b
2≥ab .当且仅
当a ＝b ，即a ＝b 时，等号成立． 2．从几何角度如何解释均值不等式？ 提示：
以长为a ＋b 的线段为直径作圆，在直线AB 上取点C ，使AC ＝a ，CB ＝b .过点C 作垂直于直线AB 的弦DD ′，连接AD 、DB ，如图，连接BD ′，易证Rt △ACD ∽Rt △DCB ，那么CD 2＝AC ·CB ，得CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b 2，显然，它大于或等于CD ，即a ＋b
2≥ab .
当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立． 知识点二 均值不等式的应用
设x ，y 都为正数，则有如下关系：
(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 2
4
；
(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 思考3．如何证明“和定积最大，积定和最小”？ 提示：(1)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y
2
≥xy .
又x ＋y ＝s ，∴xy ≤(x ＋y 2)2＝s 2
4，当且仅当x ＝y 时，取等号．故若x ＋y ＝s ，当x ＝y 时，
积xy 取得最大值s 2
4
.
(2)∵x ，y 都是正数，∴x ＋y
2≥xy ，当且仅当x ＝y 时，等号成立．又xy ＝p ，∴x ＋y ≥2p .
故若xy ＝p ，当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p . 教学案例
类型一 均值不等式应用的条件
[例1] 下列不等式的证明过程正确的是( )
A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a
b
≥2
b a ·a b
＝2 B ．若x ，y ∈R ，则⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |≥2|x |·4|y |
C ．若x 为负实数，则x ＋4
x ≥－2
x ·4
x
＝－4 D ．若x ≠0，则x 2＋1
x
2≥2
x 2·1x
2＝2 【解析】因a ，b ∈R ，故当a ，b 异号时，b a 与a
b 均负，故直接用均值不等式是错误的，则A
选项错误；若x ，y ∈R ，⎪⎪⎪⎪x ＋4y ＝|x |＋4|y |
≥2|x |·4
|y |
，没有条件xy >0，不成立，所以B 选项错误；C 选项中，在x <0时，4x <0，故不能直接用均值不等式，正确书写为：x ＋4
x
＝
－⎣⎡⎦
⎤(－x )＋⎝⎛⎭⎫－4x ≤－2(－x )·⎝⎛⎭
⎫－4
x ＝－4，故C 选项错误；故选D. 【答案】D 通法提炼
在应用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0，若条件不满足时，则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”，另一端出现“积式”，便于运用均值不等式. [变式训练1] 已知a ，b ∈R ，且ab >0，则下列结论恒成立的是( )
A ．a 2＋b 2>2ab
B ．a ＋b ≥2ab
C ．1a ＋1b >2
ab
D ．b a ＋a b
≥2
【解析】利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a 2＋b 2≥2ab 的使用条件是a ，
b ∈R .
对于A ，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错误；
对于B ，C ，虽然ab >0，只能说明a ，b 同号，当a ，b 都小于0时，B ，C 错误； 对于D ，因为ab >0，所以b a >0，a
b >0.
所以b a ＋a
b ≥2
b a ·a b ，即b a ＋a
b
≥2成立． 【答案】D
类型二 用均值不等式证明不等式 [例2] 已知a 、b 、c 是正实数，
求证：bc a ＋ac b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c .
证明：∵a 、b 、c 是正实数， ∴bc a ＋ac
b ≥2b
c a ·ac b ＝2c (当且仅当bc a ＝ac
b ，即a ＝b 时，取等号)； a
c b ＋ab c ≥2ac b ·ab c ＝2a (当且仅当ac b ＝ab
c ，即b ＝c 时，取等号)； ab c ＋bc a
≥2ab c ·bc a ＝2b (当且仅当bc a ＝ab
c ，即a ＝c 时，取等号)； 上面3个不等式相加得2·bc a ＋2·ac b ＋2·ab
c ≥2a ＋2b ＋2c (当且仅当a ＝b ＝c 时，取等号)．
∴bc a ＋ac b ＋ab
c ≥a ＋b ＋c . 通法提炼
1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.
2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加(乘)得结论.
[变式训练2] 已知a >0，b >0，c >0，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2
a ＋
b ＋c
≥abc .
证明：因为a >0，b >0，c >0， 故a 2b 2＋b 2c 2≥2a 2b 2·b 2c 2＝2ab 2c ， b 2c 2＋c 2a 2≥2b 2c 2·c 2a 2＝2abc 2， c 2a 2＋a 2b 2≥2c 2a 2·a 2b 2＝2a 2bc .
将上述三式相加，得
2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2abc (a ＋b ＋c )， 又a ＋b ＋c >0，故a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2
a ＋
b ＋c
≥abc .
[例3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1
c
≥9.
证明：方法一：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c
＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )
≥3＋2＋2＋2＝9.
即1a ＋1b ＋1
c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 方法二：∵a >0，b >0，c >0， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c ) ＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c ＋1
＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )
≥3＋2＋2＋2＝9.
∴1a ＋1b ＋1
c ≥9(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 通法提炼
含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a ＋b ＋c ＝1”下，1的代换一般有两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.
[变式训练3] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫
1c －1≥8.
证明：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1
a －1＝a ＋
b ＋
c a －1＝b ＋c a ≥2bc a >0， 同理1b －1≥2ac b >0，1c －1≥2ab c >0，
∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8ab ac bc abc ＝8 (当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)． 类型三 利用均值不等式求最值
[例4] (1)已知0<x <1
3
，则x (1－3x )的最大值为( )
A ．112
B ．1
C ．19
D ．12
(2)已知x >0，y >0，且满足2x ＋8
y
＝1，则x ＋y 的最小值为________．
【解析】(1)因为0<x <13，所以1－3x >0，所以x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13⎣⎡⎦⎤3x ＋(1－3x )22
＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立，所以x ＝16时，x (1－3x )取得最大值112
. (2)∵x ＋y ＝(x ＋y )·1＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫2x ＋8y ＝2＋8＋2y x ＋8x y ，x >0，y >0，∴2y x >0，8x
y >0，x ＋y ≥10＋216＝18，当且仅当2y x ＝8x y 时等号成立，即y 2＝4x 2，∴y ＝2x .又2x ＋8
y ＝1，∴x ＝6，y ＝12，
∴当x ＝6，y ＝12时，x ＋y 有最小值18.
【答案】(1)A (2)18 通法提炼
求和式的最小值时应使积为定值，求积式的最大值时应使和为定值适当变形，合理发现拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，不要忽略等号成立的条件. [变式训练4] (1)已知x >－3，则x ＋1
x ＋3
的最小值为 .
【解析】因为x >－3，所以x ＋3>0，则x ＋1x ＋3＝x ＋3＋1
x ＋3－3≥2
(x ＋3)·1
x ＋3
－3
＝－1，当且仅当x ＋3＝1x ＋3，即x ＝－2时等号成立，所以x ＋1x ＋3
有最小值，最小值为－1.
【答案】-1
(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则1a ＋1
b
的最小值为 .
【解析】因为a ＋b ＝2，所以12(a ＋b )＝1，所以1a ＋1b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝1
2⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ， 因为a >0，b >0，故b a >0，a b >0，所以1a ＋1b ＝1
2⎝⎛⎭⎫2＋b a ＋a b ≥12⎝
⎛⎭
⎫
2＋2b a ·a b ＝ 2⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时等号成立，所以1a ＋1
b
的最小值为2. 【答案】2 课堂达标
1．不等式a 2＋1≥2a 中等号成立的条件是( )
A ．a ＝±1
B ．a ＝1
C ．a ＝－1
D ．a ＝0
【解析】a 2＋1－2a ＝(a －1)2≥0，∴a ＝1时，等号成立． 【答案】B
2．已知x <0，则x ＋1
x
－2有( )
A ．最大值0
B ．最小值0
C ．最大值－4
D ．最小值－4
【解析】因为x <0，所以x ＋1x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1－x －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1
－x ，
即x ＝－1时取等号．故选C.
【答案】C
3．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为3
4
.
解：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝3
4，
当且仅当x ＝1－x 即x ＝1
2时等号成立．
4．已知a >0，b >0，c >0，求证：
(1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；
(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c
≥8.
证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝
6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．
(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2ab
c
＝8abc
abc
＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．。