【华东师大版】八年级数学上期末试题(附答案)

一、选择题
1．下列命题中，属于真命题的是（ ） A ．如果0ab =，那么0a = B ．
253x
x x
-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余
D ．不是对顶角的两个角不相等
2．2020年新冠肺炎疫情影响全球，某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．则甲、乙两厂房每天各生产的口罩箱数为（ ） A ．1200，600
B ．600，1200
C ．1600，800
D ．800，1600
3．若a 与b 互为相反数，则22
201920212020a b
ab
+=( )
A ．-2020
B ．-2
C ．1
D ．2
4．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（ ）
A ．102x x x -<<
B ．012x x x -<<
C ．021x x x -<<
D ．120x x x -<<
5．已知435x y +-与2(24)x y --互为相反数，则x y 的值为（ ） A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
6．下列计算一定正确的是（ ） A ．235a b ab += B ．()
2
35
610a b a b -=
C ．623a a a ÷=
D ．()2
22a b a b +=+
7．已知2
1102x y ⎛⎫++-= ⎪⎝
⎭，则代数式2xy−（x ＋y ）2=（ ） A ．
3
4
B ．54
-
C ．12
-
D ．
54
8．若(
)(
)(
)
2
4
8
(21)2121211A =+++++，则A 的末位数字是（ ） A ．4
B ．2
C ．5
D ．6
9．如图，在Rt ABC ∆中， 90,30,ACB A CD ︒︒∠=∠=是斜边AB 上的高，2BD =，那么AD 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若
52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．
A ．12︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．18︒
11．如图，△ACB ≌△A 'CB '，∠BCB '=25°，则∠ACA '的度数为（ ）
A ．35°
B ．30°
C ．25°
D ．20°
12．做一个三角形的木架，以下四组木棒中，符合条件的是（ ）
A ．3cm,2cm,1cm
B ．3cm,4cm,5cm
C ．6cm,6cm,12cm
D ．5cm,12cm,6cm
二、填空题
13．计算：22
x x xy x y x
-⋅=-____________________． 14．九年级()1班学生周末从学校出发到某实践基地研学旅行，实践基地距学校150千米，一部分学生乘慢车先行，出发30分钟后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达实践基地，已知快车的速度是慢车速度的1.2倍，如果设慢车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为________．
15．计算（7+1）（7﹣1）的结果等于_____．
16．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．
17．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边
ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．
18．若点A （1＋m ，1﹣n ）与点B （﹣3，2）关于y 轴对称，则（m ＋n ）2020的值是_____．
19．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交
AC 于点F ．若28ABC
S
=，4DE =，8AB =，则AC =_________．
20．已知三角形三边长分别为m ，n ，k ，且m 、n 满足2|9|(5)0n m -+-=，则这个三角形最长边k 的取值范围是________．
三、解答题
21．（1）解分式方程：2
3193
x
x x +=-- （2）先化简代数式+⎛⎫+÷ ⎪
---+⎝⎭2a 11a a 1a 1
a 2a 1，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值． 22．解下列方程． （1）21
133x x x
-+=-- （2）
2216
124
x x x --=+- 23．图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于________．
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式2()a b +，2
()a b -，ab 之间的等量关系为
________．
（3）运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且3=-mn ，4m n -=，试求
m n +的值．
（4）如图3，点C 是线段AB 上的一点，以AC 、BC 为边向两边作正方形，设8AB =，两正方形的面积和1226S S +=，求图中阴影部分面积．
24．在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B 、C 重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE ，使AD AE =，DAE BAC ∠=∠，连接CE ．
（1）如图，当点D 在线段BC 上，如果90BAC ∠=︒，则BCE ∠=______度．
（2）设BAC α∠=，BCE β∠=．
①如图，当点D 在线段BC 上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
②如图，当点D 在线段BC 的反向延长线上移动时，α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
25．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在边BC 上（不与点B ，C 重合），过点C 作CE ⊥AD ，垂足为点E ，交AB 于点F ，连接DF ． （1）请直接写出∠CAD 与∠BCF 的数量关系；
（2）若点D 是BC 中点，在图2中画出图形，猜想线段AD ，CF ，FD 之间的数量关系，并证明你的猜想．
26．△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高． （1）如图1，若∠B ＝40°，∠C=60°，求∠DAE 的度数；
（2）如图2，∠B ＜∠C ，则DAE 、∠B ，∠C 之间的数量关系为___________；
（3）如图3，延长AC 到点F ，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G ，求∠G 的度数．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
根据有理数的乘法、最简分式的化简、直角三角形的性质、对顶角的概念判断即可． 【详解】
解：A. 如果 ab=0，那么a=0或b=0或a 、b 同时为0，本选项说法是假命题，不符合题意；
B. ()2555==333x x x x x x x ---，故253x x x
-不是最简分式，本选项说法是假命题，不符合题意；
C. 直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题，符合题意；
D. 不是对顶角的两个角可能相等，本选项说法是假命题，不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉教材中的性质定理．
2．A
解析：A 【分析】
先设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，根据工作时间=工作总量÷工作效率且两厂房各加工6000箱口罩时甲厂房比乙厂房少用5天，可得出关于x 的分式方程，解方程即可得出结论． 【详解】
解：设乙厂房每天生产x 箱口罩，则甲厂房每天生产2x 箱口罩，
依题意得：
60006000
52x x
-=， 解得：x =600，
经检验，x =600是原分式方程的解，且符合题意， ∴2x =1200． 故答案选：A ． 【点睛】
该题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
3．B
解析：B 【分析】
a 与
b 互为相反数，由相反数的定义与性质得22=,a b a b -=，将代数式中字母统一成b,
合并约分即可． 【详解】
∵a 与b 互为相反数， ∴22=,a b a b -=，
2222
2
2019202120192021220202020a b b b ab b ++==--，
故选择：B ． 【点睛】
本题考查分式求值问题，掌握相反数的定义与性质，会利用相反数将代数式的字母统一为b 是解题关键．
4．D
解析：D 【分析】
根据负整数指数幂的运算法则可得1
1
0x
x
-=
<，根据非零数的零次幂可得0x 1=，根据平方的结果可得20x 1<<，从而可得结果． 【详解】
解：∵1x 0-<<， ∴20x 1<<，0x 1=，1
1
x 0x
-=
<， ∴120x x x -<<． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了代数式的大小比较，需结合幂的运算法则进行求解．
5．D
解析：D
【分析】
根据相反数和非负数的性质即可求出x 、y 的值，再代入x
y 中即可． 【详解】
根据绝对值和偶次方的性质可知，4350x y +-≥，2
24)0(x y --≥
又∵435x y +-和2
(24)x y --是相反数，即2
435(24)0x y x y +-+--=．
∴435=0
24=0
x y x y +-⎧⎨
--⎩ ，
解得：=2=1x y ⎧⎨-⎩
，
∴2(1)1x y =-=． 故选：D ． 【点睛】
本题考查相反数和非负数的性质、代数式求值以及求解二元一次方程组．根据题意列出二元一次方程组求出x 、y 的值是解答本题的关键．
6．B
解析：B 【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可． 【详解】
A 、2a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；
B 、（-a 3b 5）2=a 6b 10，故选项B 符合题意；
C 、a 6÷a 2=a 4，故选项C 不符合题意；
D 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故选项D 不合题意． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．B
解析：B 【分析】
直接利用非负数的性质得出x ，y 的值，进而代入得出答案． 【详解】 ∵|x ＋1|＋（y−12
）2
＝0， ∴x ＋1＝0，y−
1
2
＝0，
解得：x ＝−1，y ＝
12
， ∵2xy−（x ＋y ）2＝2xy−x 2−y 2−2xy ＝−x 2−y 2， ∴当x ＝−1，y ＝
1
2
时， 原式＝−（−1）2−（12）2
＝−1−14
＝−54． 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了非负数的性质，和完全平方公式，正确得出x ，y 的值是解题关键．
8．D
解析：D 【分析】
在原式前面加（2-1），利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得到答案． 【详解】
()()()248(21)2121211A =+++++
=(
)(
)(
)
2
4
8
(21)(21)2121211-+++++ =(
)()()2
2
4
8
(21)2121211-++++ =()()4
4
8
(21)21211-+++ =()8
8
(2
1)2
11-++
=162，
∵2的末位数字是2，
22的末位数字是4， 32的末位数字是8， 42的末位数字是6， 52的末位数字是2，
，
∴每4次为一个循环， ∵1644÷=，
∴162的末位数字与42的末位数字相同，即末位数字是6， 故选：D ． 【点睛】
此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数字的规律得到答案是解题的关键．
9．C
解析：C 【分析】
根据∠ACB=90°，∠A=30°，CD 是斜边AB 上的高，利用互余关系求∠BCD=30°，DB=2，可求BC ，在Rt △ABC 中，再利用含30°的直角三角形的性质求AB ，再用线段的差求AD ． 【详解】
解：Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°， CD 是斜边AB 上的高， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=90°-∠B=30°， ∴BC=2BD ＝4， 同理，AB=2BC=8， AD=AB-BD=8-2=6， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了含30°的直角三角形的性质，准确运用在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半是解题关键．
10．A
解析：A 【分析】
由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案． 【详解】
在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，
()1
1802ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠
()1
180522
=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线， AD BD ∴=，
52ABD BAC ∴∠=∠=︒，
12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒． 故选A ． 【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
11．C
解析：C 【分析】
利用全等三角形的性质可得∠A′CB′=∠ACB ，再利用等式的性质可得答案． 【详解】
解：∵△ACB ≌△A′CB′， ∴∠A′CB′=∠ACB ，
∴∠A′CB′-∠A′CB=∠ACB-∠A′CB ， ∴∠ACA′=∠BCB′=25°， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形对应角相等．
12．B
解析：B 【分析】
三角形的任意两边的和大于第三边，根据三角形的三边关系就可以求解． 【详解】
解：根据三角形的三边关系，知： A 中，1+2=3，排除； B 中，3+4＞5，可以； C 中，6+6=12，排除； D 中，5+6＜12，排除． 故选：B ． 【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
二、填空题
13．1【分析】先将第二项的分子分解因式再约分化简即可【详解】故答案为：1【点睛】此题考查分式的乘法掌握乘法的计算法则是解题的关键
解析：1 【分析】
先将第二项的分子分解因式，再约分化简即可． 【详解】
22
x x xy
x y x
-⋅=-2()1x x x y x y x -⋅=-， 故答案为：1． 【点睛】
此题考查分式的乘法，掌握乘法的计算法则是解题的关键．
14．【分析】设慢车的速度为x 千米/小时则快车的速度为12x 千米/小时根据
题意可得走过150千米快车比慢车少用小时列方程即可【详解】解：设慢车的速度为则快车的速度为根据题意得：故答案为：【点睛】本题考查了 解析：15011502 1.2x x
-= 【分析】
设慢车的速度为x 千米/小时，则快车的速度为1.2x 千米/小时，根据题意可得走过150千米，快车比慢车少用
12小时，列方程即可． 【详解】
解：设慢车的速度为xkm /h ，则快车的速度为1.2xkm /h ， 根据题意得：1501150x 2 1.2x
-=． 故答案为：
1501150x 2 1.2x
-=． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程．
15．6【分析】根据平方差公式计算【详解】（+1）（﹣1）=7-1=6故答案为：6【点睛】此题考查平方差计算公式：熟记公式是解题的关键
解析：6
【分析】
根据平方差公式计算．
【详解】
﹣1）=7-1=6，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查平方差计算公式：22
()()a b a b a b +-=-，熟记公式是解题的关键． 16．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键 解析：4ab ．
【分析】
应用平方差把多项式22
x y -因式分解，再整体代入即可．
【详解】
解：22()()x y x y x y -=+-，
把2x y a +=，2x y b -=代入，
原式=224a b ab ⨯=，
故答案为：4ab ．
【点睛】
本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．
17．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可
解析：5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE ，
∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，
∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，
即∠BAD ＝∠EAC ，
在△BAD 与△EAC 中，
AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAD ≌△EAC （SAS ），
∴BD ＝EC ；
∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，
当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，
∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．1【分析】直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数纵坐标相等进而得出答案【详解】解：∵点A （1+m1-n ）与点B （-32）关于y 轴对称∴1+m=31-n=2∴m=2n=-1∴（m ＋n ）202
解析：1
【分析】
直接利用关于y 轴对称点的性质得出横坐标互为相反数，纵坐标相等，进而得出答案．
【详解】
解：∵点A （1+m ，1-n ）与点B （-3，2）关于y 轴对称，
∴1+m=3，1-n=2，
∴m=2，n=-1，
∴（m ＋n ）2020=（2-1）2020=1；
故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了关于y 轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
19．【分析】首先由角平分线的性质可知DF=DE=4然后由
S △ABC=S △ABD+S △ACD 及三角形的面积公式得出结果【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线DE ⊥ABDF ⊥AC ∴DF=DE=4又∵S △ABC
解析：【分析】
首先由角平分线的性质可知DF=DE=4，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．
【详解】
解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DF=DE=4．
又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，AB=8， ∴12×8×4+ 12
×AC×4=28， ∴AC=6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质；利用三角形的面积求线段的长是一种很好的方法，要注意掌握应用．
20．【分析】根据求出mn 的长根据三角形三边关系求出k 的取值范围再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值【详解】解：由题意得n-9=0m-5=0解得m=5n=9∵mnk 为三角形的三边长∴∵k 为三角形的最长边
解析：914k ≤<
【分析】
根据2|9|(5)0n m -+-=求出m 、n 的长，根据三角形三边关系求出k 的取值范围，再根据k 为最长边进一步即可确定k 的取值．
【详解】
解：由题意得n-9=0，m-5=0，
解得 m=5，n=9，
∵m ，n ，k ，为三角形的三边长，
∴414k ≤<，
∵k 为三角形的最长边，
∴914k ≤<．
故答案为：914k ≤<
【点睛】
本题考查了绝对值、偶次方的非负性，三角形的三边关系，根据题意求出m 、n 的长是解题关键，确定k 的取值范围时要注意k 为最长边这一条件．
三、解答题
21．（1）x=-4（2）化简为：
1
a a -，当a=2时，原式=2 【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
（2）先算括号内的加减，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则求出答案即可．
【详解】
解：（1）两边都乘最简公分母（x 2-9）得：
3+x （x+3）=x 2-9，
解这个整式方程得：x=-4，
经检验x=-4时，x 2-9≠0，
所以，x=-4是分式方程的解． （2）原式=()()()()22a 1a 11a a 1a 1a 1⎛⎫+- ⎪+÷ ⎪---⎝
⎭ ()()=222a 11a a 1a 1a 1⎛⎫- ⎪+÷ ⎪---⎝⎭
()=
22a a 1a
a 1-⋅- =a a 1- 当a=2时，原式=2．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算及解分式方程，能正确根据分式的运算法则进行化简以及掌握解分式方程的方法是解答此题的关键，注意解分式方程要验根．
22．（1）2x =；（2）无解
【分析】
（1）去分母，化成整式方程求解即可；
（2）去分母，化成整式方程求解即可；
【详解】
（1）分式两边同时乘以()3x -得，
213x x --=-，
解得2x =，
把2x =代入()3x -中得2310-=-≠，
∴2x =是分式方程的解；
（2）分式方程两边同时乘以()()22x x +-得，
()()()2
22216x x x ---+=， 2244416x x x -+-+=，
解得：2x =-，
把2x =-代入()()22x x +-中得()()220x x +-=，
∴分式方程无解．
【点睛】
本题主要考查了分式方程的求解，准确计算是解题的关键．
23．（1）44a b -或者4()a b -；（2）22()()4a b a b ab -=+-；或
22()()4a b a b ab +=-+；或224()()ab a b a b =+--；（3）2或2-；（4）
192
． 【分析】
（1）直接写出边长：长边减短边=a-b ，进而可得周长； （2）根据阴影正方形的面积=大正方形的面积-4个长方形的面积解答，或利用大正方形的面积=阴影方形的面积+4个长方形的面积解答，或利用4个长方形的面积=大正方形的面积-阴影方形的面积解答；
（3）根据22()()4a b a b ab +=-+求解即可；
（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，由1226S S +=可得，
2226x y +=，然后把8x y +=的两边平方求解即可．
【详解】
解：（1）由图可知，阴影部分正方形的边长为：a-b ，
∴阴影部分的正方形的周长等于44a b -或者4()a b -，
故答案为：44a b -或者4()a b -；
（2）22()()4a b a b ab -=+-；或（22()()4a b a b ab +=-+；
或224()()ab a b a b =+--；
（3）∵3=-mn ，4m n -=，
∴222()()444(3)16124m n m n mn +=-+=+⨯-=-=，
∴2m n +=±，
∴m n +的值为2或2-．
（4）设AC x =，BC y =，则21S x =，22S y =，
由1226S S +=可得，2226x y +=，而8x y AB +==， 而12
S xy =阴影部分， ∵8x y +=，
∴22264x xy y ++=，
又∴2226x y +=，
∴238xy =， ∴13819242
S xy ===阴影部分， 即，阴影部分的面积为
192． 【点睛】
本题主要考查完全平方公式的几何背景，利用图形的面积是解决此题的关键，利用数形结合的思想，注意观察图形．
24．（1）90；（2）①180αβ+=︒，理由见解析；②αβ=，理由见解析
【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，由“SAS”可证△BAD ≌△CAE ，可得∠ABC=∠ACE=45°，可求∠BCE 的度数；
（2）①由“SAS”可证△ABD ≌△ACE 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“SAS”可证△ADB ≌△AEC 得出∠ABD=∠ACE ，再用三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
（1）∵AB=AC ，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠BAD=∠CAE ，
在△BAD 和△CAE 中
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAD ≌△CAE （SAS ）
∴∠ABC=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
故答案为：90；
（2）①180αβ+=︒．
理由：∵∠BAC=∠DAE ，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ．
即∠BAD=∠CAE ．
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B=∠ACE ．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB ．
∵∠ACE+∠ACB=β，
∴∠B+∠ACB=β，
∵α+∠B+∠ACB=180°，
∴α+β=180°；
② 当点D 在射线BC 的反向延长线上时，αβ=．
理由如下：
∵DAE BAC ∠=∠，
∴DAB EAC ∠=∠，
在△ABD 与△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△≌△ADB AEC
(SAS)， ∴ABD ACE ∠=∠，
∵ABD BAC ACB ∠=∠+∠，ACE BCE ACB ∠=∠+∠，
∴BAC ABD ACB ∠=∠-∠，BCE ACE ACB ∠=∠-∠，
∴BAC BCE ∠=∠，即αβ=．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明△ABD ≌△ACE 是解本题的关键．
25．（1）∠BCF ＝∠CAD ；（2）AD ＝CF +DF ，证明见解析
【分析】
（1）由余角的性质可求解；
（2）过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，由“ASA ”可证△ACD ≌△CBG ，可得CD ＝BG ，
AD ＝CG ，由“SAS ”可证△BDF ≌△BGF ，可得DF ＝GF ，可得结论．
【详解】
解：（1）∠BCF ＝∠CAD ，
理由如下：∵CE ⊥AD ，
∴∠CED ＝∠ACD ＝90°，
∴∠CAD +∠ADC ＝90°＝∠ADC +∠BCF ，
∴∠CAD ＝∠BCF ；
（2）如图所示：
猜想：AD ＝CF +DF ，
理由如下：过点B 作BG ∥AC 交CF 的延长线于G ，
则∠ACB +∠CBG ＝180°，
∴∠CBG ＝∠ACD ＝90°，
在△ACD 和△CBG 中，
∵CAD BCF AC BC ACD CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ACD ≌△CBG （ASA ），
∴CD ＝BG ，AD ＝CG ，
∵D 是BC 的中点，
∴CD ＝BG ＝BD ，
∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠CBA ＝∠CAB ，
∴∠CBA ＝45°，
∴∠FBG ＝∠CBG ﹣∠CBA ＝90°﹣45°＝45°，
∴∠FBG ＝∠FBD ，
在△BDF 和△BGF 中，
BF BF FBD FBG BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BDF ≌△BGF （SAS ），
∴DF ＝GF ，
∵AD＝CG＝CF+FG，
∴AD＝CF+DF．
【点睛】
本题主要考查余角的性质，全等三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
26．（1）10°；（2）∠DAE＝1
2
(∠C−∠B)；（3）45°．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得∠CAG＝1
2
∠EAC＝1
2
（90°−α）＝
45°−1
2
α，∠FCG＝1
2
∠BCF＝1
2
（180°−α）＝90°−
1
2
α，再利用三角形外角的性质即
可求得结果．
【详解】
解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝1
2
∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°−60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°−∠B−∠C，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD＝1
2
∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°−∠C，
∴∠DAE＝∠CAD−∠CAE＝1
2∠BAC−（90°−∠C）＝1
2
（180°−∠B−∠C）−90°＋∠C＝
1 2∠C−1
2
∠B，
即∠DAE＝1
2
(∠C−∠B)．
故答案为：∠DAE＝1
2
(∠C−∠B)．
（3）设∠ACB＝α，
∵AE⊥BC，
∴∠EAC＝90°−α，∠BCF＝180°−α，∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG＝1
2∠EAC＝1
2
（90°−α）＝45°−
1
2
α，
∠FCG＝1
2∠BCF＝1
2
（180°−α）＝90°−
1
2
α，
∵∠FCG＝∠G＋∠CAG，
∴∠G＝∠FCG −∠CAG＝90°−1
2α−（45°−1
2
α）＝45°．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理、三角形的高及角平分线等知识，熟练掌握三角形内角和定理并能灵活运用三角形的高、角平分线这些知识解决问题是关键．。