【浙教版】高中数学必修一期末试题(含答案)(3)

一、选择题
1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，|2|()12x f x +=-，若关于x 的方程
2()|1|f x a f -+2()0x a +=恰好有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则
()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的取值范围是（ ）
A ．160,
81⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．10,
16⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．116,1681⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ D ．11,164⎡⎫
⎪⎢
⎣
⎭ 2．已知一元二次方程210x mx ++=的两根都在()0,2内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．5,22⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
[)2,⋃+∞ B ．5,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭()2,⋃+∞ C ．5,22⎛⎤
-
- ⎥⎝⎦
D ．5,22⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
3．已知定义域为R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期为3的周期函数，当30,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()sin f x x π=，则函数()f x 在区间[0,6]上的零点个数是（ ） A ．3
B ．5
C ．7
D ．9
4．已知()()514,1log ,1
a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是
（ ）.
A ．()0,1
B ．10,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．1,19⎡⎫⎪⎢⎣⎭
5．已知函数
3131()(),()log ,()(0)2x
f x x
g x x x
h x x x x =-=-=->的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >> 6．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
7．
方程2x =所表示的曲线大致形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．设函数()y f x =在(),-∞+∞上有定义，对于给定的正数K ，定义函数
(),()()()k f x f x K f x K f x K
≤⎧=⎨>⎩，， 取函数()||
()1x f x a a -=>，当1K a =时，函数()k f x 在下列
区间上单调递减的是（ ）
A ．(),0-∞
B ．(),a -+∞
C ．(),1-∞-
D ．()1,+∞
10．已知集合{|0}M y y =≥，2{|1}N y y x ==-+，则M N =（ ）
A ．()0,1
B ．[]0,1
C ．[)0,+∞
D ．[)1,+∞
11．定义集合运算{}
,,A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈，设{0,1},{3,4,5}A B ==，则集合A B ⊗的真子集个数为（ ） A ．16
B ．15
C ．14
D ．8
12．已知全集U =R ，集合91A x
x ⎧⎫
=>⎨⎬⎩⎭
和{}44,B x x x Z =-<<∈关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所表示集合中的元素共有（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．无穷多个
二、填空题
13．已知函数()()2
23,ln 1,x x x f x x x λ
λ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩
恰有两个零点，则λ的取值范围为______.
14．若关于x 的方程()4230x x f x k k =-⋅++=只有一个实数解，则实数k 的取值范围是______.
15．已知a b c 、、是不为1的正数，且0lga lgb lgc ++=，则 1
1
1
1
1
1
lgb lgc lgc lga lga lgb
a b c
+++
⨯⨯的值为_____
16．已知函数()32log f x x =+，[]1,3x ∈，则函数()()2
21y f x f x =++的值域为
____________.
17．若233
()1
x x f x x -+=-，()2g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.
18．若函数234y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
--，则m 的取值范围______.
19．若规定{}1210E a a a =⋯，，
，的子集{
}
12,,n k k k a a a 为E 的第k 个子集,其中
12111222n k k k k ---=++⋯+，
则E 的第211个子集是____________. 20．设全集U =R ，1|
11A x x ⎧⎫⎪⎪
=<⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
，{}2|540B x x x =-+>，则()U A
C B =______.
三、解答题
21．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，发展混合所有制经济，培育具有全球竞争力的世界一流企业．这为我们深入推进公司改革发展指明了方向，提供了根本遵循．某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A 、B 两种产品，根据市场调查与市场预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图（1）；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（2）（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）
（1）分别求出A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
22．某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出(
)*
x x N ∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润
为310500x a ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？
23．（1）解不等式()()22log 2log 36x x -≤+；
（2）在（1）的条件下，求函数1
114242x x
y -=-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎝⋅⎪⎝⎭
+⎭
的最大值和最小值及相应的x 的
值.
24．已知222log ()log log x y x y +=+，则x y +的取值范围是__________. 25．已知函数()0k
y x k x
=+>在区间(k 单调递减，在区间)
,k +∞单调递增．
（1）求函数2
y x x
=+
在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()213
1
x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成
立，求实数a 的取值范围． 26．若全集U =R ，集合
{23},{27},{(4)(3)0}A x a x a B x x C x x x =-≤≤+=≤≤=-+≥.
（1）当3a =时，求,()U A B A C B ；
（2）若A
C A =，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
由奇函数得出()f x 的性质，作出函数图象，可知()f x t =的解的个数，令()t f x =，原方
程变为2210t a t a -++=，根据()f x t =的解的情形，可得22
10t a t a -++=有两不等
实根且实根12,t t 都在(0,3)上，由二次方程根的分布可得a 的范围，应用韦达定理得
1212,t t t t +，这样()()()()12341111f x f x f x f x ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦就可能用a 表示，并根
据a 的求得结论． 【详解】
由题意(0)0f =，0x >时，2()()21x f x f x -+=--=-，作出函数()f x 的图象，如图，
若0a =，则方程2
()|1|f x a f -+2()0x a +=为2()()0f x f x -=，()0f x =或
()1f x =()0f x =三个解，()1f x =有两个解，原方程共有5个解，不合题意，设
()t f x =，
因此关于t 方程2
2
10t a t a -++=必有两个不等实根，又122
12
10
0t t a t t a ⎧+=+>⎨
=>⎩，所以120,0t t >>，从而103t <<，203t <<且12t t ≠.
若其中一根为1，则由2
110a a -++=，1a ≤-时，2110a a +++=无实数解，
1a >-，2110a a --+=，0a =或1a =，不合题意．因此121,1t t ≠≠，
由22221
03209310
140a a a a a a ⎧+<<⎪
⎪⎪>⎨⎪-++>⎪∆=+->⎪⎩
，解得113-<<a 且0a ≠．
不妨设121()()f x f x t ==，342()()f x f x t ==， 则
()()()()222212341212121111[(1)(1)][1()][11]f x f x f x f x t t t t t t a a ----=--=-++=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦22()a a =-，
∵113
-
<<a 且0a ≠．∴21449a a -≤-<且20a a -≠，∴2
160,81a a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭
． 故选：A ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查方程根的分布问题，解题关键是两个：一是研究函数()f x 的性质，二是换元后得出二次方程，问题转化为二次方程根的分布，求出参数a 的范围．
2．C
解析：C 【分析】
设()2
1f x x mx =++，根据二次函数零点分布可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得
实数m 的取值范围. 【详解】
设()21f x x mx =++，则二次函数()2
1f x x mx =++的两个零点都在区间()0,2内，
由题意()()24002
2
010
2250
m m f f m ⎧∆=-≥⎪
⎪<-<⎪⎨⎪=>⎪=+>⎪⎩，解得522m -<≤-. 因此，实数m 的取值范围是5,22⎛⎤
-- ⎥⎝⎦
. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用二次方程根的分布求参数，一般分析对应二次函数图象的开口方向、判别
式、对称轴以及端点函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
3．D
解析：D 【分析】 根据当30,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()sin f x x π=，令()0f x =，求得根，再结合奇函数，求出一个周期33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的零点，然后根据周期性得到区间[0,6]上的零点即可. 【详解】 因为当30,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()sin f x x π=， 令()0f x =， 解得1x =，
又因为()f x 是以3为周期的周期函数， 所以 (3)()f x f x +=， 有 33
()()22
f f -= ，
又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以333()()()222
f f f -==-， 所以3()02
f =， 所以在区间 33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上有 33(1)(1)()()022f f f f -==-== ，且(0)0f =，
因为()f x 是以3为周期的周期函数，
所以方程()0f x =在区间[0,6]上的零点是：0，1，3
2，2，3，4，92
，5，6，共9个， 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.
4．C
解析：C 【分析】
由510
01514log 1
a a a a a -<⎧⎪
<<⎨⎪-+≥⎩
解得结果即可得解. 【详解】
因为()()514,1log ,1
a a x a x f x x x ⎧-+<=⎨
≥⎩是(),-∞+∞上的减函数，
所以51001514log 1
a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩
，解得1195a ≤<.
故选：C 【点睛】
易错点点睛：容易忽视两段交界点处函数值的大小关系.
5．B
解析：B 【分析】
将函数
313
1()(),()log ,()(0)2x
f x x
g x x x
h x x x x =-=-=->的零点，转化为函数y x =的图象分别与函数
313
1(),log ,(0)2x
y y x y x x ===>的图象交点的横坐标，利用数形结合法求解. 【详解】
函数3
13
1
()(),()log ,()(0)2
x f x x g x x x h x x x x =-=-=->的零点，
即为函数y x =的图象分别与函数3
13
1(),log ,(0)2
x y y x y x x ===>的图象交点的横坐
标， 如图所示：
由图象可得：c a b >>，
故选：B 【点睛】
本题主要考查函数的零点以及指数函数，对数函数和幂函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.
6．B
解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
7．D
解析：D 【分析】
先利用方程得到图像的对称性，再作0y ≥，0x ≥时的图像，利用对称性即得结果. 【详解】 由方程2x y +
=可知图像关于原点中心对称，也关于坐标轴对称.
20,44x y y =-≥-≤≤，
20,22y x x =-≥-≤≤.
当0y ≥，0x ≥时，方程2x y +=转化成()2
2y x =-，作图如下：
再利用对称性即得图像为 D. 故选：D. 【点睛】
本题解题关键是利用绝对值的性质得到图像的对称性，就只需要画0y ≥，0x ≥部分图像，即突破问题.
8．B
解析：B 【分析】
这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】
对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;
关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;
关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．
9．D
解析：D 【分析】
作出函数()y f x =与1
y a
=的图象，数形结合可得()k f x ，即可得解. 【详解】 令||
1
()x f x a
a
-==
，解得1x =±， 在同一直角坐标系中作出()y f x =与1
y a
=
的图象，如图，
所以,11
()11,1x k x a x f x x a a x --⎧≤-⎪⎪=-<<⎨⎪
⎪≥⎩
，，所以函数()k f x 的单调减区间为()1,+∞. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数图象的应用及函数单调性的求解，考查了运算求解能力与数形结合思想，属于中档题.
10．B
解析：B 【解析】
∵集合{}
2
{|1}1N y y x y y ==-+=≤，{|0}M y y =≥，∴[]
0,1M N ⋂=，故选B.
11．B
解析：B 【分析】
根据新定义得到{}
{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=，再计算真子集个数得到答案. 【详解】
{0,1},{3,4,5}A B ==，{}{},,0,3,4,5A B x x a b a A b B ⊗==⨯∈∈=
其真子集个数为：42115-= 故选：B 【点睛】
本题考查了集合的新定义问题，真子集问题，意在考查学生的应用能力.
12．B
解析：B 【分析】
先解分式不等式得集合A ，再化简B ，最后根据交集与补集定义得结果. 【详解】
因为91(0,9)A x x ⎧⎫=>=⎨⎬⎩⎭
，{}{}44,3,2,1,0,1,2,3B x x x Z =-<<∈=---，
所以阴影部分所表示集合为(){0,1,2,3}U C A B =---,元素共有4个，
故选B 【点睛】
本题考查分式不等式以及交集与补集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.
二、填空题
13．或【分析】当时求出函数的两个零点是和当时求出函数的零点为然后分三类讨论零点可解得结果【详解】当时令得或；当时令得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则解得若的两个零点是和则此不等式组无解综上所述：
解析：12λ-≤<或3λ≥ 【分析】
当x λ≤时，求出函数()f x 的两个零点是1-和3，当x λ>时，求出函数()f x 的零点为
2，然后分三类讨论零点可解得结果. 【详解】
当x λ≤时，令2230x x --=，得1x =-或3x =； 当x λ>时，令()ln 10x -=，得2x =，
若()f x 的两个零点是1-和3，则132λλλ-≤⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩，解得3λ≥，
若()f x 的两个零点是1-和2，则132λλλ-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩，解得12λ-≤<，
若()f x 的两个零点是2和3，则132λλλ->⎧⎪
≤⎨⎪>⎩
，此不等式组无解，
综上所述：λ的取值范围为12λ-≤<或3λ≥. 故答案为：12λ-≤<或3λ≥. 【点睛】
关键点点睛：利用方程求出三个实根后，按照三种情况讨论函数()f x 的零点是哪两个进行求解是解题关键.
14．【分析】换元令再根据二次函数在区间上只有一个实数解求解即可【详解】令则在区间上只有一个实数解故=0在上有两个等根或有一个正根和一个负
根①故②故实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查了根据根的 解析：(,3){6}-∞-⋃
【分析】
换元令2x t =,()0,t ∈+∞,再根据二次函数2
()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上
只有一个实数解求解即可. 【详解】
令2x t =,()0,t ∈+∞,则2
()30g t t k t k =-⋅++=在区间()0,t ∈+∞上只有一个实数解.
故2
()3g t t k t k =-⋅++=0在()0,t ∈+∞上有两个等根或有一个正根和一个负根.
①()()()()2430
620002
k k k k k k ⎧--+=⎧-+=⎪
⇒⎨⎨
->-
>⎩⎪⎩ .故6k = ②(0)303g k k =+<⇒<- 故实数k 的取值范围是(,3){6}-∞-⋃ 故答案为：(,3){6}-∞-⋃ 【点睛】
本题主要考查了根据根的分布求解参数范围的问题.需要根据题意换元再分两种情况讨论.属于中档题.
15．【分析】根据对数运算公式可以将转化得到的等量关系将此等量关系代入所求式子即可解决【详解】由可得故答案为：【点睛】本题考查对数的运算对数恒等式属于基础题 解析：
11000
【分析】
根据对数运算公式，可以将0lga lgb lgc ++=转化，得到a ，b ，c 的等量关系，将此等量关系代入所求式子即可解决． 【详解】
由0lga lgb lgc ++=， 可得1bc a =，1ab c
=，1ac b =，
1111
11111()()
()
lgb lgc
lgc lga
lga lgb
lgb lga
lgc
a
b
c
ac bc ab +++∴⨯⨯=．
111
10
1010
1111
1010101000
b
a
c log log log b
a
c ==
⨯⨯= 故答案为：11000
【点睛】
本题考查对数的运算，对数恒等式，属于基础题．
16．【分析】计算定义域为设代入化简得到计算值域得到答案【详解】函数的定义域满足：解得设故函数在上单调递增当时；当时故答案为：【点睛】本题考查了函数的值域忽略定义域是容易发生的错误
解析：417,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
计算定义域为⎡⎣，设()5,2,2f x t t ⎡⎤
=∈⎢⎥⎣⎦
，代入化简得到()2
12y t =+-，计算值域得到答案. 【详解】
函数()()2
2
1y f x f x =++的定义域满足：213
13
x x ⎧≤≤⎨≤≤⎩，解得1x ≤≤
设()5,2,2
f x t t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，故()()
()2
222
122112y f x f x t t t =++=+-+=+-.
函数在52,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，当2t =时，min 7y =；当52t =时，max 414y =
. 故答案为：417,4⎡
⎤
⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查了函数的值域，忽略定义域是容易发生的错误.
17．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的 解析：(]
[),31,-∞-+∞
【分析】
将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域． 【详解】
要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入
233
()1
x x f x x -+=
-得： ()()
()()2
223231
11
x x x x y f g x x x +-++++==
=
++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)11
1t t t t y t t t t
-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，
故函数()()f g x 的值域为(]
[),31,-∞-+∞.
故答案为：(][),31,-∞-+∞.
【点睛】
求解复合函数()()
f g x 的值域的一般方法如下：
（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()
f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；
（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．
18．；【分析】根据函数的函数值结合函数的图象即可求解【详解】又故由二次函数图象可知：要使函数的定义域为值域为的值最小为；最大为3的取值范围是：故【点睛】本题考查了二次函数的定义域值域特别是利用抛物线的对
解析：
3
32m ≤≤； 【分析】
根据函数的函数值325
()24f =-，()(0)34f f ==-，结合函数的图象即可求解.
【详解】
22325
()34()24f x x x x =--=--，
325
()24f ∴=-，又()(0)34f f ==-，
故由二次函数图象可知：
要使函数2
34y x x =--的定义域为[0,]m ，值域为25
[,4]4
-
- m 的值最小为3
2
；
最大为3．
m 的取值范围是：
3
32
m ． 故
3
32
m
【点睛】
本题考查了二次函数的定义域、值域，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，考查了数形结合思想，属于基础题．
19．【分析】根据题意分别讨论的取值通过讨论计算的可能取值即可得出答案【详解】而的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含的第个子集是故答案为：【点睛】本题主要 解析：{}12578,,,,a a a a a
【分析】
根据题意，分别讨论2n 的取值，通过讨论计算n 的可能取值，即可得出答案. 【详解】
72128211=<，而82256211=>，
E ∴的第211个子集包含8a ，
此时21112883-=，
626483=<，7212883=>，
E ∴的第211个子集包含7a ，
此时836419-=，
421619=<，523219=>，
E ∴的第211个子集包含5a ，
此时19163-=，
1223=<，2243=>，
E ∴的第211个子集包含2a ，
此时321-=，021=
E ∴的第211个子集包含1a ，
E ∴的第211个子集是{}12578,,,,a a a a a .
故答案为：{}12578,,,,a a a a a
【点睛】
本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.
20．【分析】解不等式求出集合根据补集与交集的定义写出【详解】全集；∴∴故答案为：【点睛】本题考查集合的运算解题是先解不等式确定集合然后再根据集合运算的定义计算 解析：{}|24x x <≤
【分析】
解不等式求出集合A 、B ，根据补集与交集的定义写出()U A C B ⋂. 【详解】
全集U =R ，{}1|
1|111A x x x x ⎧⎫⎪⎪
=<=->⎨⎬-⎪⎪⎩⎭
{}|02x x x =<>或； {}{}2|540|14B x x x x x x =-+>=<>或，
∴{}|14U C B x x =≤≤，
∴(){}|24U A C B x x =<≤.
故答案为：{}|24x x <≤.
【点睛】
本题考查集合的运算，解题是先解不等式确定集合,A B ，然后再根据集合运算的定义计算．
三、解答题
21．（1）A 产品的利润为1
()(0)2
f x x x =
≥，B 产品的利润为()0)g x x =≥；（2）A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时取得最大利润，最大利润为7万元． 【分析】
（1）由题设1()f x k x =，()g x k =
（2）列出企业利润的函数解析式2
1
()(10)10)y f x g x x x =+-=+≤≤换元法求得函数最值得解. 【详解】
（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元
由题设1()f x k x =，()g x k =， 由图知()21f =，故11
2
k =，又(4)4g =，∴22k =．
从而1
()(0)2
f x x x =
≥，()0)g x x =≥．
（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入10x -万元，设企业利润为y 万元
2
1
()(10)10)y f x g x x x =+-=
+≤≤
令t =21
(2)7(02
y t t =-
-+≤≤ 当2t =时，max 7y =，此时6x =． 【点睛】
函数最值问题中函数表达式中若含有根式，通常采用换元法求解函数最值. 22．（1）500名；（2）(0,5]. 【分析】
（1）求出剩下1000x -名员工创造的利润列不等式求解； （2）求出从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫
- ⎪⎝⎭
x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
x x 万元，列出不等关系，在（1）的条件下求出a 的范围． 【详解】
解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯， 即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤. 即最多调整500名员工从事第三产业.
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫
- ⎪⎝⎭x a x 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫
-+ ⎪⎝
⎭
x x 万元， 则311010(1000)1500500x a x x x ⎛⎫⎛
⎫-
-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以22
3110002500500
x ax x x x -+--.
所以2
21000500
++x ax x ，即210001500++x a
x 在(0,500]x ∈时恒成立. 因为
21000
224500x x
+=， 当且仅当21000
500x x
=，即500x =时等号成立，所以5a ≤， 又0a >，所以05a <≤.所以a 的取值范围为(0,5].
【点睛】
本题考查函数的应用，已知函数模型，直接根据函数模型列出不等式求解即可，考查了学
生的数学应用意识，运算求解能力．
23．（1）[)1,2-；（2）当1x =时，函数y 取最小值为1；当1x =-时，函数y 取最大值为10. 【分析】
（1）由题意结合对数函数的性质可得20360236x x x x ->⎧⎪
+>⎨⎪-≤+⎩
，解不等式组即可得解；
（2）由题意令11,224x t ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎦，则2
1412y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
，再结合二次函数的性质即可得
解. 【详解】 （1）
()()22log 2log 36x x -≤+，
∴20
360236x x x x ->⎧⎪
+>⎨⎪-≤+⎩
，解得12x -≤<， ∴不等式的解集为[)1,2-；
（2）当[)1,2x ∈-时，设11,224x
t ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
， 则函数2
221
12411114244424241222x x x x t t t y -⎛⎫
-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+=⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭=-+=-+ ⎝⎭⎪⎭
⎝⎭⎝，
∴当1
2
t =
即1x =时，函数y 取最小值为1； 当2t =即1x =-时，函数y 取最大值为2
1421102⎛⎫⨯-+= ⎪⎝
⎭. 【点睛】
本题考查了对数函数单调性的应用及对数不等式的求解，考查了指数函数的性质、二次函数的性质及换元法的应用，属于中档题.
24．[4,)+∞
【分析】
利用对数式的运算性质把给出的等式变形，去掉对数符号后利用基本不等式转化为关于(x +y )的二次不等式，求解后即可得到x +y 的取值范围. 【详解】
222log ()log log x y x y +=+，
x y xy ∴+=，0,0x y >>，
2
(
)2
x y x y xy +∴+=≤，当且仅当2x y ==时，等号成立。

解不等式得+4x y ≥或+0x y ≤（舍去）
【点睛】
本题主要考查了对数的运算性质，考查了基本不等式,数学转化思想, 一元二次不等式的解法，是中档题.
25．（1）在区间(,-∞的单调递增，在区间()
的单调递减；（2）
2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【分析】
（1）利用对勾函数的性质，直接写出结论即可；
（2）利用不等式恒成立的关系，把问题从()5f x ≥恒成立，
转化为对于任意的x N *
∈，21351
x ax x ++≥+恒成立，利用参变分离的方法，等价于
()85a x x x *⎛
⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N ，然后，根据对勾函数的性质进行求解即可
【详解】
解：（1）因为函数k
y x x
=+
()0k >在(单调递减，在)
+∞单调递增，
所以，当2k =时函数2
y x x
=+在(单调递减，在)
+∞单调递增．
易知函数2
y x x
=+为奇函数，
所以函数y x =+
在区间(,-∞的单调递增；
在区间()
的单调递减．
（2）由题意，对任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，
即对于任意的x N *
∈，213
51
x ax x ++≥+恒成立，
等价于()85a x x x *
⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N ．
设()()8
g x x x x
*=+
∈N ，
易知，当且仅当8
x x
=，即x =()g x 取得最小值，
由题设知，函数()g x 在(0,上单调递减，在()
+∞上单调递增．
又因为x N *∈，且()26g =，()1733g =
，而()()23g g >， 所以当3x =时，()min 173g x =
． 所以81725533x x ⎛
⎫-+≤-=- ⎪⎝⎭，即23
a ≥-， 故所求实数a 的取值范围是2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】 关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转化为证明
()85a x x x *⎛⎫≥-+∈ ⎪⎝
⎭N 恒成立，进而利用对勾函数性质求解，属于中档题 26．（1）[2,6],()(,6](7,)U A
B A
C B ==-∞+∞；（2）(,6][6,)a ∈-∞-+∞. 【分析】
（1）由集合的交、并、补的运算即可得解；
（2）由集合的包含关系可得：因为A
C A =，所以A C ⊆，再列不等式33a +≤-或
24a -≥，求解即可. 【详解】
解：（1）因为3a =，所以[1,6],A =又因为[2,7],B =所以(,2)(7,)U C B =-∞+∞， 故[2,6]A B =，()(,6](7,)U A C B =-∞+∞；
（2）因为A C A =，所以A C ⊆，
{}(4)(3)0(,3][4,)C x x x =-+≥=-∞-⋃+∞又 又集合{}23[2,3],A x a x a a a =-≤≤+=-+
所以33a +≤-或24a -≥，
即6a ≤-或6,a ≥
故实数a 的取值范围为(,6][6,)-∞-+∞.
【点睛】
本题考查了集合的交、并、补的运算，重点考查了集合的包含关系，属基础题.。