6重积分的换元法-DrHuang

.
f ( x, y, z)dxdydz
xyz
f (r cos ,r sin , z)rdrddz
r z


d
r2 ( ) rdr
z2(r, ) f (r cos , r sin , z)dz

r1 ( )
z1 (r , )
若变换T为球坐标:
r r cos
D f ( x, y)d x d y D f (r cos ,r sin ) r d r d
y x
例1 计算 e y xdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．
例2 求 ( x a)2 y2 dxdy,其中D {( x, y) | x2 y2 a2 }. D
D D {(r, ) 0 r 1 , 0 2 },
J ( x, y) abr.
(r, )

D
1
x2 a2

y2 b2
dxdy

D
1 r 2abrdrd 2 ab.
3
例6 试计算椭球体
的体积V.
解
取
D:
x2 a2

y2 b2
o
u
x y 2 v 2.
J

(x, y) (u, v )

1 2 1
1
2 1


1 2
,
22
故
y x
e y xdxdy
e
u v

1
dudv
Dபைடு நூலகம்
D
2
1
2
2
dv
0
u v
e v du

1
v
2
2(e e1 )vdv
0
e e1.
换元的目的之一是：化简被积函数
积分次序通常为 .
若的边界为包围原点在内的闭曲面 ( , ), 则
I

2
0
d

0
sin d
( ,
0
)F
(
,
,
)
2d
.
例9 求 dv,其中由z x2 y2 , z 1 ( x2 y2 )

2
x y 1, x y 1 围成.
x = sin cos y = sin sin z = cos
由
x y z
sin cos sin sin cos
( x, y, z) x y z cos cos cos sin sin
( , , )
ox
D {(r, ) | 0 r 2a cos , 3 }
2
2
原式 r rdrd D

3
2
d
2
2acos r 2dr 32 a3 .
0
9
例3 求 ( x2 y2 )dxdy,其中D为椭圆区域：x2 4 y2 1.
D
就会感到一筹莫展，而采用极坐标问题就迎刃而 解. 可见与定积分中一样，采用换元法也是计算 重积分强有力的方法.
下面我们介绍重积分中的换元积分法.
平面上同一个点，直角坐标与极坐标之间的关系为
x r cos ,

y

r
sin
.
此式可看成是从极坐标平面 ro
到直角坐标平面xoy 的一种变换.

1
du1
u

dv 2v
2
41

1
udu1
dv 2v
3 ln 2. 2
v 4
1
u
o1 2
三重积分换元法
定理 设f(x,y,z)在有界闭区域xyz闭上可积，若变换 T : x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)将 uvw 空间中的有界闭区域 uvw 变成 xyz 空间中的有界闭 区域xyz , 且满足
且满足 (1) x(u, v), y(u, v) 在 D 上具有一阶连续偏导数 ； (2) 在 D 上雅可比式 J (u, v) (x, y) 0;
(u, v)
(3) T : D D 是1 1的, 有则有
f (x, y)dxdy f [x(u,v), y(u,v)]J(u,v) dudv.

=r
r sin r cos
所以, f ( x, y, z)dxdydz xyz
f (r cos ,r sin , z)rdrddz r z
一般将 r z 表为: z1(r, ) z z2 (r , ),
r1( ) r r2( ),
1) x=x(u, v, w), y= y(u, v, w), z=z(u, v, w)C1(uvw)
x x x
u v w
2) J (u, v, w) ( x, y, z) y
(u, v, w) u
y v
y w
0, (u, v, w)uvw
z z z
例2 求 ( x a)2 y2 dxdy,其中D {( x, y) | x2 y2 a2 }. D
解
令
x y

a r cos r sin
D
J (r, ) cos
r sin
r
r 2a cos y
sin r cos
边界曲线方程变为: r 2acos 0
(r 2
D
cos2

1r2 4
sin2
) 1 rdrd
2
1
2
d
11 (

3
cos2

)r 3dr

5 .
20
04 4
32
例4
求椭圆
x2 y2 a2 b2
1 所围成的区域的面积.
解 x au, y bv
将题中椭圆变为uv面上的圆: u2 + v2 =1
注 意 ： 若 J (u, v )不 易 算 ,可 用 J (u, v )
(x, y) (u,v)
1 (u, v )
.
(x, y)
例如, 直角坐标转化为极坐标时, x r cos , y r sin
J (x, y) cos (r, ) sin
r sin
yx
I
1
dx
2 x e y x dy 计算积分难！
0
0
x y2 D
解 令 u y x, v y x,
o
x
则 x vu, y vu.
2
2
即 x 0 u v;
D D, y 0 u v;
v
v2
u v D u v
u v w
3) 该变换T： uvw xyz是一一映射，则有
f ( x, y, z)dxdydz
xyz
f ( x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) | J(u, v, w) | dudvdw uvw
x = r cos
若变换T为柱坐标： y = r sin
例10 试计算椭球体
的体积V.
例11 计算 I x2dxdydz, 其中是由曲面 z ay2 , z by2( y 0, 0 a b), z x, z x
(0 ), z h(h 0)所围成的区域.
例12 计算曲面 ( x2 y2 z2 )2 a3z(a 0)
x y z sin sin sin cos
0

2 sin sin2 2 sin cos2 2 sin
所以 I f (x, y, z)dxdydz xyz
f ( sin cos , sin sin , cos ) 2 sinddd

1,
由对称性
x2 y2
V 2c
D
1 a2 b2 d xd y
由例5知
V 2c D
1
x2 a2

y2 b2
dxdy
4 abc.
3
例7 计算由
所围成的闭区域 D 的面积 S.
若不用换元法，需将D分成三块进行积分，计算较繁
解
y2
x2
D {(x, y) | p q,a b}
D
解
令
x y

r cos 1 r sin
2
cos 则J (r, ) 1 sin
2
r sin 1 r cos
2

1r 2
边界曲线方程变为: r 1
换元的目的之二是： 化简积分区域
D {(r, ) | 0 r 1,0 2 }
原式

即对于 ro 平面上的一点M (r, )，通过上式
变换，变成xoy 平面上的一点M (x, y)，且这种 变换是一对一的。
定理 设 f (x, y) 在 xoy 平面上的闭区域 D 上连续，
变换T : x x(u, v), y y(u, v)
将uov平面上的闭区域 D'变换成xoy平面上的 D,
高等数学A
第7章 多元函数积分学
7.1 重积分
7.1.4 重积分的换元法
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
7.1 重积分
7.1.4 重积分的换元法
二重积分的换元法
重 积
习例1-8
分
的
三重积分的换元法
换
元
习例9-12
法
小结与练习解答
二重积分的换元法
在直角坐标系下，我们遇到二重积分
ex2 y2 dxdy
u
(x, y) (u, v)


(u, v) 1
(
x,
y)



x v

x

1 .

x
2 y 2v
u 1
y v y

y



y x2
x 1
1 x

故
1

D
xydxdy


D*
u

dudv 2v
2
41
例3 求 ( x2 y2 )dxdy,其中D为椭圆区域：x2 4 y2 1.
D
例4 求椭圆
x2 a2

y2 b2
1 所围成的区域的面积.
例5 计算 D
1
x2 a2

y2 b2
dxdy
,
其中
D
为椭圆
x2 a2

y2 b2
1
所围成的闭区域.
例6 试计算椭球体
的体积V.
例7 计算由
q
du
b
dv

1
(q

p)(b

a).
D
3p a
3
例8 计算 xydxdy,其中D为由曲线xy 1, xy 2, y x,
D
y 4x(x 0, y 0)所围成的区域
解
作变换 T : u
xy, v
y x
,
则
1

u

2,1

v

4,
即,
D {(u, v) | 1 u 2,1 v 4},
所围成的闭区域 D 的面积 S.
例8 计算 xydxdy,其中D为由曲线xy 1, xy 2, y x,
D
y 4x(x 0, y 0)所围成的区域
y x
例1 计算 e y xdxdy, 其中 D 由 x 轴、y轴和直
D
线 x y 2 所围成的闭区域．
分析：此题若对被积函数直接化为累次积分， y
x
y
令
u
y2 x
,v

x2 y
,
则
D
:

p a

uq vb
x2 by
y
y2 qx
D
x2 ay y2 px
J

( x, y) (u, v )

1 (u, v )
1 3
( x, y)
o
x
D
S Dd xd y
p

J dudv 1
(x, y) a (u, v) 0
0 b = ab
所求面积
dxdy abdudv ab.
Dxy
Duv
例5 计算 D
1
x2 a2

y2 b2
dxdy,
其中
D
为椭圆
x2 a2

y2 b2
1
所围成的闭区域.
解
作广义极坐标变换

x y

ar br
cos , sin ,
z=z
其中 0 r , 0 2 , z .
x y z
r ( x, y, z) x
(r, , z)
r y

r z
cos
sin 0
r sin r cos 0
x y z
0
01
z z z
cos sin
D
D'
说明: (1)如果Jacobi行列式J (u, v)只在D内个别 点上或一条曲线上为零, 而在其他点上不为 零, 则上述换元公式仍成立. (2)换元形式的选择, 可根据 积分区域D或被积函数f (x, y)选择, 使换元后的积分区域D不分块, 换 元后的被积函数f (x, y)易于积出.