专题四 巧用图形的对称解决几何问题 2020年中考数冲刺几何难点突破 专题汇编()

2020年中考数冲刺几何难点突破专题汇编
专题四巧用图形的对称解决几何问题
【专题说明】
如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．
轴对称与轴对称图形的区别与联系：
区别：
(1)轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形而言；
(2)轴对称描述的是两个图形的位置关系，而轴对称图形是一个图形具有的特殊形状；
(3)轴对称图形反映的是这个图形自身的对称性，它至少有一条对称轴．
联系：
(1)都有沿某条直线折叠后重合这一条件，这条直线称为对称轴；
(2)一个轴对称图形被对称轴分成成轴对称的两个图形；反之，如果将成轴对称的两个图形看作一个整体时，就成为一个轴对称图形．
【精典例题】
1、如图，在△ABC中，△C＝90°，△ABC的平分线BD交AC于点D，CD＝5 cm，求点D到直线AB的距离．
△ABD△ACD
（1）如图（1），若∠BAC＝30°，
①求∠B'AC'的度数；
②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；
（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）①∵C，C′关于AB对称，B，B′关于AC对称，∴∠CAB＝∠BAC′＝∠CAB′＝30°，
∴∠B′AC′＝90°．
②如图（1）中，设AC交BB′于J．
△ABC'可以由△AB'C绕点A顺时针旋转60°得到．
∵AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′＝60°，
∴∠AB′A＝∠ACO＝60°，
∵∠AJB′＝∠OJC，
∴∠B′OC＝∠B′AJ＝30°．
（2）如图（2）中，结论：β＝2α．
理由：由对称的性质可知：BC＝BC′，DC′＝DC，∠ABC′＝∠ABC，∵DC′∥BC，
∴∠C′DB＝∠ABC＝∠C′BD，
∴C′D＝C′B，
∴BC＝BC′＝C′D＝DC，
∴四边形BCDC′是菱形，
∴CD∥BC′，同法可证，BE∥CB′，
4、如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一
个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
解：（1）∵AB＝AC，
（2）∵CE⊥AB，
∴•BC•AD＝•AB•CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
5、如图1，在△ABC中，AB＝BC＝10，高AH＝8．D是线段AC的动点，射线BD交AH于E点．
（1）若D恰好是AC的中点．
①求证：AC＝BD；②求线段AE的长；
（2）如图2，作AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，求AM+CN的最大值和最小值．
解：（1）①∵在△ABC中，AB＝BC＝10，高AH＝8．∴Rt△ABH中，BH＝＝6，
∴CH＝4，
∴Rt△ACH中，AC＝＝4，
∵AB＝BC，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴Rt△BCD中，BD＝＝4，
∴AC＝BD；
②如图，过E作EF⊥AB于F，则易得△BEF≌△BHF，
∴BF＝BH＝6，设EF＝EH＝x，
在Rt△AEF中，42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴AE＝8﹣3＝5；
（2）∵S△ABD+S△CBD＝S△ABC，
∴BD•AM+BD•CN＝×10×8，
∴AM+CN＝，
根据垂线段最短，可得BD的最小值为4，
∴AM+CN的最大值为4，
、在中，＝，点是直线上一点（不与、重合），以为一边在的右侧作，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，
①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；
②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；
（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．
解：（1）①∠BCE+∠BAC＝180°；
②如图1
∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝EC，
∵四边形ADCE的周长＝AD+DC+CE+AE＝AD+DC+BD+AE＝BC+2AD，
∴当AD最短时，四边形ADCE的周长最小，即AD⊥BC时，周长最小；
∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝1；
（2）∠BCE+∠BAC＝180°；
理由如下：如图2，
AD与CE交于F点，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠AFE＝∠CFD，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵∠BAC＝∠FAE，∠BCE+∠ECD＝180°，
∴∠BCE+∠BAC＝180°；
7、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点P、点E分别是边AB、BC上的动点，连结DP、PE．将△ADP
与△BPE分别沿DP与PE折叠，点A与点B分别落在点A′，B′处．
（1）当点P运动到边AB的中点处时，点A′与点B′重合于点F处，过点C作CK⊥EF于K，求CK的长；
（2）当点P运动到某一时刻，若P，A'，B'三点恰好在同一直线上，且A'B'＝4，试求此时AP的长．
解：（1）如图1，∵四边形ABCD为矩形，将△ADP与△BPE分别沿DP与PE折叠，∴∠PFD＝∠PFE＝90°，
∴∠PFD+∠PFE＝180°，即E，F，D三点在同一直线上，
设BE＝EF＝x，则EC＝6﹣x，
∵DC＝AB＝8，DF＝AD＝6，
∴在Rt△DEC中，DE＝DF+FE＝6+x，EC＝6﹣x，DC＝8，
∴（6+x）2＝（6﹣x）2+82，
解得x＝，
即BE＝EF＝，
∴DE＝，EC＝，
∵S△DCE＝•DC•CE＝⋅DE⋅CK，
∴CK＝．
（2）分两种情况：
①如图2中，设AP＝x，则PB＝8﹣x，
由折叠可知：PA′＝PA＝x，PB′＝PB＝8﹣x，
2020-2021中考复习资料整理∵A′B′＝4，
∴8﹣x﹣x＝4，
∴x＝2，
即AP＝2．
②如图3中，
∵A′B′＝4，
∴x﹣（8﹣x）＝4，
∴x＝6，
即AP＝6．
综上所述，PA的长为2或6．
决战中考金榜题名11。