[经济学]第四章 BCH码

4.5 BCH码的译码
se1 se12 ...... s1e se1
se11
se2
...... ......
s2e
se2
BCH码译码的一般原理 s2e11 s2e2 2 ... see s2e
由于BCH码是循环码的一个子类，因此BCH 码的编码可采用与循环码同样的方法。 编码方程 实际应用中，通常采用系统码形式。 其编码方程为： C(x)=xn-km(x)+[xn-km(x)]Mod g(x)
4.4 BCH码的编码
编码电路
实际应用的BCH码通常为高码率码 实现中采用n-k级编码电路
门 1~k
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
因此求解错误位置的问题转化成为解线性方程 组的问题。
求出系数σK得到错误位置多项式σ(x) ； 再求σ(x)的根x； 根据x=xk-1，求出xk 由xk=βLk，得到Lk，即知道错误发生的位置
EC~
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
因此求解错误位置的问题转化成为解线性方程组的
si = R(β i)
s6=(s3)2=(α7)2= α14
se1 se12 ...... s1e se1
4.5 BCH码的译码
se11
se2
...... ......
s2e
se2
BCH码译码的一般原理s2e11 s2e2 2 ... see s2e
Peterson译码举例：
根据求得的伴随式构造方程组：
d=2t+1 C(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+…+c1x+c0 R(x)=rn-1xn-1+rn-2xn-2+…+r1x伴+随r式0译码步骤 E(x)=en-1xn-1+en-2xn-2+…1+) e根1据xR+(xe)计0算伴随式S；
2)S->E(x)；
传输中产生e (e ≦ t)个错误 3) C~(x)=R(x)+E(x) 那么：E(x)=xL1+xL2+…+xLe
s2e-1 s2e-2
se1 se12 ...... s1e se1
se11 se2 ...... s2e se2
......
s2e11 s2e2 2 ... see s2e
... s1 ... s2
...
...
se
其sj+中e+：σe1s=j+e1-1,2+,……+,tσesj=0 j=1,2,…,e
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理 通过求解方程组得到错误位置多项式： σ(x)=1+σ1x+σ2x2+…+σexe σ(x)的根xk-1即代表错误位置(xk=βLk)
采用试根法求解错误位置多项式σ(x)的根： σ(x)一共有e个根，可能值为β,β2,…,βn
将β,β2,…,βn分别代入σ(x)，如果σ(βi)=0， 那么βi为σ(x)的根，即：xk=(βi)-1=βLk
σ(x)=1+ α12 x+ α13 x2
σ(x)有两个根，试根得两个根为：
x1-1= α12 x2-1= α5
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理 Peterson译码举例： 所以有：x1=(α12)-1= α3 ，
x2=(α5)-1= α10 于是：E(x)=x3+x10 那么：C~(x)=R(x)+E(x)=0 即：R(x)的估值码字为全零码字
由ST=HET可得：
E(x)=xL1+xL2+…+xLe
si=(βi)L1+(βi)L2+…+(βi)Le
=(βL1)i +(βL2)i +…+(βLe)i
i=1,2,…,2t
令：xj=βLj表示错误位置，j=1,2,…,e
那么：si =(x1)i +(x2)i +…+(xe)i
可得到含有e个未知数、2t个方程的高次方程
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
于是可得到：E(x)=xL1+xL2+…+xLe
那么接收多项式R(x)的估值码字为：
C~(x)=R(x)+E(x)
上述译码原理1960年由Peterson提出，因此称为 Peterson译码原理。
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
Peterson译码举例： (15,5,7)二元BCH码以α, α3, α5为根，
Peterson译码举例： 可见实际错误个数e<t=3
将方程组降阶：
s3 s4
s21 s32
ss45
00
4.5 BCH码的译码
11 αα
α2 α2
BCH码译码的一般原理
α3 α4
α3 α+1
Peterson译码举例： α5 α2+α 计算系数矩阵M的行列式α的6 值α3+：α2
α7 α3+α+1 α8 α2+1 α9 α3+α α10 α2+α+1 α11 α3+α2+α α12 α3+α2+α+1 α13 α3+α2+1 α14 α3+1
编码电路实际应用的bch码通常为高码率码实现中采用nk级编码电路44bch码的编码07122020第四章bch码41bch4243bch44bch45bch0712202045bch码的译码bch码是循环码可以采用循环码译码方法但是当纠错能力t增大循环码译码器的复杂性迅速增n63n1没有考虑循环移位特性需识别的错误图样个数n2考虑循环移位特性需识别的错误图样个数632016417276373926319543977445bch码的译码bch码是循环码可以采用循环码译码方法但是当纠错能力t增大循环码译码器的复杂性迅速增1960年彼得森peterson提出了二元bch码译码
问题。
se1 se12 ...... s1e se1
se11 se2 ...... s2e se2
......
s2e11 s2e2 2 ... see s2e
[定理]：设sj (j=1,2,…,2t)是设计纠错能力为t的二元 BCH码接收码字r(x)的伴随式，如果r(x)的错误个数等 于e，那么方程组有唯一解，即系数矩阵为非奇异矩 阵；如果错误个数小于e，那么方程组的系数矩阵为
σ1, σ2 ,…,σe)，然后求σ(x)的根 将x=xk-1代入σ(x)得：
1+ σ1xk-1+σ2xk-2+…+σexk-e=0
4.5 BCH码的1+译σ1码xk-1+σ2xk-2+…+σexk-e=0
BCH码译码的一般原理
方程两边乘以xke+j j=1,2,…,e xke+j +σ1xke+j-1+σ2xke+j-2+…+σexkj=0
该方程对k=1,2,…,e均成立 将上述方程对k求和，并对照：
e
si x1i x2 i ...xei xki
k1
可得：sj+e+σ1sj+e-1+…+σesj=0 其中：j=1,2,…,e
se se-1
4.5
BCH码的译码
系数矩 阵Me
xe
se1
se
BCH码译码的一般原理
将e个方程写成方程组形式为：
接收矢量R(x)=x10+x3，求估值码字C~(x)。 这里α是p(x)=x4+x+1的根。
首先计算伴随式： s i = R(β i)
4.5 BCH码的译码
扩域GF(24)及非零元素的阶：
元素 多项式 阶
元素 多项式
阶
00
α7 α3+α+1 15
11
1
α8 α2+1
15
αα
15
α9 α3+α
5
α2 α2
x22t
...
xe2t
s2
t
我们的目的是求解e个错误位置x1,x2,…,xe 但直接求解该高次方程组是极其困难的
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
为此我们引入错误位置多项式σ(x)： σ(x)=(1-x1x)(1-x2x)…(1-xex) =1+σ1x+σ2x2+…+σexe
x=xk-1 (k=1,2,…,e) 为σ(x)的根 因此求错误位置转化为求σ(x)的根,先求σ(x)(即求
se se-1 ... s1
4.5 BCH码的译码
系数矩 阵Mexese1
se
... s2 ...
BCH码译码的一般原理
s2e-1
s2e-2
...
se
方程组的求解：
由于错误个数e是未知的，可先假设e=t
①计算系数矩阵Mexe的行列式值|Mexe|
②如果|Mexe|=0，方程组降阶(e=e-1)并 转第①步；如果|Mexe|≠0，那么解方程组 求得错误位置多项式的系数σ1,σ2,…,σe (e为实际错误个数)
t
1
2
3
4
N1
63
2016
41727 637392
N2
1
63
1954
39774
n=63
N1没有考虑循环移位特性需识别的错误图样个数
N2考虑循环移位特性需识别的错误图样个数 N2
N 1
t
i1
ni 11
t i 1
n i
4.5 BCH码的译码
BCH码是循环码，可以采用循环码译码方法，但 是当纠错能力t增大，循环码译码器的复杂性迅速 增加；
M s3
s2
7
9
s4 s3 3 7
计算得：|M| = α 5 ≠ 0
4.5 BCH码的译码
s3 s4
s21 s32
ss45
BCH码译码的一般原理
Peterson译码举例：
因此，方程组有唯一解，解得：
σ1= α12 σ2= α13
那么错误位置多项式为：
s1= α12 s2= α9 s3= α7 s4= α3 s5= α10 s6= α14
设e=t=3
s3 s2 s11 s4
s4
s3
s22
s5
s5 s4 s33 s6
00
4.5 BCH码的译码
11 αα
α2 α2
BCH码译码的一般原理
α3 α4
α3 α+1
Peterson译码举例： α5 α2+α 计算系数矩阵M的行列式α的6 值α3+：α2
α7 α3+α+1 α8 α2+1 α9 α3+α α10 α2+α+1 α11 α3+α2+α α12 α3+α2+α+1 α13 α3+α2+1 α14 α3+1
s1 n1
4.5 BCH码的译码 s22(n1) ... ...
s2t
2t(n1)
BCH码译码的一般原理
n2 2(n2)
...
2t(n2)
... 1en1 ... 2 1en2
... ... ... ...
... 2t
1
e0
2)、求解错误位置(L1,L2,…,Le) 只有L1,L2,…,Le位置为1
[经济学]第四章 BCH码
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域根底 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
4.4 BCH码的编码
g1 …
gr-1
D
D… D
k+1~n C(x)
m(x) 1~k
第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域根底 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
4.5 BCH码的译码
BCH码是循环码，可以采用循环码译码方法，但 是当纠错能力t增大，循环码译码器的复杂性迅速 增加
1960年，彼得森(Peterson)提出了二元BCH码译码； 不久戈伦斯坦(Gorenstien)和齐尔勒(Zierler)将其推 广到多进制情况；
1968年，伯利坎普(Berlekamp)首次提出了迭代译 码算法；
1975年，提出了欧几里德法译码等。
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理 假设： (n,k,d)BCH码以β,β2,…,β2t为根，
s3 s2 s1 7 9 12 M s4 s3 s2 3 7 9
s5 s4 s3 10 3 7
计算得：|M| = 0
4.5 BCH码的译码
se1 se12 ...... s1e se1
se11 se2 ...... s2e se2
......
BCH码译码的一般原理 s2e11 s2e2 2 ... see s2e
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
1)、计算伴随式：ST=HET=HRT
s1 n1
s22(n1)
... ...
s2t
2t(n1)
n2 2(n2)
...
2t(n2)
... 1rn1 ... 2 1rn2
... ... ......
... 2t
1
r0
那么：si = R(β i) i=1,2,…2t
4.5 BCH码的译码
xj=βLj Lj表示错误位置， j=1,2,…,e
BCH码译码的一般原理
si =(x1)i +(x2)i +…+(xe)i ,i=1,2,…2t
x1 x2 ... xe s1
x12
x22
...
xe2
s2
... ... ... ... ...
x12t
15
α10 α2+α+1
3
α3 α3
5
α11 α3+α2+α 15
α4 α+1 15
α12 α3+α2+α+1 5
α5 α2+α 3 α6 α3+α2 5
α13 α3+α2+1 15
α14 α3+1
15
00
α7 α3+α+1
4.5 BCH码的译码
11 αα
α8 α2+1 α9 α3+α
α2 α2
α10 α2+α+1
BCH码译码的一般原理α α34
α3 α+1
α11 α3+α2+α α12 α3+α2+α+1ຫໍສະໝຸດ Peterson译码举例：
α5 α6
α2+α α3+α2
s1= α10+ α3= α12
α13 α3+α2+1 α14 α3+1
s2=(s1)2=(α12)2= α9
s3= α30+ α9= α7