2019版一轮优化探究文数(苏教版)练习：第九章 第四节 圆的方程

一、填空题
1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________．
解析：解法一(直接法) 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.
解法二(数形结合法) 作图，根据点(1,2)到y 轴的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：x 2＋(y －2)2＝1
2．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 等于________． 解析：由a 2＝a ＋2得a ＝－1或2， 又当a ＝2时，
4x 2＋4y 2＋4x ＋2＝0不表示任何图形， 故a ＝－1. 答案：－1
3．已知点A (4,9)，B (6,3)，则以AB 为直径的圆的标准方程为________． 解析：由题意可知圆心为(5,6)，
半径r ＝12|AB |＝1
2(6－4)2＋(3－9)2＝10， 故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 答案：(x －5)2＋(y －6)2＝10
4．已知圆的方程为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25. (1)若该圆过原点，则m 的值为________；
(2)若点P (m,0)在圆内，则m 的取值范围为________． 解析：(1)由题意可知点(0,0)满足(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25， 即5m 2＝25，解得m ＝±5.
(2)由题意可知(m －2m )2＋(0＋m )2<25， 即2m 2<25， 解得－522<m <522.
答案：(1)±5 (2)－522<m <52
2
5．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
解析：l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到l 的距离d ＝|3|2＝3
2，
∴AB 边上的高的最小值为
3
2
－1， ∴S △min ＝12×22×(3
2－1)＝3－ 2.
答案：3－ 2
6．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为
__________________________________________________________________. 解析：由题意得C 1(－1,1)，圆心C 2与C 1关于直线x －y －1＝0对称，且半径相等，则C 2(2，－2)，所以圆C 2的方程为 (x －2)2＋(y ＋2)2＝1. 答案：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1
7．圆心在直线2x －3y －1＝0上的圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，则圆的方程为________．
解析：所求圆与x 轴交于A (1,0)，B (3,0)两点，故线段AB 的垂直平分线x ＝2过所求圆的圆心，又所求圆的圆心在直线2x －3y －1＝0上，所以两直线的交点坐标即为所求圆的圆心坐标，解之得(2,1)，进一步可求得半径为2，所以圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝2
8．直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．
解析：直线过点A (b ，a )，∴ab ＝1
2， 圆面积S ＝πr 2＝π(a 2＋b 2)≥2πab ＝π. 答案：π
9．以点A (－3,0)，B (0，－3)，C (157，24
7) 为顶点的三角形与圆x 2＋y 2＝R 2(R >0)没有公共点，则圆半径R 的取值范围是________．
解析：如图，若圆与△ABC 没有公共点，需考虑两种情况：
①圆在三角形内部；②圆在三角形外部．当圆在三角形内部时，圆与BC 边相切时，半径最大为310
10；当圆在三角形外部时，圆过点C 时半径最小为389
7. 答案：(0，31010)∪(389
7，＋∞) 二、解答题
10．若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，求实数a 的取值范围，并求出半径最小的圆的方程．
解析：∵方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆， ∴a ≠0.
∴方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0可以写成 x 2＋y 2－4(a －1)a x ＋4
a y ＝0.
∵D 2
＋E 2
－4F ＝16(a 2－2a ＋2)
a 2
>0恒成立，
∴a ≠0时，方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆． 设圆的半径为r ，则
r 2
＝4(a 2－2a ＋2)a 2
＝2[4(1a －12)2＋1]，
∴当1a ＝1
2，即a ＝2时，圆的半径最小， 半径最小的圆的方程为 (x －1)2＋(y ＋1)2＝2.
11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O . (1)求圆C 的方程；
(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直， 知OC 的斜率k OC ＝b
a ＝－1，故
b ＝－a ， 则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22， 可解得⎩⎨⎧ a ＝－2b ＝2或⎩⎨⎧
a ＝2
b ＝－2
， 结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎨⎧
a ＝－2
b ＝2.
故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2)假设存在Q (m ，n )符合题意，
则⎩⎨⎧
(m －4)2＋n 2＝42，
m 2＋n 2
≠0，
(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝45，n ＝12
5.
故圆C 上存在异于原点的点Q (45，12
5)符合题意．
12．已知圆M 过两点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心M 在x ＋y －2＝0上． (1)求圆M 的方程；
(2)设P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆M 的两条切线，A 、B 为切点，求四边形P AMB 面积的最小值．
解析：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，
根据题意得： ⎩⎨⎧
(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2
(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2
，
a ＋
b －2＝0
解得：a ＝b ＝1，r ＝2，
故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形P AMB 的面积为 S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋1
2|BM ||PB |. 又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |， 所以S ＝2|P A |，
而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4，
即S＝2|PM|2－4.
因此要求S的最小值，只需要|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|min＝|3×1＋4×1＋8|
32＋42
＝3，
所以四边形P AMB面积的最小值为S＝2|PM|2min－4＝232－4＝2 5.。