高考数学第一轮复习 集合与简易逻辑试题

智才艺州攀枝花市创界学校2021年高考数学第一轮复习集合与简易逻辑
一、知识构造
二、考点目的定位
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；理解属于、包含、相等关系的意义.
2.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.
“或者〞“且〞“
4.学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合的问题，形成良好的思维品质.
三、复习方略指南
本章内容在高考中以考察空集与全集的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的交、并、补运算为重点，以上内容又以集合的运算为重点考察内容.逻辑联结词与充要条件这局部，以充要条件为重点考察内容.
本章内容概念性强，考题大都为容易的选择题，因此复习中应注意：
1.复习集合，可以从两个方面入手，一方面是集合的概念之间的区别与联络，另一方面是对集合知识的应用.
2.主要是把握集合与元素、集合与集合之间的关系，弄清有关的术语和符号，特别是对集合中的元素的属性要分清楚.
“或者〞“且〞“非〞与集合中的“并〞“交〞“补〞是相关的，二者互相对照可加深对双方的认识和理解.
4.复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题到达理解、掌握逻辑知识的目的.
5.集合多与函数、方程、不等式有关，要注意知识的融会贯穿.
一、集合的概念与运算
知识梳理
2.元素与集合、集合与集合之间的关系
〔1〕元素与集合：“∈〞或者“∉〞.
〔2〕集合与集合之间的关系：包含关系、相等关系.
〔1〕交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
〔2〕并集：由所有属于集合A或者属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记为A ∪B，即A∪B={x|x∈A或者x∈B}.
〔3〕补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集〔即A⊆S〕，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做子集A在全集S中的补集〔或者余集〕，记为S A，即S A={x|x∈S且x∉A}.
点击双基
1.集合M={x|x2＜4}，N={x|x2－2x－3＜0}，那么集合M∩N等于
A.{x|x＜－2}
B.{x|x＞3}
C.{x|－1＜x＜2}
D.{x|2＜x＜3}
解析：M={x|x2＜4}={x|－2＜x＜2}，N={x|x2－2x－3＜0}={x|－1＜x＜3}，结合数轴，
∴M∩N={x|－1＜x＜2}.
答案：C
A={x∈R|x＜5－2}，B={1，2，3，4}，那么〔R A〕∩B等于
A.{1，2，3，4}
B.{2，3，4}
C.{3，4}
D.{4}
解析：R A={x∈R|x≥5－2}，而5－2∈〔3，4〕，∴〔R A〕∩B={4}.
答案：D
P={1，2，3，4，5，6}，Q={x∈R|2≤x≤6}，那么以下结论正确的选项是
A.P∩Q=P
B.P∩Q Q
C.P∪Q=Q
D.P∩Q P
解析：P∩Q={2，3，4，5，6}，∴P∩Q P.
答案：D
U是全集，非空集合P、Q满足P Q U，假设求含P、Q的一个集合运算表达式，使运算结果为空集∅，那么这个运算表达式可以是_______________.
解析：构造满足条件的集合，实例论证.
U=｛1，2，3｝，P=｛1｝，Q=｛1，2｝，那么〔U Q〕=｛3｝，〔U P〕={2，3}，易见〔U Q〕∩P=∅.
答案：〔U Q〕∩P
A＝｛0，1｝，B＝｛x｜x∈A，x∈Ｎ*｝，C＝｛x｜x⊆A｝，那么A、B、C之间的关系是___________________.
解析：用列举法表示出B＝｛1｝，C＝｛∅，｛1｝，｛0｝，AA、B、C是不同层次的集合，C以A的子集为元素，同一层次的集合可有包含关系，不同层次的集合之间只能是附属关系.
答案：B A，A∈C，B∈C
典例剖析
【例1】函数f 〔x 〕=⎩⎨
⎧∈-∈,
,
M x x
P x x 其中P 、M 为实数集R 的两个非空子集，又规定f 〔P 〕={y |y =f 〔x 〕，x
∈P }，f 〔M 〕={y |y =f 〔x 〕，x ∈M }.给出以下四个判断，其中正确判断有
①假设P ∩M =∅，那么f 〔P 〕∩f 〔M 〕=∅②假设P ∩M ≠∅，那么f 〔P 〕∩f 〔M 〕≠∅③假设P ∪
M =R ，那么f 〔P 〕∪f 〔M 〕=R ④假设P ∪M ≠R ，那么f 〔P 〕∪f 〔M 〕≠R
剖析：由题意知函数f 〔P 〕、f 〔M 〕的图象如以下列图所示.
设P =［x 2，+∞〕，M =〔－∞，x 1］，∵|x 2|＜|x 1|，f 〔P 〕=［f 〔x 2〕，+∞〕，f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕，那么P ∩M =∅.
而f 〔P 〕∩f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕≠∅，故①②P =［x 1，+∞〕，M =〔－∞，x 2］，∵|x 2|＜|x 1|，那么P ∪M =R .
f 〔P 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕，f 〔M 〕=［f 〔x 2〕，+∞〕， f 〔P 〕∪f 〔M 〕=［f 〔x 1〕，+∞〕≠R ，故③④正确.
答案：B
【例2】A ={x |x 3
＋3x 2
＋2x ＞0}，B ={x |x 2
＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x ＞－2｝，求a 、b 的值.
解：A ={x |－2＜x ＜－1或者x ＞0}，
设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =〔0，2］知x 2＝2，且－1≤x 1≤0，
①由A ∪B =
〔－2，+∞〕知－2≤x 1≤－1.
②由①②知x 1＝－1，x 2＝2，
∴a ＝－〔x 1＋x 2〕＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.
评述：此题应熟悉集合的交与并的涵义，纯熟掌握在数轴上表示区间〔集合〕的交与并的方法.
【例3】记函数f 〔x 〕=
1
3
2++-
x x 的定义域为A ，g 〔x 〕=lg ［〔x －a －1〕〔2a －x 〕］〔a ＜1＝的定义域为B . 〔1〕求A ；
〔2〕假设B ⊆A ，务实数a 的取值范围.
提示：〔1〕由2－
1
3
++x x ≥0，得11+-x x ≥0，
∴x ＜－1或者x ≥1，即A =〔－∞，－1〕∪［1，+∞］ 〔2〕由〔x －a －1〕〔2a －x 〕＞0，得〔x －a －1〕〔x －2a 〕＜0. ∵a ＜1，∴a +1＞2a .∴B =〔2a ，a +1〕. ∵B ⊆A ，∴2a ≥1或者a +1≤－1，即a ≥2
1
或者a ≤－2. 而a ＜1，∴
2
1
≤a ＜1或者a ≤－2. 故当B ⊆A 时，实数a 的取值范围是〔－∞，－2〕∪［
2
1
，1］. 【例4】设集合P={m|－1＜m ≤0}，Q={m ∈R |mx 2
+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，那么以下关系中成立的是
Q
P
C.P=Q
∩Q=Q
剖析：Q ={m ∈R |mx 2
+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}， 对m 分类：①m =0时，－4＜0恒成立；
②m ＜0时，需Δ=〔4m 〕2
－4×m ×〔－4〕＜0，解得m ＜0.
综合①②知m ≤0，∴Q ={m ∈R |m ≤0}. 答案：A
评述：此题容易忽略对m =0的讨论，应引起大家足够的重视.
【例5】集合A ={〔x ，y 〕|x 2
+mx －y +2=0}，B ={〔x ，y 〕|x －y +1=0，0≤x ≤2}，假设A ∩B ≠∅，务实数m 的
取值范围.
剖析：假设目光总是停留在集合这一狭窄的知识范围内，此题的思维方法是很难找到的.事实上，集合符号在此题中只起了一种“化装品〞的作用，它的实际背景是“抛物线x 2
+mx －y +2=0与线段x －y +1=0〔0≤x ≤2〕有公一共点，务实数m 的取值范围〞.这种数学符号与数学语言的互译，是考生必须具备的一种数学素质.
解：由⎩⎨⎧≤≤=+-=+-+),
20(01,022x y x y mx x 得
x 2+〔m －1〕x +1=0.
①
∵A ∩B ≠∅，∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解. 首先，由Δ=〔m －1〕2
－4≥0，得m ≥3或者m ≤－1.
当m ≥3时，由x 1+x 2=－〔m －1〕＜0及x 1x 2=1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m ≤－1时，由x 1+x 2=－〔m －1〕＞0及x 1x 2=1＞0知，方程①有两个互为倒数的正根.故必有一根在区间〔0，1］内，从而方程①至少有一个根在区间［0，2］内.
综上所述，所求m 的取值范围是〔－∞，－1〕.
x 2+mx －y +2=0与线段x －y +1=0〔0≤x ≤2〕的公一共点在线段上，此题也可以利用公一共点内分线段的
比λ的取值范围建立关于m 的不等式来解.
【例6】设m ∈R ，A ={〔x ，y 〕|y =－
3x +m }，B ={〔x ，y 〕|x =cos θ，y =sin θ，0＜θ＜2π＝，且A ∩B ={〔cos
θ1，sin θ1〕，〔cos θ2，sin θ2〕}〔θ1≠θ2〕，求m 的取值范围.
提示：根据题意，直线y =－
3x +m 与圆x 2+y 2=1〔x ≠1〕交于两点， 2
2
)
3(1||-+m ＜1且0≠－
3×1+m .
∴－2＜m ＜2且m ≠
3.
答案：－2＜m ＜2且m ≠
3.
【例7】设M 、N 是两个非空集合，定义M 与N 的差集为M －N ={x |x ∈M 且x ∉N }，那么M －〔M －N 〕等于
A.N
B.M ∩N
C.M ∪N
D.M
解析：M －N ={x |x ∈M 且x ∉N }是指图〔1〕中的阴影局部. 同样M －〔M －N 〕是指图〔2〕中的阴影局部. 答案：B
【例8】设集合P ={1，a ，b }，Q ={1，a 2
，b 2
}，P =Q ，求1+a 2
+b 2
的值.
解：∵P =Q ，
∴⎪⎩⎪⎨⎧==2
2
,b
b a a
①
或者⎪⎩⎪⎨⎧==.
,2
2a b b a
②
解①得a =0或者a =1，b =0或者b =1.〔舍去〕 由②得a =b 2
=a 4
，∴a =1或者a 3
=1.
a =1不合题意，
∴a 3
=1〔a ≠1〕.
∴a =ω，b =ω2
，其中ω=－
21
+2
3i. 故1+a 2
+b 2
=1+ω2
+ω4
=1+ω+ω2
=0. 练习测试
A ={〔x ，y 〕|x +y =0}，
B ={〔x ，y 〕|x －y =2}，那么A ∩B 是
A.〔1，－1〕
B.⎩
⎨
⎧-==11
y x C.{〔1，－1〕}
D.{1，－1}
A ={5，log 2〔a +3〕}，集合
B ={a ，b }.假设A ∩B ={2}，那么A ∪B =______________. A ={x |1＜x ＜2}，B ={x |x ＞a }，假设A B ，那么a 的取值范围是___________________. A ={x ∈R |ax 2+2x +1=0，a ∈R }只有一个元素，那么a 的值是__________________. A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，那么以下各式中错误的选项是．．．．．．
A.〔
I
A 〕∪
B =I
B.〔I
A 〕∪〔
I
B 〕=I
C.A ∩〔
I
B 〕=∅
D.〔
I
A 〕∩〔
I B 〕=
I
B
6.记函数f 〔x 〕=log 2〔2x －3〕的定义域为集合M ，函数g 〔x 〕=)1)(3(--x x 的定义域为集合N .求： 〔1〕集合M 、N ； 〔2〕集合M ∩N 、M ∪N .
7.A ={x ∈R |x 2
+2x +p =0}且A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，务实数p 的取值范围.
8.P ={〔x ，y 〕|〔x +2〕2+〔y －3〕2≤4}，Q ={〔x ，y 〕|〔x +1〕2+〔y －m 〕2
＜4
1
}，且P ∩Q =Q ，求m 的取值范围.
B ={x |x 2－3x +2＜0}，是否存在实数a ，使A ={x |x 2－〔a +a 2〕x +a 3＜0}且A ∩B =A ？请说明你的理由.
小结
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合〔数集、点集或者某类图形〕，然后确定处理此类问题的方法.
2.关于集合的运算，一般应把各参与运算的集合化到最简，再进展运算.
3.含参数的集合问题，多根据集合元素的互异性来处理.
4.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯穿.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.
教学点睛
1.对于集合问题，要首先确定属于哪类集合〔数集、点集或者某类图形〕，然后确定处理此类问题的方法.
2.集合问题多与函数、方程、不等式有关，要注意各类知识的融会贯穿.
3.强化数形结合、分类讨论的数学思想. 知识梳理
〔2〕逻辑联结词：“或者〞“且〞“非〞这些词叫做逻辑联结词. 假设p ，那么q 〔或者假设p 那么qq 那么p ；
⌝p 那么⌝q ⌝q 那么⌝p .
点击双基
“p :8+7=16，q :π＞3”
A.p 或者q 为真，p 且q 为假，非p 为真
B.p 或者q 为假，p 且q 为假，非p 为真
C.p 或者q 为真，p 且q 为假，非p 为假
D.p 或者q 为假，p 且q 为真，非p 为真
解析：因为p 假，qp 或者q 为真，p 且q 为假，非p 为真. 答案：A
p :假设a 、b ∈R ，那么|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； q :函数y =2|1|--x 的定义域是〔－∞，－1］∪［3，+∞〕，那么
A.“p 或者q 〞为假
B.“p 且q 〞为真
C.p 真q 假
D.p 假q 真
解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，
假设|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|bp 为假.
又由函数y =2|1|--x 的定义域为|x －1|－2≥0，即|x －1|≥2，即x －1≥2或者x －1≤－2. 故有x ∈〔－∞，－1］∪［3，+∞〕. ∴q 答案：D
f 〔x 〕的定义域为R
①假设存在常数M ，使得对任意x ∈R ，有f 〔x 〕≤M ，那么M 是函数f 〔x 〕的最大值；
②假设存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，且x ≠x 0，有f 〔x 〕＜f 〔x 0〕，那么f 〔x 0〕是函数f 〔x 〕的最大值； ③假设存在x 0∈R ，使得对任意x ∈R ，有f 〔x 〕≤f 〔x 0〕，那么f 〔x 0〕是函数f 〔x 〕的最大值. A.0
B.1
C.2
解析：①错.原因：可能“=〞不能取到.②③都正确. 答案：C
“假设m ＞0，那么关于x 的方程x 2
+x －m
答案：2
p :函数y =log a 〔ax +2a 〕〔a ＞0且a ≠1〕的图象必过定点〔－1，1〕；
q:假设函数y=f〔x－3〕的图象关于原点对称，那么函数y=f〔x〕的图象关于点〔3，
A.“p且q〞为真
B.“p或者q〞为假
C.p真q假
D.p假q真
解析：解决此题的关键是断定p、qp真，q假〔可举反例y=x+3〕，因此正确答案为C.
答案：C
典例剖析
【例1】“a、b、c、d是实数，假设a=b，c=d，那么a+c=b+d
答案：B
【例2】假设a、b、c∈R“假设ac＜0，那么ax2+bx+c
p和结论q
“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕有两个不相等的实数根，那么ac＜0”a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.
“假设ac≥0，那么方程ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R
“假设ax2+bx+c=0〔a、b、c∈R〕没有两个不相等的实数根，那么ac≥0”
p与结论q的构成是关键.
【例3】
〔1〕假设α是一个三角形的最小内角，那么α不大于60°；
〔2〕一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
〔3〕有一个内角为60°的三角形是正三角形或者直角三角形.
解：〔1〕是非pp:假设α是一个三角形的最小内角，那么α＞60°.
〔2〕是p且qp:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.
〔3〕是p或者qp:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.
【例4】“当abc=0时，a=0或者b=0或者c=0”
“假设p那么q
abc=0，那么a=0或者b=0或者c
a=0或者b=0或者c=0，那么abc
abc≠0，那么a≠0且b≠0且c≠
a≠0且b≠0且c≠0，那么abc≠
【例5】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内〞，
B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内〞，
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内〞.
假设三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果终究在哪个盒子里？
解：假设苹果在A盒内，那么A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
假设苹果在B盒内，那么A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.
同样，假设苹果在C盒内，那么B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.
综上，苹果在B盒内.
练习测试
“p且q
A.⌝p且⌝q
B.⌝p或者⌝q
C.⌝p或者⌝q
D.⌝q或者⌝p
①“假设xy=1，那么x、y②“③“假设m≤1，那么方程x2－2x+m④“假设A∩B=B，那么A⊆B
A.①②
B.②③
C.①②③
D.③④
“p或者q〞“p且q〞“非p〞填空.
“15能被3和5整除〞是___________________形式；
“16的平方根是4或者－4”是______________形式；
“李强是高一学生，也是一共青团员〞是___________________形式.
“假设ab=0，那么a、b
p1“p2“第二次射击击中飞机〞，试用p1、p2及联结词“或者〞“且〞“
〔1〕两次都击中飞机；
〔2〕两次都没击中飞机；
〔3〕恰有一次击中飞机；
〔4〕至少有一次击中飞机.
A、B
①A B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A B⇔A∩B=∅；③A B⇔A B；④A B⇔存在x∈A，使得x∉B.
a、b为实数，假设x2＋ax＋b≤0有非空解集，那么a2－4b≥
〔1〕p:函数f〔x〕=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；
〔2〕q:假设x=3或者x=4，那么方程x2－7x+12=0.
9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.
甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛完毕以后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？
10、
〔1〕假设x、y都是奇数，那么x+y是偶数；
〔2〕假设xy=0，那么x=0或者y=0；
〔3〕假设一个数是质数，那么这个数是奇数.
小结
“p或者q〞与“p且q“或者〞与“且〞字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或者q〞还是“p且q“且〞，属于并列的为“或者〞.
2. 教学点睛
“p 或者q 〞与“p 且q “或者〞与“且〞字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p 或者q 〞还是“p 且q “且〞，属于并列的为“或者〞.
三、充要条件与反证法
知识梳理
1.充分条件：假设p ⇒q ，那么p 叫qq 是p 的必要条件.
2.必要条件：假设q ⇒p ，那么p 叫qq 是p 的充分条件.
3.充要条件：假设既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，那么p 叫做q
4.反证法：当直接证明有困难时，常用反证法. 点击双基
1.ac 2
＞bc 2
是a ＞b 成立的
解析：a ＞b ac 2＞bc 2，如c =0.
答案：A
2.a 、b 、c 为非零的平面向量.甲：a ·b =a ·c ，乙：b =c ，那么
a ·
b =a ·
c ⇒a ·〔b －c 〕=0⇒a =0或者b =c . b =c ，因此乙⇒甲，但甲
乙.
故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 答案：B
△ABC 中，“A ＞30°〞是“sin A ＞
2
1
〞的 解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞
21，sin A ＞2
1
⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°. ∴“A ＞30°〞是“sin A ＞2
1
〞的必要不充分条件. 答案：B
p :a ＞4，q :5＜a ＜6，那么p 是q 的______________.
解析：a ＞4
5＜a ＜6，如a =7虽然满足a ＞4，但显然a 不满足5＜a ＜6.
答案：必要不充分条件
a 、
b 、
c 是常数，那么“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0”的
解析：假设a ＞0且b 2
－4ac ＜0，那么对任意x ∈R ，有ax 2
+bx +ca =0，b =0且c ＞0时，也有对任意x ∈R ，有ax 2
+bx +c ＞0.因此应选A.
答案：A 典例剖析
【例1】使不等式2x 2
－5x －3≥0成立的一个充分而不必要条件是
A.x ＜0
B.x ≥0
C.x ∈{－1，3，5}
D.x ≤－
2
1
或者x ≥3 剖析：∵2x 2
－5x －3≥0成立的充要条件是x ≤－21或者x ≥3，∴对于A 当x =－3
1时2x 2
－5x －3
≥0.同理其他也可用特殊值验证.
答案：C
【例2】求证：关于x 的方程ax 2
+bx +c =0有一根为1的充分必要条件是a +b +c =0.
证明：〔1〕必要性，即“假设x =1是方程ax 2
+bx +c =0的根，那么a +b +c =0”.
∵x =1是方程的根，将x =1代入方程，得a ·12
+b ·1+c =0，即a +b +c =0.
〔2〕充分性，即“假设a +b +c =0，那么x =1是方程ax 2
+bx +c =0的根〞.
把x =1代入方程的左边，得a ·12
+b ·1+c =a +b +c .∵a +b +c =0，∴x =1是方程的根.
【例3】求ax 2
+2x +1=0〔a ≠0〕至少有一负根的充要条件.
证明：必要性：
〔1〕方程有一正根和一负根，等价于⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧<=>-=01
4421a x x a Δa ＜0.
〔2〕方程有两负根，等价于⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧
><-≥-=010
2
044a
a a Δ0＜a ≤1.
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a ＜0或者0＜a ≤1.
充分性：由以上推理的可逆性，知当a ＜0时方程有异号两根；当0＜a ≤a ＜0或者0＜a ≤1是方程ax 2
+2x +1=0至少有一负根的充分条件.
答案：a ＜0或者0＜a ≤1.
【例4】以下说法对不对假设不对，分析错误的原因.
〔1〕x 2
＝x ＋2是x 2+x =x 2的充分条件； 〔2〕x 2
＝x ＋2是x 2+x =x 2的必要条件.
解：〔1〕x 2=x +2是x
2+x =x 2的充分条件是指x 2=x +2⇒x 2+x =x 2.
但这里“⇒〞不成立，因为x =－1时，“⇒〞左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是应用了错误的推理：
x 2=x +2⇒x =2+x ⇒x 2=x 2+x .
这里推理的第一步是错误的〔请同学补充说明详细错在哪里〕.
〔2〕x 2
=x +2是x
2+x =x 2的必要条件是指x 2+x =x 2⇒x 2=x +2.
但这里“⇒〞不成立，因为x =0时，“⇒〞左边为真，但右边为假.得出错误结论的原因可能是用了错误的推理:
x
2+x =x 2⇒2+x =x ⇒x +2=x 2.
这里推理的第一步是错误的〔请同学补充说明详细错在哪里〕.
评述：此题的解答比较注重逻辑推理.事实上，也可以从真值集合方面来分析：x 2
=x +2的真值集合是{－
1，2}，x
2+x =x 2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2}{－1，2}，所以〔1〕〔2〕两个
结论都不对.
【例5】p 是q 的什么条件. 〔1〕p :0＜x ＜3，q :|x －1|＜2； 〔2〕p :〔x －2〕〔x －3〕=0，q :x =2； 〔3〕p :c =0，q :抛物线y =ax 2
+bx +c 过原点.
解：〔1〕p :0＜x ＜3，q :－1＜x ＜3.
p 是q 的充分但不必要条件.
〔2〕p
q ，q ⇒p .p 是q 的必要但不充分条件.
〔3〕p 是q 的充要条件.
评述：依集合的观点看，假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；假设A =B ，那么A 是B 的充要条件.
练习测试
1.p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的
2.“cos2α=－
23〞是“α=k π+12
π
5，k ∈Z 〞的 △ABC 中，“A ＞B 〞是“cos A ＜cos B 〞的
A ：两曲线F 〔x ，y 〕＝0和G 〔x ，y 〕=0相交于点P 〔x 0，y 0
B ：曲线F 〔x ，y 〕+λG 〔x ，y 〕＝0〔λ为
常数〕过点P 〔x 0，y 0〕，那么A 是B 的__________条件.
f 〔x 〕=x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是
A.a ∈〔－∞，1］
B.a ∈［2，+∞〕
C.α∈［1，2］
D.a ∈〔－∞，1］∪［2，+∞〕
6.数列{a n }的前n 项和S n =p n
+q 〔p ≠0且p ≠1〕，求数列{a n }成等比数列的充要条件.
U =｛〔x ，y 〕｜x ∈R ，y ∈R ｝，A =｛〔x ，y 〕|2x －y +m ＞0｝，B =｛〔x ，y 〕|x +y －n ≤0｝，那么点P 〔2，3〕∈
A ∩〔
U
B 〕的充要条件是
A.m ＞－1，n ＜5
B.m ＜－1，n ＜5
C.m ＞－1，n ＞5
D.m ＜－1，n ＞5 x 的一元二次方程mx 2－4x +4=0， ① x 2－4mx +4m 2－4m －5=0.
②
求使方程①②都有实根的充要条件. 9.a 、b 、c 是互不相等的非零实数.
求证：三个方程ax 2
+2bx +c =0，bx 2
+2cx +a =0，cx 2
+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根.
x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y +
2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2
－2x +6
π，那么a 、b 、c 中是否至少有一个大于零？请说明理由.
小结
“结论否认形式〞，如“至少有一个〞“至多有一个〞“都是〞的否认形式是“一个也没有〞“至少有两个〞“不都是〞.
2.证明充要性要从充分性、必要性两个方面来证明. 教学点睛
1.掌握常用反证法证题的题型，如含有“至少有一个〞“至多有一个〞等字眼多用反证法. 3.要证明充要性应从充分性、必要性两个方面来证. 练习测试解答 一、集合的概念与运算
1、解析：⎩⎨
⎧=-=+20
y x y x ⇒
⎩
⎨⎧-==.1,
1y x 答案：C
2、解析：∵A ∩B ={2}，∴log 2〔a +3〕=2.
∴a =1.∴b =2.
∴A ={5，2}，B ={1，2}.∴A ∪B ={1，2，5}.
答案：{1，2，5}
3、解析：A B 说明A 是B 的真子集，利用数轴〔如以下列图〕可知a ≤1.
答案：a ≤1
4、解析：假设a =0，那么x =－
2
1. 假设a ≠0，Δ=4－4a =0，得a =1. 答案：a =0或者a =1
5、解析一：∵A 、B 、I 满足A ⊆B ⊆I ，先画出文氏图，根据文氏图可判断出A 、C 、D 都是正确的.
解析二：设非空集合A 、B 、I 分别为A ={1}，B ={1，2}，I ={1，2，3}且满足A ⊆B ⊆I .根据设出的三个特殊的集合A 、B 、I 可判断出A 、C 、D 都是正确的.
答案：B
6、解：〔1〕M ={x |2x －3＞0}={x |x ＞
2
3
}； N ={x |〔x －3〕〔x －1〕≥0}={x |x ≥3或者x ≤1}.
〔2〕M ∩N ={x |x ≥3}；
M ∪N ={x |x ≤1或者x ＞
2
3
}. 7、解：∵A ∩{x ∈R |x ＞0}=∅，
∴〔1〕假设A =∅，那么Δ=4－4p ＜0，得p ＞1； 〔2〕假设A ≠∅，那么A ={x |x ≤0}， 即方程x 2
+2x +p =0的根都小于或者等于0.
设两根为x 1、x 2，那么
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=≤-=+≥-=.0,02,0442
121p x x x x p Δ∴0≤p ≤1. 综上所述，p ≥0.
8、解：点集P 表示平面上以O 1〔－2，3〕为圆心，2为半径的圆所围成的区域〔包括圆周〕；点集Q 表示平
面上以O 2〔－1，m 〕为圆心，
2
1
P ∩Q ＝Q ，应使⊙O 2内含或者内切于⊙O 1.故有｜O 1O 2｜2≤〔R 1－R 2〕2，即〔－1＋2〕2＋〔m －3〕2
≤〔2－2
1〕2.解得3－25≤m ≤3＋25.
评述：此题选题目的是：熟悉用集合语言表述几何问题，利用数形结合方法解题. 9、解：∵B ={x |1＜x ＜2}，假设存在实数a ，使A ∩B =A ，那么A ={x |〔x －a 〕〔x －a 2
〕＜0}.
〔1〕假设a =a 2
，即a =0或者a =1时，此时A ={x |〔x －a 〕2
＜0}=∅，满足A ∩B =A ，∴a =0或者a =1.
〔2〕假设a 2
＞a ，即a ＞1或者a ＜0时，A ={x |0＜x ＜a 2
}，要使A ∩B =A ，那么⎩
⎨⎧≤≥21
2
a a ⇒1≤a ≤2，∴1＜a ≤
2.
〔3〕假设a 2
＜a ，即0＜a ＜1时，A ={x |a ＜x ＜a 2
}，要使A ∩B =A ，那么⎩⎨
⎧≥≤1
22
a a ⇒1≤a ≤2，∴a ∈∅.
综上所述，当1≤a ≤
2或者a =0时满足A ∩B =A ，即存在实数a ，使A ={x |x 2－〔a +a 2〕x +
a 3＜0＝且A ∩B =A 成立.
1、解析：p 且q 的否认为⌝p 或者⌝q .
答案：B 答案：C
3、答案：〔1〕p 且q 〔2〕p 或者q 〔3〕p 且q
4、解：〔1〕两次都击中飞机是p 1且p 2；
〔2〕两次都没击中飞机是⌝p 1且⌝p 2；
〔3〕恰有一次击中飞机是p 1且⌝p 2，或者p 2且⌝p 1； 〔4〕至少有一次击中飞机是p 1或者p 2. 5、答案：假设a ≠0且b ≠0，那么ab ≠0
6、解析：A B ⇔存在x ∈A ，有x ∉B ，故①错误；②错误；④正确.
亦或者如以下列图所示. ③反例如以下列图所示.
A B ⇒A B .反之，同理.
答案：④
a 、
b 为实数是前提，条件是x 2+ax +b ≤0有非空解集〔即不等式有解〕，结论是a 2
－4b ≥
a 、
b 为实数，假设a 2－4b ≥0，那么x 2+ax +b ≤0有非空解集. a 、b 为实数，假设x 2+ax +b ≤0没有非空解集，那么a 2－4b ＜0. a 、b 为实数，假设a 2－4b ＜0，那么x 2+ax +b ≤0没有非空解集.
8、解：〔1〕函数f 〔x 〕=ax 2
+bx +c 的图象与x 轴没有交点或者至少有两个交点.
〔2〕假设x =3或者x =4，那么x 2
－7x +12≠0.
9、解：〔1〕假设小李得了第三名，那么甲全猜对，乙全猜错，显然与题目条件相矛盾，故假设不可能.
〔2〕假设小李得了第二名，那么甲猜对一半，乙猜对一半，也与条件矛盾，故假设不可能. 〔3〕假设小李得了第一名，那么甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾. 综合〔1〕〔2〕〔3〕知小李得了第一名.
x 、y 都是奇数，那么x +y
x 、y 不都是奇数，那么x +y xy =0那么x ≠0且y ≠ xy ≠0，那么x ≠0且y ≠
三、充要条件与反证法
1、解析：依题意有p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，∴p ⇒r ⇒s ⇒q .但由于r
p ，∴q p .
答案：A
2、解析：cos2α=－
23⇔2α=2k π±6π5⇔α=k π±12
π
5. 答案：A
3、解析：在△ABC 中，A ＞B ⇔cos A ＜cos B 〔余弦函数单调性〕.
答案：C
4、答案：充分不必要
5、解析：∵f 〔x 〕=x 2
－2ax －3的对称轴为x =a ，∴y =f 〔x 〕在［1，2］上存在反函数的充要条件为［1，2］⊆〔－∞，a ］或者［1，2］⊆［a ，+∞〕，即a ≥2或者a ≤1.
答案：D
6、分析：先根据前n 项和公式，导出使{a n }为等比数列的必要条件，再证明其充分条件.
解：当n =1时，a 1=S 1=p +q ；
当n ≥2时，a n =S n －S n －1=〔p －1〕·p n －1.
由于p ≠0，p ≠1，∴当n ≥2时，{a n }是等比数列.要使{a n }〔n ∈N *〕是等比数列，那么12a a =p ，即〔p －1〕·p =p 〔p +q 〕，∴q =－1，即{a n }是等比数列的必要条件是p ≠0且p ≠1且q =－1.
再证充分性：
当p ≠0且p ≠1且q =－1时，S n =p n
－1， a n =〔p －1〕·p n －1，1
-n n a a =p 〔n ≥2〕， ∴{a n }是等比数列.
7、解析：∵
U B =｛〔x ，y 〕｜n ＜x +y ｝，将P 〔2，3〕分别代入集合A 、B 取交集即可.∴选A.
答案：A 8、解：方程①有实数根的充要条件是Δ1=〔－4〕2
－16m ≥0，即m ≤1； 方程②有实数根的充要条件是Δ2=〔4m 〕2－4〔4m 2－4m －5〕≥0，即m ≥－
45. ∴方程①②都有实数根的充要条件是－
4
5≤m ≤1. 9、证明：反证法：
假设三个方程中都没有两个相异实根，
那么Δ1=4b 2－4ac ≤0，Δ2=4c 2－4ab ≤0，Δ3=4a 2－4bc ≤0. 相加有a 2－2ab +b 2+b 2－2bc +c 2+c 2－2ac +a 2
≤0，
〔a －b 〕2+〔b －c 〕2+〔c －a 〕2≤0. ① 由题意a 、b 、c 互不相等，∴①式不能成立.
∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根.
10、解：假设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，那么a +b +c ≤0.
而a +b +c =x 2－2y +2π+y 2－2z +3π+z 2－2x +6
π=〔x －1〕2+〔y －1〕2+〔z －1〕2+π－3， ∵π－3＞0，且无论x 、y 、z 为何实数，
〔x －1〕2+〔y －1〕2+〔z －1〕2
≥0， ∴a +b +ca +b +c ≤0矛盾.因此，a 、b 、c 中至少有一个大于0.。