2019届四川省泸州高三临考冲刺模拟理科数学试题(附答案)

2019届四川省泸州高三临考冲刺模拟理科数学试题（附答案）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合}02|{2<-+=x x x M ，}01|{<+=x x N ，则=N M ( )
A ．)1,1(-
B ．)1,2(--
C ．)1,2(-
D ．)2,1(
2.已知复数z 满足i z i 2)1(=+（i 是虚数单位），则=||z （ ）
A ．22
B ．2
1 C ．
2 D ．2 3.“b a )31()31
(<”是“b a 22log log >”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨%10）又经历了3次跌停（每次下降%10），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A ．略有盈利
B ．无法判断盈亏情况 C. 没有盈也没有亏损 D ．略有亏损
5.双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
x a y 的离心率为10，则其渐近线方程为（ ） A ．x y 3±= B ．x y 21±= C ．x y 2±= D ．x y 3
1±= 6.已知41)3sin(=-απ，则=+)23
cos(απ（ ）
A ．85
B ．8
7- C. 85- D ．87 7.《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的T S ,的值分别为40,126，则输出b a ,的值分别为（ ）
A ．17,23
B ．21,21 C. 19,23 D ．20,20
8.已知函数)(cos sin )(R x x b x a x f ∈+=，若0x x =是函数)(x f 的一条对称轴，且3tan 0=x ，则点),(b a 所在的直线为（ ）
A ．03=-y x
B ．03=+y x
C ．03=-y x
D ．03=+y x
9.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则该截面面积的最小值是（ ）
A ．π4
B ．π8 C. π12 D ．π16
10.某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''C B A ，如图（2）所示，其中2''''==B O A O ，3''=C O ，则该几何体的表面积为（ ）
A ．31236+
B ．3824+ C. 31224+ D ．3836+
11.过抛物线C ：)0(22>=p px y 焦点F 作斜率为
34的直线l 与C 及其准线分别相交于D B A ,,三点，则|
|||BD AD 的值为（ ） A ．2或21 B ．3或31 C. 1 D ．4或4
1 12.已知函数x x x f )2ln()(=
，关于x 的不等式0)()(2>+x af x f 只有两个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．]6ln 31
,2ln (-- B ．]36ln ,1(--e C. )2ln ,6ln 3
1[ D ．)2,36ln [e 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量)1,(λ=a ，)1,2(+=λb ，若||||b a b a -=+，则实数λ的值为 ．
14. 若n x
x )1(2-展开式的二项式系数之和为128，则其展开式中2x 的系数为 .（用具体数字作答）
15.当实数y x ,满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥2200y x y x 时，01≥+++a y ax 恒成立，则实数a 的取值范围
是 ．
16.在等腰ABC ∆中，AC AB =，AC 边上的中线BD 长为6，则当ABC ∆的面积取得最大值时，AB 长为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）设1
2+=n n n n S S b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .
18.某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随
机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下： 甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81；
乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间]100,85[的为A 等，在区间)85,70[的为B 等，在区间
)70,60[的为C 等，在区间)60,0[为D 等.
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率.
19.如图，平面⊥ABCD 平面BCF ，四边形ABCD 是菱形， 90=∠BCF .
（1）求证：DF BF =；
（2）若 60=∠BCD ，且直线DF 与平面BCF 所成角为 45，求二面角C AF B --的平面角的余弦值.
20.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的一个焦点与x y 342=的焦点重合，点)21,3(在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ：m kx y +=（0≠k ）与椭圆C 交于Q P ,两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为)0,1(-，求OPQ ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.
21.设函数x e x f x sin )(+=（e 为自然对数的底数），ax x g =)(，)()()(x g x f x F -=.
（1）若0=x 是)(x F 的极值点，且直线)0(≥=t t x 分别与函数)(x f 和)(x g 的图象交于Q P ,，求Q P ,两点间的最短距离；
（2）若0≥x 时，函数)(x F y =的图象恒在)(x F y -=的图象上方，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程⎩⎨
⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+
πθρ，射线)0(03≥=-x y x 与圆C 的交点为P O ,，
与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
23.选修4-5：不等式选讲 设函数)0(|||4|)(>++-=a a x a
x x f （1）证明：4)(≥x f ；
（2）若5)2(<f ，求a 的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5： BCBDD 6-10：BACAC 11、12：DA
二、填空题
13．1-； 14．35； 15．),2
1
[+∞-； 16．54． 三、解答题
17.（1）因为12a a S n n -=，所以)2(1≥-=-n S S a n n n ，即12-=n n a a （2≥n ），即数列}{n a 是以2为公比的等比数列，又321,1,a a a +成等差数列，所以)1(2231+=+a a a ，即)12(24111+=+a a a ，解得21=a ，所以数列}{n a 的通项公式为n n a 2=.
（2）由（1）得221-=+n n S ，所以)
12)(12(42)22)(22(221211--=--==++++n n n
n n n n n n n S S b )1
21121(411---=+n n ， )1
211(41)]121121()121121()121121[(4111322--=---++---+---=++n n n n T . 18、解：（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数；
②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数； ③甲校得分有20
19居于90~50内，而乙校得分全部居于90~60内，对乙校的评分要高于甲校； ④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低.
（2）记事件A 为：乙校A 等，甲校B 等或C 等或D 等；
事件B 为：乙校B 等，甲校C 等或D 等；
事件C 为：乙校C 等，甲校D 等三种情况，则事件“乙校得分的等级高于甲校得分的等级”为C B A ，又因为事件C B A ,,两两互斥， 故6.020
420420920620172010)()()()(=⨯+⨯+⨯=++=C P B P A P C B A P ， 即乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6.
19、解：(1)连接OF AC ,，设O BD AC = ，因为平面⊥ABCD 平面BCF ，且交线为BC ， 因为 90=∠BCF ，所以⊥CF 平面ABCD ，⊂CF 平面BCF ，所以平面⊥BCF 平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，所以⊥BD 平面BCF ，所以OF BD ⊥，又DO BO =，所以DF BF =.
(2)解法一：过点D 作BC DG ⊥于点G ，连接GF ，因为平面⊥ABCD 平面BCF ，即直线DF 与平面BCF 所成角为 45=∠DFG ，不妨设2=BC ，则3=DG ，过点G 在BCF 内作CF 的平行线GH ，则⊥GH 平面ABCD ，以点G 为原点，分别以GD GC GH ,,所在直线为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系，因为 45=∠DFG ，所以2,3==CF GF ，则
)0,0,2(),0,1,0(),0,1,0(),3,2,0(F C B A --，
所以)0,0,2(),0,2,2(),3,3,2(==-=CF BF AF ，
设平面ABF 的法向量为),,(z y x m =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
0FB ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+0220332y x z y x ，取)3
3,1,
2(--=m ， 同理可得平面AFC 的法向量为)3,1,0(=n ，
所以10
30
2
3
1122|
|||,cos -
=⨯++-=
>=
<n m m ，因为二面角C AF B --是锐角，所以其余弦值为
10
30.
解法二：过点O 作AF OE ⊥于点E ，连接BE ，因为平面⊥ABCD 平面ACF ，又BD AC ⊥，所以
⊥BD 平面ACF ，所以AF BD ⊥，即⊥AF 平面BOE ，所以AF BE ⊥，即BEO ∠是二面角
C AF B --的平面角，过点
D 作BC DG ⊥于点G ，连接GF ，所以⊥DG 平面BCF ，即直线DF
与平面BCF 所成角为 45=∠DFG ，不妨设2=BC ，则14,2,3====AF CF GF DG ，因
为AEO ∆∽AFC ∆，所以73=OE ，又1=OB ，所以710=BE ，所以10
30cos ==∠BE OE BEO ，所以二面角C AF B --的余弦值为
10
30
. 20、解：（Ⅰ）抛物线x y 342=的焦点为)0,3(，故得3=c ，所以322+=b a ，因点)2
1,3(在
椭圆C 上，所以141322=+b a ，解得1,42
2==b a ，所以椭圆C 的方程为1422=+y x ；
（2）设),(),,(2211y x Q y x P 的中点为),(00y x ，将直线m kx y +=（0≠k ）代入1422
=+y x ，得
0448)41(222=-+++m kmx x k ，所以0)41(1622>-+=∆m k ，则2
210414)(21k km
x x x +-
=+=，2
21041)(21k
m
y y y +-=+=，因为)0,1(-是以PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以k x y 1
1000-=+-，即2413k km +=，解得512>k ，设O 到直线的距离为21k
m d +=
，则⨯+⨯==2121||21k
m PQ d S 42222211209241)41(161k k k m k k -+=+-+⋅+，当21
12=k ，即2±=k 时，三角形面积最大为1.
21、（Ⅰ）因为ax x e x F x -+=sin )(，所以a x e x F x -+=cos )('，因为0=x 是)(x F 的极值点，
所以011)0('=-+=a F ，2=a .
又当2=a 时，若0<x ，0211cos )('=-+<-+=a x e x F x ，所以)('x F 在),0(+∞上为增函数，所以
0211)0(')('=-+=>F x F ，所以0=x 是)(x F 的极小值点，所以2=a 符合题意，所以
t t e PQ t 2sin ||-+=.令x x e x h x 2sin )(-+=，即2cos )('-+=x e x h x ，因为x e x h x sin )(''-=，当
0>x 时，1>x e ，1sin 1≤≤-x ，所以0sin )(''>-=x e x h x ，所以2cos )('-+=x e x h x 在),0(+∞上
递增，所以0)0('2cos )('=>-+=h x e x h x ，∴),0[+∞∈x 时，)(x h 的最小值为1)0(=h ，所以
1||min =PQ .
（Ⅱ）令ax x e e x F x F x x x 2sin 2)()()(-+-=--=-ϕ，
则a x e e x x x 2cos 2)('-+-=-ϕ，x e e x x S x x sin 2)('')(--==-ϕ，因为
0cos 2)('≥-+=-x e e x S x x 当0≥x 时恒成立，所以函数)(x S 在),0[+∞上单调递增，∴
0)0()(=≥S x S 当),0[+∞∈x 时恒成立；
故函数)('x ϕ在),0[+∞上单调递增，所以a x 24)0(')('-=≥ϕϕ在),0[+∞∈x 时恒成立.
当2≤a 时，0)('≥x ϕ，)(x ϕ在),0[+∞单调递增，即0)0()(=≥ϕϕx .
故2≤a 时)()(x F x F -≥恒成立.
当2>a 时，因为)('x ϕ在),0[+∞单调递增，所以总存在),0(0+∞∈x ，使)(x ϕ在区间),0[0x 上
0)('<x ϕ，导致)(x ϕ在区间),0[0x 上单调递减，而0)0(=ϕ，所以当),0[0x x ∈时，0)(<x ϕ，这与
0)()(≥--x F x F 对),0[+∞∈x 恒成立矛盾，所以2>a 不符合题意，故符合条件的a 的取值范围是]2,(-∞.
22、解：(1)因为⎩⎨
⎧=+=ϕ
ϕ
sin cos 1y x ，消参得：1)1(22=+-y x ，把θρθρsin ,cos ==y x 代入得
1)sin ()1cos (22=+-θρθρ，所以圆C 的极坐标方程为θρcos 2=；
(2)射线)0(03≥=-x y x 的极坐标方程是3
π
θ=
，设点),(11θρP ，则有：
⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2111πθθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ，设点),(22θρQ ，则有：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==+333)3
(sin 2222πθπθρ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ，
由于21θθ=，所以2||||21=-=ρρPQ ，所以线段PQ 的长为2. 23解：（Ⅰ）4|||4
|2|||4||4||)()4(||||4|)(=⋅≥+=+=+--≥++-
=a a
a a a a a x a x a x a x x f ； （Ⅱ）当2=a 时，5|2||4
2|<++-
a a
显然满足； （1）当20≤<a 时，不等式化为54
<+
a
a ，即0452<+-a a ，所以41<<a ，联立求解得21≤<a ；
（2）当2>a 时，不等式化为042<--a a ，解得
2
17
12171+<
<-a ， 联立求解得2
17
12+<
<a ， 综上，a 的取值范围为)2
17
1,2(+.
2019届四川省泸州市高三四诊（临考冲刺模拟）
数学（理）试题
一、选择题
1．已知集合2{|20}M x x x =+-<， {|10}N x x =+<，则M N ⋂= ( ) A. ()1,1- B. ()2,1-- C. ()2,1- D. ()1,2 【答案】B
【解析】由题意可知： {|21},{|1}M x x N x x =-<<=<-，则 ： M N ⋂= ()2,1--. 本题选择B 选项.
2．已知复数z 满足()12i z i +=（i 是虚数单位），则z =（ ）
A.
2 B. 1
2
2 【答案】C
【解析】由题意可得： 2
1i z i =+，则21i z z i ====+.
本题选择C 选项.
3．“1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“22log log a b >”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】若“1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”，则根据指数函数的单调性的性质可知a >b ，
当a ,b 由负值或等于0时,log 2a >log 2b 不成立，不是充分条件，
若log 2a >log 2b ,则a >b >0.此时“1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”成立，是必要条件，
∴“1133a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件； 本题选择B 选项.
4．某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨
10%）又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为
（ ）
A. 略有盈利
B. 无法判断盈亏情况
C. 没有盈也没有亏损
D. 略有亏损 【答案】D
【解析】设购进股票时的价格为(0)m m >元，先经历了3次涨停（每次上涨10%）又经历了3次跌停（每次下降10%）后的价格为： ()()()3
3
3
3110%110%10.010.99m m m m ⨯+⨯-=⨯-=⨯<，
则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为略有亏损. 本题选择D 选项.
5．双曲线22
221(0,0)y x a b a b
-=>>，则其渐近线方程为（ ）
A. 3y x =±
B. 12y x =±
C. 2y x =±
D. 1
3
y x =± 【答案】D
【解析】由题意可得： 2222
22210,9c c a b b e a a a a
+==∴=
==， 双曲线的渐近线方程为： a y x b =±
，即1
3
y x =±. 6．已知1
sin 34
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A.
58 B. 78- C. 58- D. 7
8
【答案】B
【解析】由题意： 1
sin sin cos 326
64ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 则： 27cos 2cos22cos 13668πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+=+-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
本题选择B 选项.
点睛：解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件． 7．《孙子算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中一个问题的解答可以用如图的算法来实现，若输入的,S T 的值分别为40,126，则输出,a b 的值分别为（ ）
A. 17,23
B. 21,21
C. 19,23
D. 20,20 【答案】A
【解析】依据流程图运行程序： 40,126S T ==， 此时2T S ≥成立， ()2246223T S -÷=÷=，余数为0， 则： 223,4023172
T S
b a S b -=
==-=-=， 输出a,b 结束程序运行.
综上可得输出,a b 的值分别为17,23. 本题选择A 选项.
8．已知函数()sin cos f x a x b x =+（x R ∈），若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =，
则点(),a b 所在的直线为（ ）
A. 30x y -=
B. 30x y +=
C. 30x y -=
D. 30x y += 【答案】A
【解析】 由题意得(
)sin cos f x a x b x x x ⎫=+=+
⎪⎭
令sin αα=
=
tan a
b
α=
， 则(
)()sin cos f x a x b x x α=+=-，
由x k απ-=，得,x k k Z πα=+∈，
因为0x x =是函数的一条对称轴,x k k Z πα=+∈， 所以0,x k k Z πα=+∈，则0tan tan 3a
x b
α==
=，即3a b =， 所以点(),a b 所在的直线为30x y -=，故选A.
9．正四面体ABCD 的棱长为4， E 为棱AB 的中点，过E 作此正四面体的外接球的截面，则截
面面积的最小值是（ ）
A. 4π
B. 8π
C. 12π
D. 16π 【答案】A
【解析】 将四面体ABCD 放置在正方体中，如图所示， 可得正方体的外接球就是四面体ABCD 的外接球， 因为正四面体ABCD 的棱长为4，
所以正方体的棱长为
2R ==
R = 又E 为BC 的中点，过E 作其外接球的截面，当截面到球心O 的距离最大时， 此时截面圆的面积最小，
此时球心O 到截面的距离等于正方体棱长的一半，
可得截面圆的半径为2r =
=，得到截面圆的面积的最小值为24S r ππ==，
故选A.
10．某几何体的正视图和侧视图如图（1）所示，它的俯视图的直观图是'''A B C ，如图（2）所示，
其中''''2O A O B ==， ''O C = ）
A. 36+24+24+36+【答案】C
【解析】由图(2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为
等边三角形，在如图所示的长方体中，长宽高分别为4,，三视图换元为几何体是图中的三棱锥
P ABC -,且：
1
46122
PAB
PBC
S
S
==⨯⨯=， ABC
1
42
S =⨯⨯=，
△PAB 4的等腰三角形， PAB
S
=
综上可得，该几何体的表面积为21224⨯+=+ 本题选择C 选项.
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑． 11．过抛物线C ： 22(0)y px p =>焦点F 作斜率为4
3
的直线l 与C 及其准线分别相交于,,A B D 三点，则
AD BD
的值为（ ）
A. 2或
12 B. 3或13 C. 1 D. 4或14
【答案】D
【解析】如图所示，由题意可得，直线AB 的方程为432p y x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭，令2
p
x =-可得点D 的 坐标为4
,23p D p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 直线l 的参数方程为： ()325
{44
35
p x t t y p t
=-
+=-+为参数，
联立直线与抛物线的方程整理可得： 221447506250t pt t -+=, 即： ()()62524250t p t p --=，解得： 122525,624
t p t p ==， 由直线参数方程的几何意义可得：
2114
AD t BD
t =
=， 同理，当点A 位于下方，点B 位于上方时可得
4AD BD
=.
综上可得
AD BD
的值为4或
14
. 本题选择D 选项.
点睛：过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为00{
x x tcos y y tsin αα
=+=+ (t 为参数)，t 的
几何意义是直线上的点P 到点P 0(x 0，y 0)的数量，即t ＝|PP 0|时为距离．使用该式时直线上任意两点
P 1、P 2对应的参数分别为t 1、t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为
1
2
(t 1＋t 2)． 12．已知函数()()ln 2x f x x
=，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值
范围是（ ）
A. 1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦
B. 1ln6,3e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦
C. 1ln6,ln23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D. ln62,3e ⎡⎫
⎪⎢⎣
⎭ 【答案】
A
【解析】函数f (x )的定义域为(0,+∞)，则()()2
12'ln x f x x
-=
，
当f ′(x )>0得1−ln (2x )>0,即ln (2x )<1，即0<2x <e ,即02
e x <<， 由
f ′(x )<0得1−ln (2x )<0,得ln (2x )>1，即2x >e ,即2
e x >， 即当2
e
x =
时,函数f (x )取得极大值,同时也是最大值2ln 22e e
f e e
⎛⎫== ⎪⎝⎭， 即当02e x <<时, ()2
f x e
<有一个整数解1， 当2e x >
时, ()2
0f x e
<<有无数个整数解， 若a =0,则f 2(x )+af (x )>0得f 2(x )>0，此时有无数个整数解，不满足条件。

若a >0，则由f 2(x )+af (x )>0得f (x )>0或f (x )<−a ， 当f (x )>0时，不等式有无数个整数解，不满足条件。

当a <0时,由f 2(x )+af (x )>0得f (x )>−a 或f (x )<0， 当f (x )<0时，没有整数解， 则要使当f (x )>−a 有两个整数解， ∵()()()ln4ln6
1ln2,2ln2,323
f f f ==
==
， ∴当f (x )⩾ln 2时,函数有两个整数点1,2,当()ln6
3
f x …
时，函数有3个整数点1，2，3， ∴要使f (x )>−a 有两个整数解，则ln6ln23a ≤-<，即1
ln2ln63
a -<≤-， 本题选择A 选项.
二、填空题
13．已知向量(,1),(2,1)a b λλ==+，若a b a b +=-，则实数λ= . 【答案】1-
【解析】试题分析：因为a b a b +=-，由向量加减法的几何意义知，a b ⊥ （或将a b a b +=-平方得：0a b ⋅=）
所以(2)101λλλ++=⇒=-
【考点】 1、向量的模长；2、向量的数量积
14．若21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式的二项式系数之和为128，则展开式中2x 的系数为 ．
【答案】35
【解析】试题分析：二项式系数之和为721282,7n n ===，通项为
()
()()271437711r
r
r r r r r C x x C x ----=-， 1432,4r r -==，故2x 系数为()4
4
7135C -=.
【考点】二项式定理．
15．当实数,x y 满足不等式组0
{022
x y x y ≥≥+≤时， 10ax y a +++≥
恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
；
【解析】绘制不等式组表示的可行域，不等式即： ()()11a x y +≥-+，很明显10x +>，则：
11y a x +≥-
+恒成立，即max
11y a x +⎛⎫
≥- ⎪+⎝⎭， 目标函数1
1
y z x +=-
+表示可行域内的点与点()1,1--连线的斜率的相反数，观察可知，目标函数在点()
1,0处取得最大值111
012
+-=-+， 据此可得实数a 的取值范围是1
,2
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
.
16．在等腰△ABC 中，AB AC =，AC 边上的中线BD 长为6，则当ABC ∆的面积取得最大值时，
AB 的长为 ．
【答案】【解析】试题分析：根据题意，设2AB AC x ==，则AD x =(26)x <<，由余弦定理，得cos A ＝
2222AB AD BD AB AD +-⋅＝2225365944x x x -=-
，所以sin A =，所以1
sin 2
ABC
S AB AC A ∆=
⋅
＝142x ⋅
24≤，当220x =
，即x =当当ABC ∆的面积取得最大值时，AB
的长为
【考点】1、余弦定理；2、三角形面积公式．
三、解答题
17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设1
2n
n n n b S S +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .
【答案】（1）2n n a =（2）111
1421n +⎛⎫- ⎪-⎝⎭
【解析】试题分析：
(1)利用递推关系可得数列{}n a 是以2为公比的等比数列，求得首项可得通项公式为2n n a =. (2)指数裂项求和可得1111421n n T +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
. 试题解析：
（1）因为12n n S a a =-，所以()12n n n a S S n -=-≥，即12n n a a -=（2n ≥），即数列{}n a 是以2为公比的等比数列，又123,1,a a a +成等差数列，所以()13221a a a +=+，即()1114221a a a +=+，解得
12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.
（2）由（1）得1
2
2n n S +=-，所以()()()()
121
1222222242121
n n n
n n n n n n n b S S ++++===---- 111142121n n +⎛⎫
=
- ⎪--⎝⎭
，
223
11111111
11114212121212121421n n n n T ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=
-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦. 18．某市对创“市级示范性学校”的甲、乙两所学校进行复查验收，对办学的社会满意度一项评价随机访问了20为市民，这20位市民对这两所学校的评分（评分越高表明市民的评价越好）的数据如下：
甲校：58,66,71,58,67,72,82,92,83,86,67,59,86,72,78,59,68,69,73,81； 乙校：90,80,73,65,67,69,81,85,82,88,89,86,86,78,98,95,96,91,76,69,.
检查组将成绩分成了四个等级：成绩在区间[]85,100的为A 等，在区间[)70,85的为B 等，在区间
[)60,70的为C 等，在区间[)0,60为D 等.
（1）请用茎叶图表示上面的数据，并通过观察茎叶图，对两所学校办学的社会满意度进行比较，写出两个统计结论；
（2）根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率.
【答案】（1）见解析（2）乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6. 【解析】试题分析：
(1)利用题意结合平均数，众数，方差等讨论所给的数据即可；
(2)结合互斥事件的结论可得乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6. 试题解析：
解：（1）①甲校得分的中位数为71.5，众数为58,59,67,72,86，乙校得分的中位数为83.5，众数为69和86，甲校得分的中位数小于乙校得分的中位数，甲校得分的众数大多数不大于乙校得分的众数； ②甲校得分的平均数小于乙校得分的平均数； ③甲校得分有
19
20
居于50~90内，而乙校得分全部居于60~90内，对乙校的评分要高于甲校； ④甲校得分的方差大于乙校的方差，说明对乙校的评分较集中，满意度较高，对甲校的评分较分散，满意度较低.
（2）记事件A 为：乙校A 等，甲校B 等或C 等或D 等； 事件B 为：乙校B 等，甲校C 等或D 等；
事件C 为：乙校C 等，甲校D 等三种情况，则事件“乙校得分的等级高于甲校得分的等级”为
A B C ⋃⋃，又因为事件,,A B C 两两互斥，
故()()()()101769440.6202020202020
P A B C P A P B P C ⋃⋃=++=
⨯+⨯+⨯=， 即乙校得分的等级高于甲校得分的等级的概率为0.6.
19．如图，平面ABCD ⊥平面BCF ，四边形ABCD 是菱形， 90BCF ∠=. （1）求证： BF DF =；
（2）若60BCD ∠=，且直线DF 与平面BCF 所成角为45，求二面角B AF C --的平面角的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）10
【解析】试题分析：
(1)利用题意证得BD ⊥平面BCF ，结合线面平行的性质和题意有BF DF =.
(2)建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量可求得二面角B AF C --.
试题解析：
解：(1)连接,AC OF ，设AC BD O ⋂=，因为平面ABCD ⊥平面BCF ，且交线为BC ，
因为90BCF ∠=，所以CF ⊥平面ABCD ， CF ⊂平面BCF ，所以平面BCF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面BCF ，所以BD OF ⊥，又BO DO =，所以BF DF =.
(2)解法一：过点D 作DG BC ⊥于点G ，连接GF ，因为平面ABCD ⊥平面BCF ，即直线DF 与平面BCF 所成角为45DFG ∠=，不妨设2BC =
，则DG =G 在BCF 内作CF 的平行线
GH ，则GH ⊥平面ABCD ，以点G 为原点，分别以,,GH GC GD 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直
角坐标系，因为45DFG ∠=
，所以GF CF ==
，则
(()(
))
0,,0,1,0,0,1,0,A B C F
--，
所以(
)(
)
(
)
2,3,3,2,2,0,2,0,0AF BF CF =
-=
=
，
设平面ABF 的法向量为()
,,m x
y z =，则0
{
m FA m FB ⋅=⋅=，所以
3020
y y +=+=，取
2,1,m ⎛=- ⎭
， 同理可得平面AFC 的法向量为(
0,1,3n =， 所以cos ,10
21m n
m
n m n
⋅=
==-
+，因为二面角B AF C --是锐角，所以其余弦值为
解法二：过点O 作OE AF ⊥于点E ，连接BE ，因为平面ABCD ⊥平面ACF ，又AC BD ⊥，所以
BD ⊥平面ACF ，所以BD AF ⊥，即AF ⊥平面BOE
，所以BE AF ⊥，即BEO ∠是二面角
B AF
C --的平面角，过点
D 作DG BC ⊥于点G ，连接GF ，所以DG ⊥平面BCF ，即直线DF
与平面BCF 所成角为45DFG ∠=，不妨设2BC =，则DG GF CF AF ====，因为
AEO ∆∽AFC ∆，所以OE =
1OB =，所以BE =cos 10OE BEO BE ∠==，所
以二面角B AF C --的余弦值为
10
. 点睛：求解二面角与法向量的夹角，利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n 1，n 2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等，还是互补.
20．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点与2y =的焦点重合，点12⎫⎪⎭在椭圆C
上.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l ： y kx m =+（0k ≠）与椭圆C 交于,P Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为
()1,0-，求OPQ ∆面积的最大值（O 为坐标原点）.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）k = 1. 【解析】试题分析：
(1)利用题意求得2
2
4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=；
(2)联立直线与椭圆的方程，结合题意可得面积关于斜率的函数，结合二次函数的性质可得k =三角形面积最大为1. 试题解析：
解：（Ⅰ）抛物线2y =的焦点为
)
，故得c =223a b =+，因点12⎫⎪⎭在椭圆
C 上，所以223114a b
+=，解得22
4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=；
（2）设()()1122,,,P x y Q x y 的中点为()00,x y ，将直线y kx m =+（0k ≠）代入2
214x y +=，得()222148440k x kmx m +++-=，所以()
2216140k m ∆=+->，则()0122
14214km
x x x k =+=-
+， ()0122
1214m
y y y k
=+=-+，因为()1,0-是以PQ 为对角线的菱形的一顶点，且不在椭圆上，所以
00011y x k -=-+，即2314km k =+，解得21
5k >，设O
到直线的距离为d =
1122S d PQ ==
=21
12k =，即k = 1.
21．设函数()sin x f x e x =+（e 为自然对数的底数），()g x ax =， ()()()F x f x g x =-. （1）若0x =是()F x 的极值点，且直线()0x t t =≥分别与函数()f x 和()g x 的图象交于,P Q ，求
,P Q 两点间的最短距离；
（2）若0x ≥时，函数()y F x =的图象恒在()y F x =-的图象上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1（2）(],2-∞ 【解析】试题分析：
(1)利用题意讨论()F x 的性质可得求,P Q 两点间的最短距离为1
(2) 构造函数()()()2sin 2x x x F x F x e e x ax φ-=--=-+-，求解导函数后分类讨论： 故2a ≤时()()F x F x ≥-恒成立.当2a >时，不符合题意， 故符合条件的a 的取值范围是(],2-∞. 试题解析：
（Ⅰ）因为()sin x F x e x ax =+-，所以()'cos x F x e x a =+-，因为0x =是()F x 的极值点，所以
()'0110F a =+-=， 2a =.
又当2a =时，若0x <， ()'cos 1120x F x e x a =+-<+-=，所以()'F x 在()0,+∞上为增函数，所以()()''01120F x F >=+-=，所以0x =是()F x 的极小值点，所以2a =符合题意，所以
sin 2t PQ e t t =+-.令()sin 2x h x e x x =+-，即()'cos 2x h x e x =+-，因为()''sin x h x e x =-，当
0x >时， 1x e >， 1sin 1x -≤≤，所以()''sin 0x h x e x =->，所以()'cos 2x h x e x =+-在()
0,+∞上递增，所以()()'cos 2'00x h x e x h =+->=，∴[)0,x ∈+∞时， ()h x 的最小值为()01h =，所以
min ||1PQ =.
（Ⅱ）令()()()2sin 2x x x F x F x e e x ax φ-=--=-+-，
则()'2cos 2x x x e e x a φ-=-+-， ()()''2sin x x S x x e e x φ-==--，因为()'2cos 0
x x S x e e x -=+-≥当0x ≥时恒成立，所以函数()S x 在[)0,+∞上单调递增，∴()()00S x S ≥=当[)0,x ∈+∞时恒成立；
故函数()'x φ在[)0,+∞上单调递增，所以()()''042x a φφ≥=-在[)0,x ∈+∞时恒成立. 当2a ≤时， ()'0x φ≥， ()x φ在[)0,+∞单调递增，即()()00x φφ≥=.
故2a ≤时()()F x F x ≥-恒成立.
当2a >时，因为()'x φ在[)0,+∞单调递增，所以总存在()00,x ∈+∞，使()x φ在区间[)00,x 上()'0x φ<，导致()x φ在区间[)00,x 上单调递减，而()00φ=，所以当[)00,x x ∈时， ()0x φ<，这
与()()0F x F x --≥对[)0,x ∈+∞恒成立矛盾，所以2a >不符合题意，故符合条件的a 的取值范围是(],2-∞. 22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1{
x cos y sin φφ=+=（φ为参数）.以O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）设直线l
的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭
()00y x -=≥与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.
【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.
【解析】试题分析：
(1)首先得到圆的直角坐标方程，然后整理可得极坐标方程为2cos ρθ=；
(2)联立极坐标方程可得122PQ ρρ=-=.
试题解析：
解：(1)因为1{
x cos y sin φφ=+=，消参得： ()2211x y -+=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；
(2)
()00y x -=≥的极坐标方程是3π
θ=，设点()11,P ρθ，则有：
1112{3cos ρθπθ==，解得111{3ρπθ==，设点()22,Q ρθ，则有：
22223{3
sin πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，解得223{3ρπθ==，
由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2.
23．选修4-5：不等式选讲
设函数()4(0)f x x x a a a
=-++> （1）证明： ()4f x ≥；
（2）若()25f <，求a 的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）a 的取值范围为⎛ ⎝⎭. 【解析】试题分析：
(1)利用题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的结论可证得()4f x ≥；
(2)由题意得到关于实数a 的绝对值不等式，零点分段讨论可得a 的取值范围为⎛ ⎝⎭. 试题解析：
解：（Ⅰ） ()()44444f x x x a x x a a a a a a a ⎛⎫=-
++≥--+=+=+≥= ⎪⎝⎭； （Ⅱ）当2a =时， 4225a a
-++<显然满足； （1）当02a <≤时，不等式化为45a a
+<，即2540a a -+<，所以14a <<，联立求解得12a <≤；
（2）当2a >时，不等式化为240a a --<a <<
联立求解得2a <<，
综上， a 的取值范围为⎛ ⎝⎭.。