《高等应用数学问题的MATLAB求解-第二版》math-chap08.ppt
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高维网格数据的生成：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
例 8.9
假设已知某三元函数
可以通过该函数生成一些网格型样本点， 试根据样本点进行拟合，并给出拟合误差
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
插值并检验结果：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
8.1.6 基于样本数据 点的离散最优化求解
验证结果：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
例 8.2
编写一段程序，允许利用插值方法手工绘 制一条光滑的曲线利用插值方法手工绘制 一条光滑的曲线
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
接上页
需要用户自己选定几个点，然后就能绘制 出一条光滑的曲线 在绘制图形时，若给出vis变量，则绘制的 图形保留样本点处的圆圈，否则在绘制图 形后删去圆圈
是期望的插值位置
表示插值的结果，维数和
一致
‘v4’ 是MATLAB 4.0版本中提供的插值算法.
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
例 8.7
给定
在矩形区域 一组样本点
内随机生成
生成一组 的值，以这些值为已知数据，用 griddata()进行插值处理，并误差分析。
生成并显示已知的样本点：
运用外推法，在区间 函数调用格式为
外的点的插值的
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例 8.1
已知的数据点来自函数 根据生成的数据进行插值处理，得出较平 滑的曲线直接生成数据 MATLAB求解语句：
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调用interp1()函数：
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MATLAB求解语句：
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8.2 样条插值与数 值微积分问题求解
样条插值的MATLAB表示 基于样条插值的数值微积分运算
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
8.2.1 样条插值的MATLAB表示
多变量函数的偏导数的函数调用格式：
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例 8.15
给定
生成一些数据点 用三次分段多项式样条函数与B样条插值函 数，求出该函数的导数 与理论推导结果相比较
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MATLAB求解语句：
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连分式展开式为：
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前8级和10级连分式的有理多项式近似：
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使用 ‘cubic’ 和 ‘v4’ 算法：
比较：
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例 8.8
给定的样本点在x-y平面分布较均匀，现 在人为剔除某些点，表明已知数据分布 不均匀，这时再进行插值分析，观察插 值效果。
绘制曲线：
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8.1.3 二维网格数据的插值问题
二维插值的函数：
其中，
为已知二维数据， 为
插值点构成的新的网格参数， 矩阵为在
所选插值网格点处的函数近似值
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例 8.6
根据下述函数生成一些较稀疏的网格数据 进行各种插值拟合，并比较拟合结果 绘制已知数据的网格图：
对 Lagrange插值
例 8.3
，进行
调用interp1()函数：
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8.1.2 已知样本点的定积分计算
编写MATLAB函数：
函数调用格式：
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例 8.4
利用样条插值算法求解
用30个采样点求解：
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处理多个自变量的网格数据三次样条插值 类：
为自变量的网格标志 网格数据的样本点 得出的S是三次样条函数对象
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例 8.13
给定 用三次样条插值方法得出网格数据的样条 插值拟合，并绘制出曲面 MATLAB求解语句：
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当需要优化的目标函数的原型未知，且有 一些相应的、离散分布样本数据点，则可 以采用样条插值或其他插值方法去拟合目 标函数，从而优化这样的目标函数。
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例 8.10
给定下列函数
假设已经测出了其中一些离散数据点，试 根据这些离散点搜索对应函数的最小值， 并检验所得出的结果
例 8.16
给定 生成一些数据点 利用数值插值的方法拟合曲面 并与解析解法绘制出的曲面相比较
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拟和曲面： 理论方法：
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8.2.2.2 基于样条插 值的数值积分运算
积分函数：
在区间 求取定积分
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由有理近似的函数则可以得出分子和分母 的值
p的4级连分式有理近似为：
p的精确值
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例 8.21
对下列函数进行10级连分式展开 前10级连分式表达式：
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调用Maple的给定函数的连分式展开(CFE)
调入数论包
调用连分式函数，生成cfe变量
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提取前 n 级的分子、分母
由cfe变量提取前n级的分子
由cfe变量提取前n级的分母
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例 8.20
试对p进行20级近似，并找出一个较好的连 分式近似阶次
第8章
数据插值、函数逼近问题的 计算机求解
高等应用数学问题的MATLAB求解
清华大学出版社2008 CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬
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第8章 数据插值、函数 逼近问题的计算机求解
插值与数据拟合 样条插值与数值微积分问题求解 由已知数据拟合数学模型 特殊函数及曲线绘制 信号分析与数字信号处理基础
学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
8.3.2 给定函数的连分式展 开及基于连分式的有理近似
连分式的一般形式：
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Cauer II型连分式：
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比较梯形积分法法和基于插值的方法：
给定5个不均匀分布的采样点：
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样条插值的结果与理论之间的比较：
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例 8.5
已知其中的150个数据点，用quadspln() 函数计算出该定积分的值
求数值解：
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例 8.17
给定 生成一些较稀疏的样本点，再用样条积分 的方式求出定积分及积分函数
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绘制结果曲线：
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8.3 由已知数据拟合数学模型
多项式拟合 给定函数的连分式展开及基于连分式的 有理近似 有理式拟合——Padé近似 函数线性组合的曲线拟合方法 最小二乘曲线拟合
上有连续的一阶及二
定义一个三次样条函数类：
其中， 为样本点
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样条函数对象的插值结果：
图形绘制
计算结果
其中得出的 为 上各点的插值结果
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例 8.11
给定下式和150个已知的样本点，给出稀疏数 据的三次样条插值结果
步骤1： 步骤2：
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8.2.2 基于样条插值 的数值微积分运算
基于样条插值的数值微分运算 基于样条插值的数值积分运算
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8.2.2.1 基于样条插 值的数值微分运算
求单变量k阶导数的函数调用格式：
MATLAB求解语句：
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例 8.12
给定
，生成一
些数据，用三次样条插值的方法对这些数 据进行拟合
MATLAB求解语句：
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分段三次多项式样条插值系数表
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8.3.1 多项式拟合
多项式拟合函数调用格式：
其中：
和 为原始的样本点构成的向量 n 为选定的多项式阶次
为多项式系数按降幂排列得出的行向量
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例 8.18
给定 使用该函数生成一些数据点，并用多项式 拟合的方法在不同的阶次下进行拟合 拟合该数据的3次多项式：
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默认插值算法进行插值：
立方插值和样条插值：
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误差比较：
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8.1.4 二维一般分 布数据的插值问题
griddata() 函数的调用格式：
其中，
是已知的二维样本点
三次样条函数及其MATLAB表示 B样条函数及其MATLAB表示
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8.2.1.1 三次样条函数 及其MATLAB表示
样本点：
其中，
为三次样条函数的三个条件：
每个子区间
上， 为三次多项式
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在整个区间 阶导数
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8.1 插值与数据拟合
一维数据的插值问题 已知样本点的定积分计算 二维网格数据的插值问题 二维一般分布数据的插值问题 高维插值问题 基于样本数据点的离散最优化求解
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8.1.1 一维数据的插值问题
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剔除在以 径的圆内的点
点为圆心，以0.5为半
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用新的样本点拟合出曲面： 误差分析：
误差的等高线图：
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8.1.5 高维插值问题
三维的网格数据生成：
一维插值问题的求解 Lagrange插值算法及应用
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8.1.1.1 一维插值问题的求解
一维插值interp1()函数的调用格式为：
插值方法：
linear：默认方法 cubic：当前版本的MATLAB中改为pchip nearest spline
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8.2.1.2 B 样条函数 及其MATLAB表示
建立B样条插值对象
其中k为用户选定的 B 样条阶次，一般选择 k=4,5
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例 8.14
给定两个函数
生成数据，再进行5次B样条函数拟合，并 与三次分段多项式样条函数拟合的结果相 比较
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接上页：
就不同的次数进行拟合：
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Taylor幂级数展开：
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例 8.19
对下式进行多项式拟合，并观察拟合效果 就不同的多项式阶次进行曲线拟合：
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8.1.1.2 Lagrange插值算法及应用
已知 点，可求出 插值为：
插值算法为
向量上各点处的
MATLAB函数调用格式
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Lagrange插值算法的MATLAB实现
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例 8.9
假设已知某三元函数
可以通过该函数生成一些网格型样本点， 试根据样本点进行拟合，并给出拟合误差
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插值并检验结果：
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8.1.6 基于样本数据 点的离散最优化求解
验证结果：
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例 8.2
编写一段程序，允许利用插值方法手工绘 制一条光滑的曲线利用插值方法手工绘制 一条光滑的曲线
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接上页
需要用户自己选定几个点，然后就能绘制 出一条光滑的曲线 在绘制图形时，若给出vis变量，则绘制的 图形保留样本点处的圆圈，否则在绘制图 形后删去圆圈
是期望的插值位置
表示插值的结果，维数和
一致
‘v4’ 是MATLAB 4.0版本中提供的插值算法.
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例 8.7
给定
在矩形区域 一组样本点
内随机生成
生成一组 的值，以这些值为已知数据，用 griddata()进行插值处理，并误差分析。
生成并显示已知的样本点：
运用外推法，在区间 函数调用格式为
外的点的插值的
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例 8.1
已知的数据点来自函数 根据生成的数据进行插值处理，得出较平 滑的曲线直接生成数据 MATLAB求解语句：
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调用interp1()函数：
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MATLAB求解语句：
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8.2 样条插值与数 值微积分问题求解
样条插值的MATLAB表示 基于样条插值的数值微积分运算
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8.2.1 样条插值的MATLAB表示
多变量函数的偏导数的函数调用格式：
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例 8.15
给定
生成一些数据点 用三次分段多项式样条函数与B样条插值函 数，求出该函数的导数 与理论推导结果相比较
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MATLAB求解语句：
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连分式展开式为：
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前8级和10级连分式的有理多项式近似：
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使用 ‘cubic’ 和 ‘v4’ 算法：
比较：
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例 8.8
给定的样本点在x-y平面分布较均匀，现 在人为剔除某些点，表明已知数据分布 不均匀，这时再进行插值分析，观察插 值效果。
绘制曲线：
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8.1.3 二维网格数据的插值问题
二维插值的函数：
其中，
为已知二维数据， 为
插值点构成的新的网格参数， 矩阵为在
所选插值网格点处的函数近似值
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例 8.6
根据下述函数生成一些较稀疏的网格数据 进行各种插值拟合，并比较拟合结果 绘制已知数据的网格图：
对 Lagrange插值
例 8.3
，进行
调用interp1()函数：
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8.1.2 已知样本点的定积分计算
编写MATLAB函数：
函数调用格式：
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例 8.4
利用样条插值算法求解
用30个采样点求解：
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处理多个自变量的网格数据三次样条插值 类：
为自变量的网格标志 网格数据的样本点 得出的S是三次样条函数对象
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例 8.13
给定 用三次样条插值方法得出网格数据的样条 插值拟合，并绘制出曲面 MATLAB求解语句：
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当需要优化的目标函数的原型未知，且有 一些相应的、离散分布样本数据点，则可 以采用样条插值或其他插值方法去拟合目 标函数，从而优化这样的目标函数。
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例 8.10
给定下列函数
假设已经测出了其中一些离散数据点，试 根据这些离散点搜索对应函数的最小值， 并检验所得出的结果
例 8.16
给定 生成一些数据点 利用数值插值的方法拟合曲面 并与解析解法绘制出的曲面相比较
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拟和曲面： 理论方法：
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8.2.2.2 基于样条插 值的数值积分运算
积分函数：
在区间 求取定积分
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由有理近似的函数则可以得出分子和分母 的值
p的4级连分式有理近似为：
p的精确值
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例 8.21
对下列函数进行10级连分式展开 前10级连分式表达式：
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调用Maple的给定函数的连分式展开(CFE)
调入数论包
调用连分式函数，生成cfe变量
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提取前 n 级的分子、分母
由cfe变量提取前n级的分子
由cfe变量提取前n级的分母
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例 8.20
试对p进行20级近似，并找出一个较好的连 分式近似阶次
第8章
数据插值、函数逼近问题的 计算机求解
高等应用数学问题的MATLAB求解
清华大学出版社2008 CAI课件开发：薛定宇、刘莹莹、董雯彬
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第8章 数据插值、函数 逼近问题的计算机求解
插值与数据拟合 样条插值与数值微积分问题求解 由已知数据拟合数学模型 特殊函数及曲线绘制 信号分析与数字信号处理基础
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8.3.2 给定函数的连分式展 开及基于连分式的有理近似
连分式的一般形式：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
Cauer II型连分式：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
比较梯形积分法法和基于插值的方法：
给定5个不均匀分布的采样点：
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样条插值的结果与理论之间的比较：
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例 8.5
已知其中的150个数据点，用quadspln() 函数计算出该定积分的值
求数值解：
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例 8.17
给定 生成一些较稀疏的样本点，再用样条积分 的方式求出定积分及积分函数
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绘制结果曲线：
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8.3 由已知数据拟合数学模型
多项式拟合 给定函数的连分式展开及基于连分式的 有理近似 有理式拟合——Padé近似 函数线性组合的曲线拟合方法 最小二乘曲线拟合
上有连续的一阶及二
定义一个三次样条函数类：
其中， 为样本点
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样条函数对象的插值结果：
图形绘制
计算结果
其中得出的 为 上各点的插值结果
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例 8.11
给定下式和150个已知的样本点，给出稀疏数 据的三次样条插值结果
步骤1： 步骤2：
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8.2.2 基于样条插值 的数值微积分运算
基于样条插值的数值微分运算 基于样条插值的数值积分运算
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
8.2.2.1 基于样条插 值的数值微分运算
求单变量k阶导数的函数调用格式：
MATLAB求解语句：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
例 8.12
给定
，生成一
些数据，用三次样条插值的方法对这些数 据进行拟合
MATLAB求解语句：
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分段三次多项式样条插值系数表
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8.3.1 多项式拟合
多项式拟合函数调用格式：
其中：
和 为原始的样本点构成的向量 n 为选定的多项式阶次
为多项式系数按降幂排列得出的行向量
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例 8.18
给定 使用该函数生成一些数据点，并用多项式 拟合的方法在不同的阶次下进行拟合 拟合该数据的3次多项式：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
默认插值算法进行插值：
立方插值和样条插值：
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误差比较：
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8.1.4 二维一般分 布数据的插值问题
griddata() 函数的调用格式：
其中，
是已知的二维样本点
三次样条函数及其MATLAB表示 B样条函数及其MATLAB表示
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8.2.1.1 三次样条函数 及其MATLAB表示
样本点：
其中，
为三次样条函数的三个条件：
每个子区间
上， 为三次多项式
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在整个区间 阶导数
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8.1 插值与数据拟合
一维数据的插值问题 已知样本点的定积分计算 二维网格数据的插值问题 二维一般分布数据的插值问题 高维插值问题 基于样本数据点的离散最优化求解
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8.1.1 一维数据的插值问题
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剔除在以 径的圆内的点
点为圆心，以0.5为半
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用新的样本点拟合出曲面： 误差分析：
误差的等高线图：
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8.1.5 高维插值问题
三维的网格数据生成：
一维插值问题的求解 Lagrange插值算法及应用
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8.1.1.1 一维插值问题的求解
一维插值interp1()函数的调用格式为：
插值方法：
linear：默认方法 cubic：当前版本的MATLAB中改为pchip nearest spline
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8.2.1.2 B 样条函数 及其MATLAB表示
建立B样条插值对象
其中k为用户选定的 B 样条阶次，一般选择 k=4,5
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例 8.14
给定两个函数
生成数据，再进行5次B样条函数拟合，并 与三次分段多项式样条函数拟合的结果相 比较
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接上页：
就不同的次数进行拟合：
高等应用数学问题的MATLAB求解 东北大学信息学院
Taylor幂级数展开：
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例 8.19
对下式进行多项式拟合，并观察拟合效果 就不同的多项式阶次进行曲线拟合：
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8.1.1.2 Lagrange插值算法及应用
已知 点，可求出 插值为：
插值算法为
向量上各点处的
MATLAB函数调用格式
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