难点详解沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评试卷

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，ABC的面积为18，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则ADC的面积是（）
A．8 B．10 C．9 D．16
2、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC边中点，则下列结论不正确
．．．的是（）
A．∠B＝∠C B．AD⊥BC C．∠BAD＝∠CAD D．AB＝2BC
3、如图，∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，CB＝CD，则∠B与∠ADC满足的数量关系为（）
A ．∠
B ＝∠ADC
B ．2∠B ＝∠AD
C C ．∠B +∠ADC ＝180°
D ．∠B +∠ADC ＝90°
4、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
5、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D．
6、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．2，3，6 B．2，4，7 C．3，3，5 D．3，3，7
7、已知长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF 上的点B′处，得折痕EM，将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN，则图中与
∠B′ME互余的角有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
9、已知ABC的三边长分别为a，b，c，则a，b，c的值可能分别是（）
A．1，2，3 B．3，4，7
C．2，3，4 D．4，5，10
10、已知等腰三角形有一个角为50°，则这个等腰三角形的底角度数是（）．
A．65°B．65°或80°C．50°或80°D．50°或65°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，点E为AC上一点，将∠C沿DE翻折，使点C落在AB上的点F处，若∠AEF=50°，则∠A的度数为__．
2、如图，已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿DF折叠，点A落在BC边上的点E处，且DE⊥BC于E，若∠A＝56°，则∠AFD的度数为________．
3、如图，△ABC的面积等于35，AE＝ED，BD＝3DC，则图中阴影部分的面积等于 _______
4、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点A落在BC边上的点A'处，若∠B＝35°，则BDA'
∠的度数为___________．
5、如图，在边长为4，面积为ABC
∆中，点D、E分别是BC、AB边的中点，点F是AD 边上的动点，求BF EF
+的最小值___．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在ABC 中，CD 、CE 分别是AB 上的高和中线，2ABC S =△，AE =，求CD 的长．
2、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别同时从A 、B 、C 以同样的速度沿AB 、BC 、CA 方向运动，当点D 运动到点B 时，三个点都停止运动．
（1）在运动过程中△DEF 是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）若运动到某一时刻时，BE =4，∠DEC =150°，求等边△ABC 的周长；
3、已知：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2．求证AB ＝DC ．
4、探究与发现：如图①，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝45°，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且∠ADE
＝∠AED ，连接DE ．
（1）当∠BAD ＝60°时，求∠CDE 的度数；
（2）当点D 在BC （点B 、C 除外）边上运动时，试猜想∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由．
（3）深入探究：如图②，若∠B ＝∠C ，但∠C ≠45°，其他条件不变，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系．
5、（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”，如图1，ABC 中，7,9,10===AC BC AB ，P 为AC 上一点，当AP =_______时，ABP △与CBP 是偏等积三角形；
（2）如图2，四边形ABED 是一片绿色花园，ACB △、DCE 是等腰直角三角形，
()90090∠=∠=︒<∠<︒ACB DCB BCE ．
①ACD △与BCE 是偏等积三角形吗？请说明理由；
②已知60m,=BE ACD 的面积为22100m ．如图3，计划修建一条经过点C 的笔直的小路CF ，F 在BE 边上，FC 的延长线经过AD 中点G ．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．
6、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角AOB ∠．
求作：射线OC ，使AOC BOC ∠=∠．
作法：如图，
①在射线OA 上任取一点D ；
②以点О为圆心，OD 长为半径作弧，交OB 于点E ；
③分别以点D ，E 为圆心，大于12
DE 长为半径作弧，在AOB ∠内，两弧相交于点C ；
④作射线OC ．
则OC 为所求作的射线．
完成下面的证明．
证明：连接CD ，CE
由作图步骤②可知OD =______．
由作图步骤③可知CD =______．
∵OC OC =，
∴OCD OCE ≌△△． ∴AOC BOC ∠=∠（________）（填推理的依据）．
7、针对于等腰三角形三线合一的这条性质，老师带领同学们做了进一步的猜想和证明，提问：如果
一个三角形中，一个角的平分线和它所对的边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：在△ABC 中，AD 平分∠CAB ，交BC 边于点 D ，且CD ＝BD ，
求证：AB ＝AC ．
以下是甲、乙两位同学的作法．
甲：根据角平分线和中线的性质分别能得出一组角等和一组边等，再加一组公共边，可证
△ACD ≌△ABD ，所以这个三角形为等腰三角形；
乙：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，可证△ACD ≌△EBD ，依据已知条件可推出AB ＝AC ，所以这个三角形为等腰三角形
（1）对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（ ）；
A .两人都正确
B .甲正确，乙错误
C .甲错误，乙正确
（2）选择一种你认为正确的作法，并证明．
8、如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，点D 在边AC 上，且线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，点F 是ED 与AB 的交点．
（1）求证：AE CD =；
（2）若40∠=︒DBC ，求BFE ∠的度数．
9、已知：如图，AD ，BE 相交于点O ，AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，垂足分别为B ，D ，OA =OE ．求证：△ABO ≌△EDO ．
10、如图，AD 是ABC 的高，CE 是ADC 的角平分线．若BAD ECD ∠=∠，70B ∠=︒，求CAD ∠的度数．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
延长BD 交AC 于点E ，根据角平分线及垂直的性质可得：BAD EAD ∠=∠，ADB ADE ∠=∠，依据全等三角形的判定定理及性质可得：ABD AED ≌，BD DE =，再根据三角形的面积公式可得：S SSSS =S SSSS ，S SSSS =S SSSS ，得出S SSSS =12S SSSS ，求解即可．
【详解】
解：如图，延长BD 交AC 于点E ，
∵AD 平分BAE ∠，AD BD ⊥，
∴BAD EAD ∠=∠，ADB ADE ∠=∠，
在ABD 和AED 中，
BAD EAD AD AD
ADB ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ABD AED ≌，
∴BD DE =，
∴S SSSS =S SSSS ，S SSSS =S SSSS ，
∴S SSSS =12S SSSS =12×18=9，
故选：C ．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，熟练掌握基础知识，进行逻辑推理是解题关键．
2、D
【分析】
根据等腰三角形的等边对等角的性质及三线合一的性质判断．
【详解】
解：∵AB ＝AC ，点D 是BC 边中点，
∴∠B ＝∠C ，AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，
故选：D ． 【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 3、C 【分析】
由题意在射线AD 上截取AE =AB ，连接CE ，根据SAS 不难证得△ABC ≌△AEC ，从而得BC =EC ，∠B =∠AEC ，可求得CD =CE ，得∠CDE =∠CED ，证得∠B =∠CDE ，即可得出结果． 【详解】
解：在射线AD 上截取AE ＝AB ，连接CE ，如图所示：
∵∠BAD ＝90°，AC 平分∠BAD ， ∴∠BAC ＝∠EAC ， 在△ABC 与△AEC 中，
AC AC BAC EAC AB AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△AEC （SAS ）， ∴BC ＝EC ，∠B ＝∠AEC ， ∵CB ＝CD ， ∴CD ＝CE ， ∴∠CDE ＝∠CED ，
∴∠B ＝∠CDE ， ∵∠ADC +∠CDE ＝180°， ∴∠ADC +∠B ＝180°． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是作出适当的辅助线AE ，CE ． 4、C 【分析】
根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可． 【详解】
解：∵ABC DEC ≌△△， ∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ， ∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ， ∵75B ∠=︒，
∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 5、C 【分析】
根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】
由题可知，第三个内角的度数为180514980
︒-︒-︒=︒，
A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；
B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；
C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；
D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6、C
【分析】
根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解．
【详解】
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
解：A、因为2356
B、因为2467
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
+=>，所以能组成三角形，故本选项符合题意；
C、因为3365
+=<，所以不能组成三角形，故本选项不符合题意；
D、因为3367
故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
7、C
【分析】
先由翻折的性质得到∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM，从而可知∠NEM=1
2
×180°=90°，然后根据余
角的定义找出∠B′ME的余角即可．
【详解】
解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠A′EN，∠BEM=∠B′EM．
∠NEM=∠A′EN+∠B′EM=1
2
∠AEA′+
1
2
∠B′EB=
1
2
×180°=90°．
由翻折的性质可知：∠MB′E=∠B=90°．
由直角三角形两锐角互余可知：∠B′ME的一个余角是∠B′EM．
∵∠BEM=∠B′EM，
∴∠BEM也是∠B′ME的一个余角．
∵∠NBF+∠B′EM=90°，
∴∠NEF=∠B′ME．
∴∠ANE、∠A′NE是∠B′ME的余角．
综上所述，∠B′ME的余角有∠ANE、∠A′NE、∠B′EM、∠BEM．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．8、B
【分析】
根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．【详解】
如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线
∵AD=CD=BD
∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180
即2∠A+2∠B=180°
∴∠A+∠B=90°
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形
故选：B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．9、C
【分析】
三角形的三边应满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此求解．【详解】
解：A、1+2＝3，不能组成三角形，不符合题意；
B、3+4＝7，不能组成三角形，不符合题意；
C、2+3＞4，能组成三角形，符合题意；
D、4+5＜10，不能组成三角形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，满足两条较小边的和大于最大边即可．
10、D
【分析】
50︒可以是底角，也可以是顶角，分情况讨论即可．
【详解】
当50︒角为底角时，底角就是50︒，
︒-︒÷=︒，
当50︒角为等腰三角形的顶角时，底角为(18050)265
因此这个等腰三角形的底角为50︒或65︒．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
二、填空题
1、65°度
【分析】
由点D为BC边的中点，得到BD=CD，根据折叠的性质得到DF=CD，∠EFD=∠C，得到DF=BD，根据等腰三角形的性质得到∠BFD=∠B，由三角形的内角和和平角的定义得到∠A=∠AFE，于是得到结论．【详解】
解：∵点D为BC边的中点，
∴BD=CD，
∵将∠C 沿DE 翻折，使点C 落在AB 上的点F 处， ∴DF =CD ，∠EFD =∠C ， ∴DF =BD ， ∴∠BFD =∠B ，
∵∠A =180°-∠C -∠B ，∠AFE =180°-∠EFD -∠DFB ， ∴∠A =∠AFE ， ∵∠AEF =50°，
∴∠A =12
（180°-50°）=65°． 故答案为：65°． 【点睛】
本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键． 2、48°48度 【分析】
先求出∠ABC 和∠ACB 的度数，再利用直角三角形的性质得出∠BDE 的度数，根据由翻折的性质可得：ADF EDF ∠=∠，最后利用三角形的内角和定理得出结论． 【详解】
解：∵AB ＝AC ，∠A ＝56° ∴18056622
ABC ACB ︒-︒
∠=∠==︒， ∵DE ⊥BC ，
∴90906228BDE ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 由折叠的性质可得：ADF EDF ∠=∠，
∵180BDE ADF EDF ∠+∠+∠=︒， ∴18028762
ADF EDF ︒-︒
∠=∠=
=︒， ∴∠AFD =180°-∠A -∠ADF =180°-56°-76°=48°， 故答案为：48°． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，直角三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握这些性质． 3、15 【分析】
连接DF ，根据AE ＝ED ，BD ＝3DC ，可得12
ABE
BDE
ABD
S
S
S ==
，AEF
DEF
S
S
=，3ABD
ADC
S
S
= ，
3BDF
CDF
S
S
=，然后设△AEF 的面积为x ，△BDE 的面积为y ，则DEF S x =△，BDF
S x y =+，ABE
S y =，
()1
3
CDF
S
x y =
+，再由△ABC 的面积等于35，即可求解． 【详解】
解：如图，连接DF ，
∵AE ＝ED ， ∴12
ABE BDE ABD
S
S
S == ，AEF
DEF
S
S
=，
∵BD ＝3DC ，
∴3ABD
ADC
S
S
= ，3BDF
CDF
S
S
=
设△AEF 的面积为x ，△BDE 的面积为y ，则DEF S x =△，BDF
S x y =+，ABE
S
y =，()1
3
CDF
S
x y =
+， ∵△ABC 的面积等于35， ∴()1
353
x x y y x y ++++
+= ， 解得：15x y += ． 故答案为：15 【点睛】
本题主要考查了与三角形中线有关的面积问题，根据题意得到12
ABE
BDE
ABD
S
S
S ==
，AEF
DEF
S
S
=，
3ABD
ADC
S
S
= ，3BDF
CDF
S
S
=是解题的关键．
4、20°度 【分析】
先根据三角形内角和求出∠A ，利用翻折不变性得出55CA D A ∠'=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可解决问题． 【详解】
解：90ACB ∠=︒，∠B ＝35°，
180180903555A ACB B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
CDA '△是由CDA 翻折得到，
55CA D A ∴∠'=∠=︒，
20CA D B BDA B ∠'=∠+∠'=∠+︒，
553520BDA CA D B ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒．
故答案为：20°．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5、
【分析】
连接CE，交AD于点F，连接BF，则BF EF
+的最小值为CE，再由已知求出CE的长即可．
【详解】
解：连接CE，交AD于点F，连接BF，
∆是等边三角形，D是BC边中点，
ABC
∴点与C点关于AD对称，
B
∴=，
BF CF
∴+=+，
BF EF CF EF CE
∴+的最小值为CE，
BF EF
E是AB的中点，
∴⊥，
CE AB
4AB =，ABC ∆的面积为
CE ∴=
BF EF ∴+的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，将军饮马河原理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．
三、解答题
1、6cm
【分析】
先根据中线的定义结合已知条件求得AB ，然后再运用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
解：∵CE 是AB 边上的中线，
∴E 是AB 的中点，
∴2AB AE ==， ∵12ABC
S CD AB =⋅， ∴2ABC CD AB S ⋅=△，
∴2ABC S CD AB =
△6(cm)=. 【点睛】
本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的
关键.
2、（1）△DEF 是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC 的周长为18
【分析】
（1）利用△DEF 是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证EBD FCE ∆∆≌和
ECF FAD ∆∆≌，进而证明==DE EF FD ，最后即可说明△DEF 是等边三角形．
（2）利用题（1）的条件即∠DEC =150°，得出DEB ∆是含30角的直角三角形，求出
122
BD BE ==，最后求解出等边△ABC 的BC 长，最后即可求出等边△ABC 的周长． 【详解】
（1）解：△DEF 是等边三角形，
证明：由点D 、E 、F 的运动情况可知：AD BE CF ==，
△ABC 是等边三角形，
60A B C ∴∠=∠=∠=︒,AB BC CA ==，
BD AB AD BC BE CE ∴=-=-=,
CE BC BE CA CF AF =-=-=，
在EBD ∆与FCE ∆中，
BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()EBD FCE SAS ∴∆∆≌，
DE EF ∴=，
同理可证ECF FAD ∆∆≌，进而有=EF FD ，
DE EF FD ∴==，
故△DEF 是等边三角形．
（2）解：由（1）可知△DEF 是等边三角形，且EBD FCE ∆∆≌，
60DEF ∴∠=︒，BDE CEF ∠=∠，BD CE =，
150DEC ∠=︒，
90BDE CEF DEC DEF ∴∠=∠=∠-∠=︒，
在Rt DEB ∆中，9030DEB B ∠=︒-∠=︒，
122
BD BE ∴==， 6BC BE CE BE BD ∴=+=+=，
AB BC CA ==，
∴等边△ABC 的周长为318BC =．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含30角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含30角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．
3、见解析
【分析】
由“ASA ”可证△ABO ≌△DCO ，可得结论．
【详解】
证明：如图，记,AC BD 的交点为,O
∵∠ABC ＝∠DCB ，∠1＝∠2，
又∵∠OBC＝∠ABC−∠1，∠OCB＝∠DCB−∠2，∴∠OBC＝∠OCB，
∴OB＝OC，
在△ABO和△DCO中，
12
OB OC
AOB DOC
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
∴AB＝DC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．4、（1）30°；（2）∠BAD＝2∠CDE，理由见解析；（3）∠BAD＝2∠CDE．
【分析】
（1）根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；
（2）设∠BAD＝x，根据三角形的外角的性质求出∠ADC，结合图形计算即可；（3）设∠BAD＝x，仿照（2）的解法计算．
【详解】
解：（1）∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝105°，
∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝∠AED＝75°，
∴∠CDE＝105°﹣75°＝30°；
（2）∠BAD＝2∠CDE，
理由如下：设∠BAD＝x，
∴∠ADC ＝∠BAD +∠B ＝45°+x ，
∠DAE ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝90°﹣x ，
∴∠ADE ＝∠AED ＝902
x ︒+， ∴∠CDE ＝45°+x ﹣902
x ︒+＝12x ， ∴∠BAD ＝2∠CDE ；
（3）设∠BAD ＝x ，
∴∠ADC ＝∠BAD +∠B ＝∠B +x ，
∠DAE ＝∠BAC ﹣∠BAD ＝180°﹣2∠C ﹣x ，
∴∠ADE ＝∠AED ＝∠C +12x ，
∴∠CDE ＝∠B +x ﹣（∠C +12x ）＝12x ，
∴∠BAD ＝2∠CDE ．
【点睛】
本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形内角和和外角性质，通过设参数计算，发现角之间的关系
5、（1）72；（2）①ACD △与BCE 是偏等积三角形，理由见详解；②修建小路的总造价为42000元
【分析】
（1）当AP CP =时，则72AP =，证ABP CBP S S ∆∆=，再证ABP ∆与CBP ∆不全等，即可得出结论；
（2）①过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，证()ACM BCN AAS ∆∆≌，得AM BN =，则ACD BCE S S ∆∆=，再证ACD ∆与BCE ∆不全等，即可得出结论；②过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，证得()AGN DGC AAS ∆∆≌，得到AN CD =，再证()ACN CBE SAS ∆∆≌，得ACN CBE ∠=∠，由余角的性质可证CF BE ⊥，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得12BCE S BE CF ∆=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==，求出
70()CF m =，即可求解．
【详解】
解：（1）当72AP CP ==时，ABP ∆与CBP ∆是偏等积三角形，理由如下：
设点B 到AC 的距离为h ，则1
2ABP S AP h ∆=⋅，12CBP S CP h ∆=⋅，
ABP CBP S S ∆∆∴=，
10AB =，7BC =，
AB BC ∴≠，
AP CP =、PB PB =，
ABP ∴∆与CBP ∆不全等，
ABP ∴∆与CBP ∆是偏等积三角形， 故答案为：72
；
（3）①ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，理由如下：
过A 作AM DC ⊥于M ，过B 作BN CE ⊥于N ，如图3所示：
则90AMC BNC ∠=∠=︒，
ACB ∆、DCE ∆是等腰直角三角形，
90ACB DCE ∴∠=∠=︒，AC BC =，CD CE =，
3603609090180BCN ACD ACB DCE ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
180ACM ACD ∠+∠=︒，
ACM BCN ∴∠=∠，
在∆ACM 和BCN ∆中，
AMC BNC ACM BCN AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACM BCN AAS ∴∆∆≌，
AM BN ∴=，
12ACD S CD AM ∆=⋅，1
2
BCE S CE BN ∆=⋅， ACD BCE S S ∆∆∴=，
180BCE ACD ∠+∠=︒，090BCE ︒<∠<︒，
ACD BCE ∴∠≠∠，
CD CE =，AC BC =，
ACD ∴∆与BCE ∆不全等，
ACD ∴∆与BCE ∆是偏等积三角形；
②如图4，过点A 作//AN CD ，交CG 的延长线于N ，
则N GCD ∠=∠， G 点为AD 的中点，
AG GD ∴=，
在AGN ∆和DGC ∆中，
N GCD AGN DGC AG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AGN DGC AAS ∴∆∆≌，
AN CD ∴=，
CD CE =，
AN CE ∴=，
//AN CD ，
180CAN ACD ∴∠+∠=︒，
90ACB DCE ∠=∠=︒，
3609090180ACD BCE ∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，
BCE CAN ∴∠=∠，
在ACN ∆和CBE ∆中，
AN CE CAN BCE AC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACN CBE SAS ∴∆∆≌，
ACN CBE ∴∠=∠，
1809090ACN BCF ∠+∠=︒-︒=︒，
90CBE BCF ∴∠+∠=︒，
90BFC ∴∠=︒，
CF BE ∴⊥．
由①得：ACD ∆与BCE ∆是偏等积三角形，
12
BCE S BE CF ∆∴=⋅，2100BCE ACD S S ∆∆==， 22210070()60BCE S CF m BE ∆⨯∴=
==， ∴修建小路CF 的总造价为：6007042000⨯=（元)．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACM BCN ∆∆≌和ACN CBE ∆∆≌是解题的关键，属于中考常考题型．
6、OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【分析】
根据圆的半径相等可得OD =OE ，CD =CE ，再利用SSS 可证明OCD OCE ≌
△△，从而根据全等三角形的性质可得结论．
【详解】
证明：连接CD ，CE
由作图步骤②可知OD =___OE ___．
由作图步骤③可知CD =__CE ___．
∵OC OC =，
∴OCD OCE ≌
△△． ∴AOC BOC ∠=∠（__全等三角形对应角相等__）
故答案为：OE ； CE ；全等三角形的对应角相等
【点睛】
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．
7、（1）C ；（2）见解析
【分析】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，没有边边角的判定，故错误，而乙的证明则正确，因此可作出判断；
（2）按照乙的分析方法进行即可．
【详解】
（1）甲同学证明的两个三角形全等，边边角不能判定两个三角形全等，故错误，而乙的证明则正确，
故选C ；
（2）依据题意，延长AD 至E ，使DE ＝AD ，连接BE ，如图．
∵D 为BC 中点．
∴BD CD =．
在△CAD 和△BED 中
DE AD ADC EDB BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△CAD ≌△BED (SAS )．
∴DAC E ∠=∠，BE AC =
∵AD 平分∠BAC ，
∴BAD CAD ∠=∠
∴DAB E ∠=∠
∴BE AB =
∴AB ＝AC
∴△ABC 为等腰三角形
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是构造辅助线得到全等三角形．
8、（1）见解析；（2）110︒
【分析】
（1）由旋转的性质可得BD BE =，120EBD ∠=︒，再证明DBC ABE ∠=∠，结合,AB BC = 从而可得结论；
（2）由ABE △≌CBD 可得40DBC ABE ∠==∠︒，再利用等腰三角形的性质求解
30BED BDE ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理可得答案.
【详解】
证明：（1）∵线段BD 绕着点B 按逆时针方向旋转120°能与BE 重合，
∴BD BE =，120EBD ∠=︒，
∵AB BC =，120ABC ∠=︒，
∴120ABD DBC ABD ABE ∠+∠=∠+∠=︒，
∴DBC ABE ∠=∠，
∴ABE △≌CBD （S A S ），
∴AE CD =．
（2）解：由（1）知ABE △≌CBD
∴ 40DBC ABE ∠==∠︒，BD BE =，120EBD ∠=︒， ∴()1180120302
BED BDE ∠=∠=︒-︒=︒， ∴1801803040110BFE BED ABE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应边相等，对应角相等”是解本题的关键.
9、见解析
【分析】
利用AAS 即可证明△ABO ≌△EDO ．
【详解】
证明：∵AB ⊥BE ，DE ⊥AD ，
∴∠B =∠D =90°．
在△ABO 和△EDO 中
,,B D AOB EOD OA OE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABO ≌△EDO ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 10、50︒
【分析】
AD 是ABC 的高，有90ADB ADC ∠=∠=︒；由70B ∠=︒知20BAD ∠=︒；CE 是ADC 的角平分线可得12
ECD ACD ∠=∠；20BAD ECD ∠=∠=︒，40ACD ∠=︒；在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒． 【详解】
解：∵AD 是ABC 的高
∴90ADB ADC ∠=∠=︒
∵70B ∠=︒
∴20BAD ∠=︒
∵CE 是ADC 的角平分线 ∴12ECD ACD ∠=∠
∵20BAD ECD ∠=∠=︒
∴40ACD ∠=︒
∴在ACD △中，904050CAD ∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．。