人教新课标版数学高一A版必修2知识必备 3.2.1直线的点斜式方程直线的两点式方程

3.2 直线的方程
3.2.1 直线的点斜式方程
3.2.2 直线的两点式方程
3.2.3 直线的一般式方程
知识梳理
1.由直线上一定点及其斜率确定的方程叫做直线的点斜式方程,简称点斜式.它的方程是y-y 0=k(x-x 0),应用时应注意斜率k 存在.
2.由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的方程叫做斜截式方程,简称斜截式.它的方程是y=kx+b,应用时应注意斜率k 存在.
3.经过两定点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线方程叫做两点式方程,简称两点式.它的方程是1
21121x x x x y y y y --=--,使用时应注意x 1≠x 2且y 1≠y 2.若x 1=x 2,或y 1=y 2,此时过这两点的直线方程是x=x 1或y=y 1.
4.经过两定点(a,0),(0,b)的直线方程叫做截距式方程,简称截距式,它的方程是b y a x +=1.应注意a≠0且b≠0.
5.把关于x 、y 的二元一次方程Ax+By+c=0叫做一般式方程,简称一般式.应用时应注意A,B 不同时为零.若一般式化为点斜式、两点式,由于取点不同,得到的方程也不相同.
知识导学
要学好本节内容,首先要明确确定一条直线的几何要素,即直线上一点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线,两点也可以确定一条直线.
根据所给的几何要素,明确各种形式的适用范围,确定直线的方程是本节的重点,也是难点,切记不要漏掉直线的特殊情况.直线方程的各种形式之间可相互转化,如给定两点,除了直接用两点式求直线方程外,还可用点斜式求直线的方程,若两点是直线与坐标轴的交点,还可用截距式写直线的方程.
一般地,点斜式常用于求过定点的问题;斜截式常用于判定直线的位置关系;截距式常用于画方程的直线等.在直线的斜截式和截距式中的截距不是距离,而是一个数量,它可正、可负、也可为零.
疑难突破
1.直线的点斜式方程.
剖析:若直线l 经过点P 0(x 0,y 0),且斜率为k,求直线l 的方程.设点P(x,y)是直线l 上不同于点P 0的任意一点,根据经过两点的直线的斜率公式,得k=0
0x x y y --,可化为y-y 0=k(x-x 0). 注意:(1)如果直线l 过点P 0(x 0,y 0)且与y 轴垂直,这时倾斜角为0°,即k=0,由点斜式得y=y 0.
(2)如果直线过点P 0(x 0,y 0)且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°,斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示,这时直线方程表示为x=x 0.
(3)经过点P 0(x 0,y 0)的直线有无数条,可分为两类:
①斜率存在的直线,方程为y-y 0=k(x-x 0);
②斜率不存在的直线,方程为x=x 0.
一般来说,以一个方程的解为坐标的点都是某一条直线上的点,反过来,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线. 由于过点P 0(x 0,y 0)的斜率为k 的直线的点都满足方程y-y 0=k(x-x 0),同时,满足该方程的点
都在过点P 0(x 0,y 0),斜率为k 的直线上,且该方程是由点的坐标和直线的斜率确定的,所以该方程叫做直线的点斜式方程.
2.直线方程的截距式和两点式之间有什么关系?用这两种方法表示直线时有什么局限性? 剖析:已知直线l 上两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),且x 1≠x 2,y 1≠y 2,则直线l 的方程为121121x x x x y y y y --=-- (x 1≠x 2,y 1≠y 2).
由于该方程是由直线上两点确定的,它又叫直线的两点式方程.
特别地,若直线l 与x 轴的交点为(a,0),与y 轴的交点为(0,b),(其中a≠0,b≠0),
因为直线l 经过A(a,0)、B(0,b)两点,
将这两点的坐标代入两点式,得
a a x
b y --=--000, 整理得b
y a x +=1, 此即直线AB 的方程.
我们经常称a 为直线在x 轴上的截距,b 为直线在y 轴上的截距.以上直线方程是由直线在x 轴、y 轴上的截距确定的,所以叫做直线方程的截距式.显然,截距式是两点式的特例. 直线的两点式和截距式中,要使方程有意义,必须保证其分母不为零,即直线的两点式和截距式既不能表示与x 轴垂直的直线,也不能表示与y 轴垂直的直线.特别地,直线的截距式还不能表示过原点的直线.当用待定系数法求在两坐标轴上截距相等的直线方程时,若设成截距时,要注意直线过原点的情况.
截距可取一切实数,即可为正数、零、负数;在此要区分开截距与距离,距离必须大于或等于零.
求截距的方法:在直线l 的方程中,令x=0,解出y 的值,可得直线l 的纵截距.令y=0,解出x 的值,可得直线l 的横截距.
3.如何理解直线方程的一般形式？
剖析:(1)两个独立的条件可求一般式方程.
求直线方程,表面上需求A 、B 、C 三个系数,由于A 、B 不同时为零,若A≠0,则方程化为x+A B y+A C =0,只需确定A B 、A C 的值;若B≠0,则方程化为B C y B A ++=0,只需确定B A 、B C 的值.因此只要给出两个条件,就可以求出直线方程.
(2)直线方程的其他形式都可以化成一般形式,解题时,如果没有特殊说明,应把最后结果化为一般式,一般式也可以化为其他形式.
一般式化斜截式的步骤:
①移项By=-Ax-C;
②当B≠0时,得y=B
C x B A --. 一般式化截距式的步骤:
①把常数项移到方程右边Ax+By=-C;
②当C≠0时,方程两边同除以-C,得C
By C Ax -+-=1. 若已知条件告诉了我们曲线的种类和方程的具体形式,或通过分析题目的条件判断出了曲线的种类和方程的具体形式,可先设出曲线的方程,再确定方程中的参数,这种求曲线方程的方法叫做待定系数法.
直线的一般式方程与其他四种直线方程的一个不同点是:直线的一般式方程能够表示平面上所有的直线,而其他四种方程都不能表示与x轴垂直的直线.
对二元一次方程应从代数与几何两个角度去理解.在代数中,我们研究方程,着重研究方程的解.建立直角坐标系后,应把方程的解看成平面直角坐标系中的一个点,这些点的集合组成一条直线.直角坐标系把直线与方程联系起来.。