陕西省西安中学2016届高三上学期第三次数学模拟试卷(理科) 含解析

2015—2016学年陕西省西安中学高三(上）第三次数学模拟试卷
(理科）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x｜x＞1},集合B={a+2}，若A∩B=∅,则实数a的取值范围是（) A．（﹣∞,﹣1］B．（﹣∞，1］C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞)
2．复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则｜z1•z2｜=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．“∀n∈N＊,a=a n a n
”是“数列{a n｝为等比数列"的（）
+2
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为,在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）
A．3+2 B．6+4 C．6 D．10
5．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n},若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是（)
A．13，12 B．13，13 C．12，13 D．13，14
6．在等比数列｛a n}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（）
A．135 B．100 C．95 D．80
7．已知向量=(x﹣1，2），=（4,y）,若⊥，则9x+3y的最小值为（）
A．2 B． C．6 D．9
8．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为,则这个三角形的周长为（)
A．15 B．18 C．21 D．24
9．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2,则椭圆mx2+ny2=1的离心率为() A．B．C．D．
10．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,﹣1)，B（π，﹣1），C（π,1)，D（0,1）,正弦曲线f(x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（)
A．B．C．D．
11．函数f（x)的定义域为［﹣1，1]，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为［﹣1,2］,图象如图2所示．A={x｜f（g（x））=0｝,B={x|g(f（x)）=0}，则A∩B中元素的个数为（)
A．1 B．2 C．3 D．4
12．设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0∈D，使f（x0）=﹣x0，则称x0是f(x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f(x)=ax2﹣3x﹣a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是(）
A．（﹣∞，0）B．(0,）C．[，+∞) D．（﹣∞，］
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为．
14．（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于．（用数值作答)
15．已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a)=f
（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是．
16．给出如下四个命题:
（1）图①中的阴影部分可用集合｛（x，y)｜x2+y2﹣2y＜0}
（2）设两个正态分布N（μ1,σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）(σ2＞0曲线如图②所示,则μ1
＜μ2，σ1＜σ2
（3）已知边长为2的等边三角形ABC，过C作BC的垂线l，如图③，则将△ABC绕l旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是2π
（4）执行如图④所示的程序框图，输出S的值是﹣．
其中正确命题的序号是．
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，0＜β＜＜α＜π
(I）证明：cos(α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（II）若α=，cos（α﹣β）=，求sin2β的值．
18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=,AA1=2，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．
（1）证明：CD⊥AB1；
(2)若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．
19．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数:f1（x）=x3，f2（x）=5|x｜，f3（x）=2，f4（x）=,f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx．
（Ⅰ)从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率;
（Ⅱ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
20．已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′,点M满足=，当P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ)求曲线E的方程；
(Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．
21．已知函数f(x）=．
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；
（Ⅱ）若当x＞0时,f（x）＞恒成立，求正整数k的最大值．
［选修4-1：几何证明选讲]
22．如图,等腰梯形ABDC内接于圆，过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．
（Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求证：BE=EF．
［选修4—4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π)，曲线C的极坐标方
程为ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1),直线l与曲线C相交于A、B两点，并且,求tanα的值．
［选修4—5：不等式选讲]
24．设函数f(x）=｜x﹣|+|x﹣a｜，x∈R．
(Ⅰ）求证：当a=﹣时，不等式lnf（x)＞1成立．
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立,求实数a的最大值．
2015-2016学年陕西省西安中学高三（上）第三次数学模
拟试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A={x|x＞1}，集合B=｛a+2}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是(）A．（﹣∞，﹣1］B．（﹣∞，1］C．［﹣1，+∞）D．[1，+∞)
【考点】交集及其运算．
【分析】由A与B,以及两集合的交集为空集,确定出a的范围即可．
【解答】解：∵A={x|x＞1｝，集合B={a+2｝,若A∩B=∅,
∴a+2≤1，即a≤﹣1，
则实数a的范围为(﹣∞，﹣1］,
故选:A．
2．复数z1=cosx﹣isinx,z2=sinx﹣icosx,则|z1•z2|=(）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数,然后求解复数的模．
【解答】解：复数z1=cosx﹣isinx,z2=sinx﹣icosx，则z1•z2=cosxsinx﹣cosxsinx+i（﹣cos2x﹣sin2x）=﹣i．
则|z1•z2｜=1．
故选：A．
3．“∀n∈N*，a=a n a n
”是“数列{a n}为等比数列”的（）
+2
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质进行判断即可．
，但数列{a n｝不是等比数列，即充分性不成立，【解答】解：若a n=0，则满足a=a n a n
+2
反之若数列｛a n｝为等比数列，则∀n∈N＊，a=a n a n
，成立,即必要性不成立，
+2
"是“数列｛a n}为等比数列”的必要不充分条件，
即“∀n∈N*，a=a n a n
+2
故选：B．
4．某长方体的三视图如图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为,在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）
A．3+2 B．6+4 C．6 D．10
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】设长方体的长，宽，高分别为x，y，z,根据已知求出长宽高,代入长方体表面积公式，可得答案．
【解答】解：设长方体的长，宽,高分别为x，y，z，
由题意得：，
解得：，
故该长方体的表面积S=2（xy+xz+yz）=6+4,
故选：B．
5．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列｛a n}，若a3=8，且a1，a3，a7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）
A．13，12 B．13,13 C．12，13 D．13，14
【考点】等差数列与等比数列的综合；众数、中位数、平均数．
【分析】由题设条件,一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列｛a n}，若a3=8,且a1，a3，a7成等比数列，设出公差为d，用公差与a3=8表示出a1,a7再由等比数列的性质建立方程求出公差，即可得到样本数据，再由公式求出样本的平均数和中位数
【解答】解：设公差为d，由a3=8，且a1,a3，a7成等比数列,可得64=（8﹣2d）（8+4d）=64+16d ﹣8d2，即，0=16d﹣8d2，又公差不为0，解得d=2
此数列的各项分别为4,6,8，10，12，14，16，18，20,22，
故样本的中位数是13，平均数是13
故答案为B
6．在等比数列｛a n}中,如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（）
A．135 B．100 C．95 D．80
【考点】等比数列的性质．
【分析】根据等比数列{a n}的性质可知，S2,S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列，进而根据a1+a2和a3+a4的值求得此新数列的首项和公比，进而利用等比数列的通项公式求得S8﹣S6的值．
【解答】解：利用等比数列{a n}的性质有S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列,
∴S2=40,S4﹣S2=a3+a4=60,则S6﹣S4=90,S8﹣S6=135
故a7+a8=S8﹣S6=135．
故选A
7．已知向量=（x﹣1,2），=（4,y），若⊥，则9x+3y的最小值为（）
A．2 B． C．6 D．9
【考点】基本不等式;数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由于⊥⇔=0，即可得出x，y的关系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．
【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）•（4,y)=0,化为4（x﹣1）+2y=0,即2x+y=2．
∴9x+3y≥===6,当且仅当2x=y=1时取等号．
故选C．
8．已知三角形△ABC的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为,则这个
三角形的周长为(）
A．15 B．18 C．21 D．24
【考点】余弦定理．
【分析】根据三角形ABC三边构成公差为2的等差数列，设出三边为a，a+2，a+4,根据最大角的正弦值求出余弦值，利用余弦定理求出a的值，即可确定出三角形的周长．
【解答】解:根据题意设△ABC的三边长为a,a+2，a+4,且a+4所对的角为最大角α，
∵sinα=，∴cosα=或﹣,
当cosα=时,α=60°,不合题意，舍去；
当cosα=﹣时，α=120°，由余弦定理得：cosα=cos120°==﹣，
解得：a=3或a=﹣2（不合题意，舍去），
则这个三角形周长为a+a+2+a+4=3a+6=9+6=15．
故选：A．
9．已知双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，则椭圆mx2+ny2=1的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】双曲线、椭圆方程分别化为标准方程,利用双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的离心率为2，可得m=3n，从而可求椭圆mx2+ny2=1的离心率．
【解答】解：双曲线mx2﹣ny2=1化为标准方程为:
∵双曲线mx2﹣ny2=1（m＞0,n＞0）的离心率为2，
∴
∴m=3n
椭圆mx2+ny2=1化为标准方程为：
∴椭圆mx2+ny2=1的离心率的平方为=
∴椭圆mx2+ny2=1的离心率为
故选C．
10．如图,矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B(π，﹣1），C（π，1），D（0,1）,正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x)=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点,则该点落在阴影区域内的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【分析】利用定积分计算公式,算出曲线y=sinx与y=cosx围成的区域包含在区域D内的图形面积为S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．
【解答】解根据题意，可得曲线y=sinx与y=cosx围成的区域，
其面积为（sinx﹣cosx）dx=（﹣cosx﹣sinx）｜=1﹣（﹣）=1+;
又矩形ABCD的面积为2π，
由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；
故选B．
11．函数f（x)的定义域为[﹣1，1],图象如图1所示；函数g（x）的定义域为［﹣1，2]，图象如图2所示．A={x｜f（g(x））=0｝，B=｛x|g（f（x））=0}，则A∩B中元素的个数为(）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数的图象；交集及其运算．
【分析】结合图象，分别求出集合A,B，再根据交集的定义求出A∩B,问题得以解决．
【解答】解：由图象可知，
若f（g（x））=0，
则g（x）=0或g（x）=1，
由图2知，g（x）=0时，x=0,或x=2，
g（x）=1时,x=1或x=﹣1
故A=｛﹣1，0，1,2｝,
若g（f（x）)=0，
由图1知，f(x）=0,或f（x）=2(舍去)，
当f（x）=0时,x=﹣1或0或1，
故B=｛﹣1,0，1｝，
所以A∩B=｛﹣1，0，1}，
则A∩B中元素的个数为3个．
故选：C．
12．设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D,使f（x0）=﹣x0,则称x0是f(x）
的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax2﹣3x﹣a+在区间［1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．（0，) C．[，+∞）D．（﹣∞，]
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据“f（x)在区间D上有次不动点”当且仅当“F(x）=f(x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈［1,4］，使F（x）=f(x）+x=ax2﹣2x﹣a+=0，讨论将a分离出来，利用
导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
【解答】解:依题意,存在x∈[1,4］，
使F(x）=f（x)+x=ax2﹣2x﹣a+=0，
当x=1时，使F(1）=≠0；
当x≠1时,解得a=，
∴a′==0，
得x=2或x=,(＜1，舍去），
x （1,2） 2 （2，4）
a′+0 ﹣
a ↗最大值↘
∴当x=2时,a最大==，
所以常数a的取值范围是(﹣∞，]，
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知抛物线y=ax2的准线方程是y=﹣，则实数a的值为1．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先化抛物线y=ax2为标准方程:x2=y，得到焦点坐标为F（0，），准线方程:y=﹣，再结合题意准线方程为,比较系数可得a=1．
【解答】解：∵抛物线y=ax2化成标准方程为x2=y,
∴2p=,可得=,焦点坐标为F（0，）,准线方程：y=﹣
再根据题意,准线方程为，
∴﹣=﹣，可得a=1
故答案为：1
14．（x+y+z）8的展开式中项x3yz4的系数等于280．(用数值作答）
【考点】二项式定理的应用．
【分析】由条件利用二项式的意义以及组合的知识，求得展开式中x3yz4的系数．
【解答】解：（x+y+z）8的展开式表示8个因式（x+y+z）的积，
故展开式中项x3yz4，即这8个因式中任意选出3个取x，从剩下的5个中任意选4个取z，最后的一个取y，即可得到含项x3yz4的项，
故x3yz4的系数为等于••=280，
故答案为:280．
15．已知函数，若实数a、b、c互不相等，且满足f（a）
=f（b）=f（c)，则a+b+c的取值范围是（8，23)．
【考点】余弦函数的对称性；分段函数的应用．
【分析】作出函数f（x）的图象，根据f（a）=f（b）=f（c)，确定a，b,c的范围，即可得出a+b+c的取值范围．
【解答】解：作出f（x)的函数图象,如图:
令log(x﹣3）+1=1,解得x=4．
令log（x﹣3）+1=﹣1,解得x=19．
设a＜b＜c，则a+b=4,4＜c＜19．
∴8＜a+b+c＜23．
故答案为(8，23)．
16．给出如下四个命题：
（1)图①中的阴影部分可用集合｛（x,y）｜x2+y2﹣2y＜0｝
（2）设两个正态分布N(μ1，σ12）（σ1＞0）和N(μ2，σ22)(σ2＞0曲线如图②所示,则μ1＜μ2，σ1＜σ2
（3）已知边长为2的等边三角形ABC，过C作BC的垂线l，如图③,则将△ABC绕l旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积是2π
(4）执行如图④所示的程序框图，输出S的值是﹣．
其中正确命题的序号是（1）（3）．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1)直接由图形可得阴影边界所对应圆的方程,再用集合表示阴影区域判断(1）；（2）从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小,曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中判断（2)；对于(3），几何体为圆台减去一个小圆锥，分别求出圆台和圆锥的体积判断；对于(4），读取框图,求出S的值加以判断．
【解答】解：（1）图①中的阴影部分是圆x2+y2﹣2y=0及其内部的点，可用集合｛（x,y）｜x2+y2﹣2y＜0}表示,故（1)正确；
（2）从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小．∴σ1＞σ2，故（2）错误;
(3）则将△ABC绕l旋转一周得到的几何体为圆台挖去一个小圆锥,圆台的上下底面半径分别为r=1，R=2，圆台的高为h=．
圆锥的底面半径为r′=1，高为h=．∴圆台的上底面积为S=πr2=π，下底面积为S′=πR2=4π,圆锥的底面积为π，
∴圆台的体积V1=（π+4π+2π）•=,圆锥的体积V2=•π•=π．
∴几何体的体积V=V1﹣V2=2π，故(3）正确;
对于（4），给k赋值1，执行k=1+1=2，判断2＞4不成立，执行k=2+1=3，判断3＞4不成立，执行k=3+1=4，判断4＞4不成立,执行k=4+1=5，
判断5＞4成立,执行S=sin=，输出S的值是，是否结束，故(4）错误．
故答案为：（1）（3)．
三、解答题：本大题共5小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．如图，点A、B分别是角α、β的终边与单位圆的交点，0＜β＜＜α＜π
(I)证明:cos(α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ;
(II）若α=,cos(α﹣β）=，求sin2β的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】(I)利用向量的数量积公式，即可证明；
(II）利用差角的余弦公式,再两边平方，即可得出结论．
【解答】（I）证明：由题意得，=(cosα，sinα）,=(cosβ,sinβ）,
∴•=cosαcosβ+sinαsinβ…
又因为与夹角为α﹣β，｜｜=||=1，
∴•=｜|｜|cos（α﹣β)=cos（α﹣β），…
综上cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立．…
（II）解：∵α=，cos(α﹣β)=，∴﹣cosβ+sinβ=，…
∴sinβ﹣cosβ=,两边平方得，1﹣sin2β=…
∴sin2β=．…
18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形,AB=，AA1=2,D为AA1的中点,BD 与AB1交于点O,CO⊥侧面ABB1A1．
（1）证明:CD⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）推导出∠ABD=∠AB1B，从而∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=,进而AB1
⊥BD．由线面垂直得AB1⊥CO．从而AB1⊥平面CBD．由此能证明BC⊥AB1．
（2）以O为原点，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x轴,y轴，z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C1D与平面ABC所成角的正弦值．
【解答】证明：(1）由题意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD==，
在Rt△ABB1中，tan∠AB1B==．
又因为0＜∠ABD，∠AB1B，所以∠ABD=∠AB1B，
所以∠ABD+∠BAB1=∠AB1B+∠BAB1=，
所以AB1⊥BD．
又CO⊥侧面ABB1A1，且AB1⊂侧面ABB1A1，∴AB1⊥CO．
又BD与CO交于点O，所以AB1⊥平面CBD．
又因为BC⊂平面CBD，所以BC⊥AB1．
解：（2）如图所示，以O为原点，分别以OD，OB1,OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0,﹣，0），B（﹣，0,0），C（0,0，），
B1（0,，0），D（,0,0）．
又因为=2，所以C1（，，）．
所以=（﹣，，0），=（0，，），=（,，）．
设平面ABC的法向量为=(x，y，z），
则由,得
令y=，则z=﹣，x=1，=（1，,﹣)是平面ABC的一个法向量．
设直线C1D与平面ABC所成的角为α，
则sin α==．
故直线C1D与平面ABC所成角的正弦值为．
19．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：f1（x)=x3,f2（x）=5｜x｜，f3（x）=2，f4（x）=,f5（x）=sin（+x）,f6（x）=xcosx．
（Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数．在此条件下，求两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率；
(Ⅱ)现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差;古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用．
【分析】（Ⅰ)所有的基本事件包括两类：一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数,先求出基本事件总数为，满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数，再求出满足条件的基本事件个数为，由此能求出结果．
（Ⅱ）ξ可取1，2,3，4．分别求出对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ)为奇函数;
为偶函数;
f3（x）=2为偶函数；
为奇函数；
为偶函数；
f6(x）=xcosx为奇函数…
所有的基本事件包括两类:一类为两张卡片上写的函数均为奇函数；
另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数，一个为偶函数；
故基本事件总数为
满足条件的基本事件为两张卡片上写的函数均为奇函数,
故满足条件的基本事件个数为
故所求概率为．…
（Ⅱ）ξ可取1，2，3，4．…
，
；
故ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P
…．
∴ξ的数学期望为．…
20．已知P是圆C:x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足=,当P在圆C上运动时，点M形成的轨迹为曲线E
（Ⅰ)求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2)的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】（Ⅰ）利用代入法，求曲线E的方程；
（Ⅱ）分类讨论,设直线l：y=kx+2与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量得出坐标关系，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．
【解答】解：（I）设M（x，y）,则P（x，2y）在圆x2+4y2=4上，
所以x2+4y2=4,即…。

.
（II）经检验,当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，所以直线l存在斜率．
设直线l：y=kx+2．设C（x1,y1），D（x2,y2），
则．…
△=（16k)2﹣4（1+4k2）•12＞0，得．
…．①，…②．…
又由，得，
将它代入①，②得k2=1,k=±1(满足）．
所以直线l的斜率为k=±1．所以直线l的方程为y=±x+2…
21．已知函数f（x)=．
(Ⅰ)求函数f（x）的图象在点x=1处的切线的斜率；
（Ⅱ）若当x＞0时,f(x）＞恒成立,求正整数k的最大值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ)求出函数的导数，计算f′（1)即可；
(Ⅱ)问题转化为对x＞0恒成立，根据函数的单调性求出h （x）的最小值，从而求出正整数k的最大值．
【解答】解：（Ⅰ)∵f′（x）=﹣+，
∴…
(Ⅱ)当x＞0时,恒成立，
即对x＞0恒成立．
即h(x）（x＞0）的最小值大于k．…，
，记ϕ（x）=x﹣1﹣ln（x+1)（x＞0）
则，所以ϕ(x）在（0，+∞）上连续递增．…
又ϕ（2）=1﹣ln3＜0，ϕ（3）=2﹣2ln2＞0，
所以ϕ（x)存在唯一零点x0，
且满足x0∈（2,3），x0=1+ln（x0+1）．…
由x＞x0时，ϕ(x）＞0，h’（x）＞0；
0＜x＜x0时，ϕ（x）＜0，h'（x）＜0知：
h(x)的最小值为．
所以正整数k的最大值为3．…
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图,等腰梯形ABDC内接于圆,过B作腰AC的平行线BE交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P,PC=ED=1,PA=2．
(Ⅰ）求AC的长；
（Ⅱ）求证：BE=EF．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I)由PA是圆的切线结合切割线定理得比例关系，求得PD，再由角相等得三角形相似：△PAC∽△CBA,从而求得AC的长；
（II)欲求证：“BE=EF"，可先分别求出它们的值，比较即可，求解时可结合圆中相交弦的乘积关系．
【解答】解：（I)∵PA2=PC•PD，PA=2,PC=1，
∴PD=4，…
又∵PC=ED=1，
∴CE=2，
∵∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
∴△PAC∽△CBA,
∴，…
∴AC2=PC•AB=2,
∴…
证明：（II）∵,CE=2，而CE•ED=BE•EF，…
∴，
∴EF=BE．…
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数,0＜α＜π),曲线C的极坐标方程为
ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1）,直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，
求tanα的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程．
【分析】(I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．
【解答】解:（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，
所以，
所以，或，即或．
［选修4-5：不等式选讲］
24．设函数f（x）=｜x﹣｜+|x﹣a|，x∈R．
（Ⅰ）求证：当a=﹣时,不等式lnf（x）＞1成立．
(Ⅱ）关于x的不等式f（x)≥a在R上恒成立,求实数a的最大值．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】(Ⅰ）当a=﹣时，根据f(x)=的最小值为3，可得lnf（x）
最小值为ln3＞lne=1，不等式得证．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x）≥|a﹣｜，可得|a﹣|≥a，由此解得a的范围．【解答】解：(Ⅰ）证明：∵当a=﹣时，f（x）=｜x﹣｜+｜x+|=
的最小值为3，
∴lnf（x)最小值为ln3＞lne=1,∴lnf(x)＞1成立．
（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得f（x)=|x﹣|+|x﹣a|≥|（x﹣）﹣(x﹣a）｜=｜a﹣｜，再由不等式f(x)≥a在R上恒成立，可得｜a﹣｜≥a,
∴a﹣≥a，或a﹣≤﹣a，解得a≤，故a的最大值为．
2016年11月21日。