沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题测评试题(含答案解析)

八年级数学第二学期第二十一章代数方程专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限，则k 的取值范围是（ ）
A ．60k -<<
B ．30k -<<
C ．3k <-
D ．6k <-
2、已知方程：① 2
64
x x x +=；② 232x x +=+；③ 2190x -=；④ ()3618x x ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3、张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x 千米，依题意，得到的方程是（ ）
A ．1515112
x x -=+ B ．1515112x x -=+ C ．1515112x x -=- D ．1515112
x x -=-
4、要使关于x 的一元二次方程210ax +-=有两个实数根，且使关于x 的分式方程
2244x a x x ++=--的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）
A ．6个
B ．7个
C ．8个
D ．9个
5、若关于x 的不等式组1112
3x a x x ≤⎧⎪-+⎨+>⎪⎩至少有4个整数解，且关于y 的分式方程4122a y y -+--＝1的解是非负数，则符合条件的所有整数a 的和是（ ）
A ．17
B ．20
C ．22
D ．25 6、若(1)a b s s b a
+=≠-，则b 可用含a 和s 的式子表示为（ ） A ．1a as s ++ B ．1a as s -+ C ．1a as s -- D ．1
a as s +- 7、若关于x 的方程
2222x m x x ++=--有增根，则m 的取值是（ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．1
8、如图所示，若一次函数y ＝k 1x ＋b 1的图象l 1与y ＝k 2x ＋b 2的图象l 2相交于点P ，则方程组1122,y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩
的解是( )
A ．2,3x y =-⎧⎨=⎩
B ．3,2x y =⎧⎨=-⎩
C ．2,3x y =⎧⎨=⎩
D ．2,3x y =-⎧⎨=-⎩
9、下列方程中：（1）410x +=；（2）0n ax b +=；（3）40x x +=；（4）51x x +=；是二项方程的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+的交点P 的横坐标为1，则下列说法错误的是（ ）
A ．点P 的坐标为(1,2)
B ．关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12
x y =⎧⎨=⎩ C ．直线1l 中，y 随x 的增大而减小
D ．直线y nx m =+也经过点P
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，直线:4AB y x =+与直线:22BC y x =--相交于点B ，直线AB 与y 轴交于点A ，直线BC 与x 轴交于点D 与y 轴交于点C ，AE BC ∥交x 轴于点E ．直线AB 上有一点P （P 在x 轴上方）且DEP ABC S S =，则点P 的坐标为_______．
2、关于x 的分式方程7311
+=--m x x 无解，则m 的值为 _____． 3、若关于x 的一元一次不等式组2123x x x m
-⎧≤+⎪⎨⎪≥⎩的解集为x m ≥；且关于y 的分式方程34122y m y y y +--=++有负整数解，则所有满足条件的m 的整数值之和是__________．
4、若关于x 的方程312
x a x +=-的解是最小的正整数，则a 的值是________． 5、新新面粉厂现有小麦若干千克和面粉500千克准备一边继续将小麦生产成面粉，一边将生产好的面粉加工成面条，现将全部10名工人，分为A 、B 两组，A 组负责将小麦加工成面粉，B 组负资将面粉加工成面条．已知每位工人每天可将100千克小麦生产成75千克面粉或将25千克面粉加工成50千克面条．生产m 天后，面粉质量与面条质量之比为13：2
，又生产了若干天后，小麦全部用完，此
时面粉质量与面条质量之比为6：1，若继续将所有面粉都加工成面条再出售，且每千克面条售出后可获利3元，则所有面条售出后，新新面粉厂共可获利_______元．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．某呼吸机厂接到生产600台呼吸机的任务，以每天比原来多生产50台呼吸机的速度进行生产，结果所用时间与原来生产450台呼吸机所用时间相同．
（1）求该厂现在每天生产多少台呼吸机?
（2）完成这批任务后，该厂又接到在10天内至少生产2400台呼吸机的任务，问该厂每天还应该至少比现在多生产多少台呼吸机才能完成任务?
2、解分式方程：
（1）216111
x x x +-=-- （2）
13244x x x -=+-- 3、北京市以2022年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长42km 全封闭的马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了2km 智慧跑，接着进行了4km 堤上跑，共用时40分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的1.5倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度．
4、解分式方程：
（1）231x x
=+ （2）
11222x x x -=---
5、解方程2
2
13211x x x x --=--．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
先求出交点坐标，然后列不等式组即可求解．
【详解】
解：由题意得，
36y kx k y x =+⎧⎨=-⎩
， 解得
6393k x k k y k --⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
， ∵两直线()0y kx k k =+≠与36y x =-相交于第四象限， ∴603903k k k k --⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪-⎩
， ∴-6＜k ＜0；
故选：A ．
【点睛】
本题考查一次函数的图象及性质，以及不等式组的解法，能够掌握直线交点坐标的求法，牢记象限内
点的坐标特点是解题的关键．
2、C
【分析】
分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义解答．
【详解】
解：根据定义可知：①②③为分式方程，
故选：C ．
【点睛】
此题考查分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
3、B
【分析】 根据关键描述语是：“比李老师早到半小时”；等量关系为：李老师所用时间﹣张老师所用时间＝1
2．即可列出方程．
【详解】 解：李老师所用时间为：
15x ，张老师所用的时间为：151
x +．所列方程为：1515112x x -=+． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查列分式方程，由题意可知未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
4、C
【分析】
根据一元二次方程的应用以及根据的判别式得到0a ≠且240b ac ∆=-≥，将分式方程整理为整式方
程，得出x 的解，然后根据分式方程
2244x a x x
++=--的解为非负数确定a 的取值范围，然后写出此范围内的整数即可．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程210ax +-=有两个实数根，
∴0a ≠且241240b ac a ∆=-=+≥，
∴3a ≥-且0a ≠， 对于分式方程2244x a x x
++=--， 去分母得22(4)x a x --=-，
解得：6x a =-，
∵分式方程的解为非负数，
∴60a -≥且64a -≠，
解得6a ≤且2a ≠，
∴36a -≤≤且0a ≠，2a ≠，
∴整数a 的值为3-、2-、1-、1、3、4、5、6共8个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了根得判别式：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根与Δ＝b 2−4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程的解．
5、B
【分析】
分别求出符合不等式组和分式方程解的条件的整数a ，再计算出所有整数a 的和．
11123x a x x ≤⎧⎪⎨-++>⎪⎩
①② 由②得：3(1)62(1)x x -+>+
解得：1x >- ∵不等式组1112
3x a x x ≤⎧⎪-+⎨+>⎪⎩至少有4个整数解，如图所示：
∴3a ≥，
解该分式方程得：7y a =-，
∵70a -≥且72a -≠，
解得：7a ≤且5a ≠，
∴a 取37a ≤≤且5a ≠的整数，
即a 取3，4，6，7，
∴346720+++=．
故选：B ．
【点睛】
本题考查解不等式组与分式方程，掌握它们的解法是解题的关键．
6、D
【分析】 先将a b s b a
+=-转化为关于b 的整式方程，然后用a 、s 表示出b 即可．
解：∵a b s b a
+=-，s ≠1 ∴()s b a a b -=+， ∴1
a as
b s +=- 故选：D ．
【点睛】
本题考查解分式方程，解答的关键是熟练掌握分式方程的一般步骤．
7、A
【分析】
方程两边都乘以最简公分母(x -2)，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值,然后代入进行计算即可求出m 的值．
【详解】
方程两边都乘以(x -2)得：
-2+x +m =2(x -2)，
∵分式方程有增根，
∴x -2=0，
解得x =2，
∴-2+2+m =2×(2-2)，
解得m =0．
故答案为:A ．
【点睛】
此题考查分式方程的增根，掌握运算法则是解题关键．
8、A
【分析】
根据两个一次函数的交点坐标即可得．
【详解】 解：一次函数11y k x b =+的图象1l 与22y k x b =+的图象2l 相交于点(2,3)P -， ∴方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩
的解为23x y =-⎧⎨=⎩， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用一次函数的交点确定方程组的解，掌握函数图象法是解题关键．
9、A
【分析】
根据两项方程的定义直接判断得结论．
【详解】
解：（1）410x +=，符合二项方程的定义；
（2）0n ax b +=，当a =0时，不符合二项方程的定义；
（3）40x x +=，两项都含有未知数，不符合二项方程的定义；
（4）51x x +=，有三项，不具备二项方程的定义，
综上，只有（1）符合二项方程的条件，共1个．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下几个基本条件：（1）整式方程，（2）方程共两项，
（3）两项中一项含有未知数，一项是常数项．
10、C
【分析】
A 、将1x =代入1y x =+中，得出y 的值，再判断即可；
B 、两直线相交坐标是两对应方程组的解的x 、y 值；
C 、根据一次函数k 的值判断增减性；
D 、将P 点坐标(1,2)代入进行判断即可．
【详解】
解：A 、将1x =代入1y x =+中，解得将2y =，点P 的坐标为将(1,2)，选项说法正确，不符合题意；
B 、关于x 、y 的方程组1y x y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为12
x y =⎧⎨=⎩，选项说法正确，不符合题意； C 、直线1l 中，10k =>，所以y 随x 的增大而增大，选项说法错误，符合题意；
D 、因为2l 经过点P ，将(1,2)P 代入y mx n =+，得2m n +=，将(1,2)P 代入直线y nx m =+中，得2m n +=，所以直线y nx m =+也经过点P ，选项说法正确，不符合题意；
故选C ．
【总结】
此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标．
二、填空题
1、（-3，4）
【分析】
先求出A （0，4），D （-1，0），C （0，-2），得到AC =6，再求出B 点坐标，从而求出△ABC 的面积；然后求出直线AE 的解析式得到E 点坐标即可求出DE 的长，再由162DEP P ABC S
DE y S △进行求解
即可．
【详解】
解：∵A 是直线4y x =+与y 轴的交点，C 、D 是直线22y x =--与y 轴、x 轴的交点，
∴A （0，4），D （-1，0），C （0，-2），
∴AC =6；
联立422y x y x =+⎧⎨=--⎩
， 解得22x y =-⎧⎨=⎩
， ∴点B 的坐标为（-2，2）， ∴()1==62
ABC B S AC x ⋅-△， ∵AE BC ∥，
∴可设直线AE 的解析式为2y x b =-+，
∴4b =，
∴直线AE 的解析式为24y x =-+，
∵E 是直线AE 与x 轴的交点，
∴点E 坐标为（2，0），
∴DE =3， ∴162DEP
P ABC S DE y S △， ∴=4P y ，
∴=3P x ，
∴点P 的坐标为（-3，4），
故答案为：（-3，4）．
【点睛】
本题主要考查了一次函数综合，求一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点坐标，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数的相关知识．
2、7
【分析】
根据分式的性质去分母，再把增根x=1代入即可求出m的值．
【详解】
解
7
3
11
+=
--
m x x
∴7+3（x-1）=m
∵关于x的分式方程
7
3
11
+=
--
m
x x
无解，
∴x=1是方程的增根，
∴把增根x=1代入得m=7．
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查分式方程的解法，解题的关键是根据分式方程无解得到关于m的方程．3、-8
【分析】
化简一元一次不等式组，根据解集为x m ≥得到m 的取值范围，解分式方程，根据解是负整数，且不是增根，确定整数m 的取值，从而求解．
【详解】 解：∵2123x x x m -⎧≤+⎪⎨⎪≥⎩①②
，
解不等式①，得：7x ≥-，
解不等式②，得：x m ≥，
又∵不等式组的解集为x m ≥，
∴7m ≥-； 分式方程34122
y m y y y +--=++去分母， 得：()342y y m y +-+=-， 解得：23
m y -=． 又∵分式方程有负整数解，且2y ≠-，
∴符合条件的整数m 可以取-7，-1，
其和为-7+(-1)=-8，
故答案为：-8．
【点睛】
本题考查分式方程的解，一元一次不等式组的解；熟练掌握分式方程的解法，一元一次不等式组的解法，对分式方程切勿遗漏增根的情况是解题的关键．
4、4-
【分析】
先解出方程，再由原方程的解是最小的正整数，可得到关于a 的方程，解出即可．
【详解】 解：312
x a x +=-， 去分母得：32x a x +=- ， 解得：22
a x --= ， ∵关于x 的方程312
x a x +=-的解是最小的正整数， ∴212
a --=， 解得：4a =- ．
故答案为：4-．
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，根据题意得到关于a 的方程是解题的关键． 5、23160
【分析】
设有x 名工人分在A 组，则有（10﹣x ）名工人分在B 组，根据题意列出方程求出m 及x 的值，设又生产了t 天后，小麦全部用完，根据此时面粉质量与面条质量之比为6：1，列出关于t 的方程，解方程求出t 的值，进而得出最后生产的面条质量，即可求出答案．
【详解】
解：设有x 名工人分在A 组，则有（10﹣x ）名工人分在B 组，
生产m 天后，
面粉质量为：500+75mx ﹣25m （10﹣x ）（kg ），
面条质量为：50m （10﹣x ）（kg ），
∵生产m天后，面粉质量与面条质量之比为13：2，
∴5007525(10)13
50(10)2
mx m x
m x
+--
=
-
，
∴x＝20(71)
17
m
m
-
，
∵m、x为正整数，且x＜10，∴20（7m﹣1）为17m的倍数，∴m＝5，
∴x＝20(71)
17
m
m
-
＝
20(751)
175
⨯⨯-
⨯
＝8，
∴生产m天后，
面粉质量为：500+75mx﹣25m（10﹣x）
＝500+75×5×8﹣25×5×（10﹣8）
＝3250（kg），
面条质量为：50m（10﹣x）
＝50×5×（10﹣8）
＝500（kg），
设又生产了t天后，小麦全部用完，此时面粉质量与面条质量之比为6：1，∴面粉质量为：3250+75×8t﹣25t×（10﹣8）
＝3250+600t﹣50t
＝（3250+550t）（kg），
面条质量为：500+50t×（10﹣8）
＝（500+100t）（kg），
∴32505506 5001001
t
t
+
=
+
，
经检验，t =5是所列方程的解，
∴最后生产面条质量为: ( 3250+550×2 ) ×2+500+100×5=7720 ( kg )
故所有面条售出后可获利: 7720×3=23160 (元),
故答案为: 23160.
【点睛】
本题考查列代数式、整式的加减运算、分式方程的应用，理解题意，能正确列出对应的代数式和方程是解答的关键，注意x 、m 为正整数这一隐含条件．
三、解答题
1、（1）该厂现在每天生产200台呼吸机；（2）该厂每天还应该至少比现在多生产40台呼吸机才能完成任务．
【分析】
（1）设原计划平均每天生产x 台呼吸机，则实际平均每天生产(50)x +台呼吸机，根据题意可得，现在生产600台所需时间与原计划生产450台呼吸机所需时间相同，据此列方程即可；
（2）设该厂每天还应该比现在多生产y 台呼吸机，列出10(200)2400y +≥，求解即可．
【详解】
解：（1）设该厂现在每天生产x 台呼吸机． 根据题意，得：60045050
x x =-． 解得，200x =．
经检验：200x =是分式方程的解．
答：该厂现在每天生产200台呼吸机．
（2）设该厂每天还应该比现在多生产y 台呼吸机．
根据题意，得：10(200)2400y +≥．
答：该厂每天还应该至少比现在多生产40台呼吸机才能完成任务．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
2、（1）2x =；（2）4x =是方程的增根．
【分析】
（1）方程两边同时乘以21x -，得到22(1)61x x +-=-的形式，解得2x =，将2x =代入21x -中检验4130-=≠，从而得到分式方程的解．
（2）方程两边同时乘以4x -，得到132(4)x x -=+⨯-的形式，解得4x =，将4x =代入4x -中检验440-=，从而得到4x =为分式方程的增根．
【详解】
解：（1）方程两边同时乘以21x -
得22(1)61x x +-=-
解方程得2x =
经检验得2x =是分式方程的解．
（2）方程两边同时乘以4x -
得132(4)x x -=+⨯-
解方程得4x =
经检验得4x =是分式方程的增根．
【点睛】
本题考查了分式方程的求解、增根．解题的关键和难点在于找最简公分母．易错点是是否对整式方程的解进行验证．
3、小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．
【分析】
设小明进行智慧跑的平均速度为x km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为1.5x km/h. 根据题意，列出分式方程，解方程求解即可，注意要检验
【详解】
设小明进行智慧跑的平均速度为x km/h，则小明进行堤上跑的平均速度为1.5x km/h.
根据题意，列出方程：2440
1.560
x x
+=．
解方程，得=7
x．
经检验，=7
x是原方程的解且符合实际意义．
∴1.510.5
x=．
答：小明进行智慧跑的平均速度为7km/h，进行堤上跑的平均速度为10.5km/h．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键．
4、（1）3
x=-；（2）分式方程无解
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x ＝﹣1﹣2x +4，
移项合并得：x ＝2，
经检验x ＝2是增根，分式方程无解．
【点睛】
本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个．
5、13
x =- 【分析】
观察可得最简公分母是()()11x x +-，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解：方程的两边同乘()()11x x +-，得，
（1+x ）﹣2（1﹣x 2）＝3x ﹣x 2，
即3x 2﹣2x ﹣1＝0，
()()3110,x x ∴+-=
10x ∴-=或310,x +=
解得：x ＝1或13
x =- 检验：当x ＝1时，()()11x x +-＝0，
∴x ＝1是原方程的增根，舍去． 当13x =-时，()()11x x +-＝89≠0，
∴原方程的解为：
1
3
x=-．
【点睛】
本题考查的分式方程的解法，一元二次方程的解法，掌握“去分母，把分式方程化为整式方程”是解题的关键.。