高中数学 第2章 平面向量 2.4 向量的数量积课前导引 苏教版必修4(2021年整理)

高中数学第2章平面向量2.4 向量的数量积课前导引苏教版必修4 编辑整理：
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2。

4 向量的数量积
课前导引
问题导入
一物体在力F 的作用下沿水平方向运动，已知AB=10米，F 与水平方向成60°角，F=5 N,求物体从A 到B 力F 所做的功。

思路分析：首先求出力F 在水平方向上的分力|F 1|=|F ｜cos60°=5×21=2
5，由物理学知识可知力F 对物体所做的功是:W =｜F 1|·｜s |=2
5×10=25（焦耳). 力F 对物体所做的功W =｜F |·｜s ｜cos60°,即两个向量F 、s 的模与其夹角余弦的积是数量，这个量就是这节课要学习的两个向量的数量积。

知识预览
1。

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ ，我们把数量｜a ｜｜b ｜cosθ叫做向量a 和b 的数量积，记作a ·b .规定零向量与任一向量的数量积为零.
2.对于两个非零向量a 和b ，作=a ,=b ,则∠A OB 叫做向量a 与b 的夹角，其范围是0°≤θ≤180°。

当θ=90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

3。

数量积的运算律：
（1)a ·b =b ·a ;
(2)(λa ）·b =a ·λ（b ）=λ（a ·b )=λa ·b ；
(3）(a +b ）·c =a ·c +b ·c 。

4.|b ｜cosθ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量。

5。

已知两个非零向量a =(x 1,y 1）,b =(x 2，y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2。

即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

6。

（1)若a =（x ，y)则｜a ｜2=x 2+y 2，或｜a |=22y x +.
(2）如果表示向量a 的有向线段起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1）、(x 2,y 2），那么a =(x 2—x 1，y 2—y 1)，｜a ｜=212212)()(y y x x -+-。

7。

设a =(x 1,y 1），b =(x 2,y 2）,则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0。

应用该条件要注意：由a ⊥b ，可得x 1x 2+y 1y 2=0；
反过来，由x 1x 2+y 1y 2=0，可得a ⊥b 。

8。

设a 、b 是非零向量,a =(x 1，y 1）,b =（x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角，两向量夹角余弦的坐标表达式为cos 〈a ，b 〉=
222221212121y x y x y y x x +++。