高考数学(理)一轮复习文档 第四章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 Word版含答案

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．
(2)基底：不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，
λa ＝(λx 1，λy 1)，|a | (2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，
|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．
1．辨明三个易误点
(1)注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．
(2)注意运用两个向量a ，b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2－x 2y 1＝0.
(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．
2．有关平面向量的两类本质
平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键．
1.教材习题改编已知向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b ＝( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)
D ．(－3，－4)
A 由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)，
所以b ＝1
2
(－6，8)＝(－3，4)，故选A.
2．如果e 1，e 2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是( )
A ．e 1与e 1＋e 2
B ．e 1－2e 2与e 1＋2e 2
C ．e 1＋e 2与e 1－e 2
D ．e 1＋3e 2与6e 2＋2e 1
D 选项A 中，设e 1＋e 2＝λe 1，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，
1＝0，无解；
选项B 中，设e 1－2e 2＝λ(e 1＋2e 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＝λ，
－2＝2λ，无解；
选项C 中，设e 1＋e 2＝λ(e 1－e 2)，则⎩
⎪⎨⎪
⎧1＝λ，1＝－λ，无解；
选项D ，e 1＋3e 2＝1
2
(6e 2＋2e 1)，所以两向量是共线向量．
3．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
＝( )
A ．(－7，－4)
B ．(7，4)
C ．(－1，4)
D ．(1，4)
A 法一：设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.
法二：AB →
＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)， BC →
＝AC →－AB →
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
故选A.
4．(2015·高考江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，
n ∈R )，则m －n 的值为________．
因为 m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，所以⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，所以m －n ＝2－5＝－3.
－3
5.教材习题改编已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________．
设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4，1)＝(5－x ，6－y )，即⎩⎪⎨⎪⎧4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5.
(1，5)
平面向量基本定理及其应用
(1)
如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →
＝( ) A ．a ＋34b
B.14a ＋34b
C.14a ＋14b
D.34a ＋14
b (2)在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →
，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点
为M ，又CM →＝tCP →
，则实数t 的值为________．
【解析】 (1)因为CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →
， 所以CD →＝14CB →＝1
4
(a －b )，
所以AD →＝AC →＋CD →
＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b .
(2)
因为CP →＝23CA →＋13CB →
，
所以3CP →＝2CA →＋CB →
， 即2CP →－2CA →＝CB →－CP →， 所以2AP →＝PB →.
即P 为AB 的一个三等分点(靠近A 点)，
又因为A ，M ，Q 三点共线，设AM →＝λAQ →
. 所以CM →＝AM →－AC →＝λAQ →－AC →
＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋12AC →－AC →＝λ2AB →＋λ－22AC
→，
又CM →＝tCP →＝t (AP →－AC →)＝t ⎝ ⎛⎭
⎪⎫13AB →－AC →
＝t 3
AB →－tAC →
. 故⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝t 3，λ－22＝－t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝34，λ＝1
2.故t 的值是34.
【答案】 (1)B (2)34
1．在本例(2)中，试用向量AB →，AC →表示CP →
. 因为CP →＝23CA →＋13
CB →，
所以3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →
， 2AP →＝PB →，所以AP →＝13AB →，
CP →
＝AP →－AC →
＝13
AB →－AC →
.
2．在本例(2)中，试问点M 在AQ 的什么位置？
由本例(2)的解析CM →＝λ2AB →＋λ－22AC →及λ＝12，CB →＝2CQ →知，CM →＝12λ(CB →－CA →)＋
2－λ
2
CA →
＝λ2
CB →＋(1－λ)CA → ＝λCQ →
＋(1－λ)CA →＝CQ →＋CA
→2
.
因此点M 是AQ 的中点．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
1．如图，在三角形ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB →＝a ，AC →
＝b ，则AO →
＝(
)
A.12a ＋12b
B.12a ＋13b
C.14a ＋12
b D.12a ＋14
b D 因为在三角形ABC 中，BE 是AC 边上的中线， 所以AE →＝12
AC →.
因为O 是BE 边的中点，
所以AO →＝12(AB →＋AE →)＝12AB →＋14AC →＝1
2a ＋14
b ，故选D.
2．在平行四边形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF →＝mAB →＋nAD →
(m ，n ∈R )，则m n
的值是________．
法一：根据题意可知△AFE ∽△CFB ，所以EF FB ＝AE CB ＝12，故EF →＝12FB →＝13EB →＝13(AB →－AE →)＝1
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫AB →
－12AD →＝13AB →－16AD →，所以m n ＝1
3－16
＝－
2.
法二：如图，AD →＝2AE →
， EF →
＝mAB →＋nAD →
，
所以AF →＝AE →＋EF → ＝mAB →＋(2n ＋1)AE →，
因为F ，E ，B 三点共线，所以m ＋2n ＋1＝1，所以m
n
＝－2. －2
平面向量的坐标运算
已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →
＝
3c ，CN →
＝－2b .
(1)求3a ＋b －3c ；
(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M 、N 的坐标及向量MN →
的坐标．
【解】 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，
所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.
(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →
＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →
＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →
＝－2b ，
所以ON →＝－2b ＋OC →
＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →
＝(9，－18)．
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4，3)，PQ →
＝(1，5)，则BC →
等于( )
A ．(－2，7)
B ．(－6，21)
C ．(2，－7)
D ．(6，－21)
B B
C →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →
＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．
2．已知A (7，1)、B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →
，则实数a ＝________．
设C (x ，y )，
则AC →＝(x －7，y －1)，CB →
＝(1－x ，4－y )，
因为AC →＝2CB →
，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2（1－x ）y －1＝2（4－y ），解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝3.
所以C (3，3)．又因为C 在直线y ＝1
2ax 上，
所以3＝1
2a ·3，所以a ＝2.
2
平面向量共线的坐标表示(高频考点)
平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，难度较小．
高考对平面向量共线的坐标表示的考查主要有以下三个命题角度： (1)利用两向量共线求参数；
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标； (3)三点共线问题．
已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？
(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →
＝a ＋m b 且A 、B 、C 三点共线，求m 的值． 【解】 (1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)，
a ＋2
b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为k a －b 与a ＋2b 共线， 所以2(k －2)－(－1)×5＝0， 即2k －4＋5＝0，得k ＝－1
2.
(2)法一：因为A 、B 、C 三点共线， 所以AB →＝λBC →
，即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧2＝λ3＝m λ，解得m ＝32.
法二：AB →
＝2a ＋3b ＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， BC →
＝a ＋m b ＝(1，0)＋m (2，1)＝(2m ＋1，m )．
因为A 、B 、C 三点共线，
所以AB →∥BC →
.所以8m －3(2m ＋1)＝0， 即2m －3＝0，所以m ＝3
2
.
(1)向量共线的两种表示形式
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①a ∥b ⇒a ＝λb (b ≠0)；②a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，至于使
用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用
判断两向量是否共线(平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求出未知数的值．
角度一 利用两向量共线求参数
1．(2017·邯郸一模)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则m n
等于( )
A ．2
B ．－2
C ．－12D.1
2
C 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n ，3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为(m a ＋n b )∥(a －2b )，所以－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，
所以m n ＝－12
.
角度二 利用两向量共线的条件求向量坐标
2．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1，1)，C (2，3)，|BC →|＝2|AC →|，则向量OB →
的坐标是________．
由点C 是线段AB 上一点，|BC →|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →
.设点B (x ，y )，则(2－x ，3－
y )＝－2(1，2)，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝7.所以向量OB →的坐标是(4，7)． (4，7)
角度三 三点共线问题
3．已知向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →
＝(－k ，10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )
A ．－23 B.43 C.12 D.13
A A
B →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－7)， AC →
＝OC →－OA →
＝(－2k ，－2)．
因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →
共线， 所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－2
3
.
——忽视平面向量基本定理的条件致误
已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →
＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c ，2b ＝d ，e ＝
t (a ＋b )，那么t 为何值时，C ，D ，E 三点在一条直线上？
【解】 由题设，知CD →
＝d －c ＝2b －3a ， CE →
＝e －c ＝(t －3)a ＋t b .
C ，
D ，
E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →
，
即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ， 整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b . ①若a ，b 共线，则t 可为任意实数；
②若a ，b 不共线，则有⎩
⎪⎨⎪⎧t －3＋3k ＝0，
2k －t ＝0，
解之得t ＝6
5
.
综上，可知a ，b 共线时，t 可为任意实数；
a ，
b 不共线时，t ＝65
.
在平面向量基本定理中，一定要注意两个基向量不共线这一条件，本题
在利用向量共线的充要条件列出等式后，易漏掉当a ，b 共线时，t 可为任意实数这个解．
已知a ，b ，c 是共起点的向量，a ，b 不共线，且∃m ，n ∈R 使c ＝m a ＋
n b 成立．若a ，b ，c 的终点共线，则必有( )
A ．m ＋n ＝0
B ．m －n ＝1
C ．m ＋n ＝1
D ．m ＋n ＝－1
C 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ， 因为a ，b ，c 的终点共线，
所以设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)， 所以OC →＝(1－λ)·OA →＋λOB →， 即c ＝(1－λ)a ＋λb . 又c ＝m a ＋n b ，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，所以m ＋n ＝1，故选C.
1．已知a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B.12a －32b
C ．－32a －12
b
D ．－32a ＋12
b
B 设c ＝λa ＋μb ，
则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)， 所以⎩
⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，
2＝λ－μ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，
所以c ＝12a －3
2
b .
2．在△ABC 中，AR →＝2RB →，CP →＝2PR →，若AP →＝mAB →＋nAC →
，则m ＋n ＝( ) A.23 B.79 C.89
D ．1 B 因为AP →＝AR →＋RP →＝AR →＋13RC →＝AR →＋13(AC →－AR →
)＝23AR →＋13AC →＝49AB →＋13AC →，所以m ＋n ＝
49＋13＝7
9
. 3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8，12x ，b ＝(x ，
1)，其中x ＞0，若(a －2b )∥(2a ＋b )，则x 的值为( )
A ．4
B ．8
C ．0
D ．2
A a －2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2， 2a ＋b ＝(16＋x ，x ＋1)，
由已知(a －2b )∥(2a ＋b )，显然2a ＋b ≠0， 故有⎝ ⎛⎭⎪⎫8－2x ，12x －2＝λ(16＋x ，x ＋1)，λ∈R ， 所以⎩⎪⎨⎪
⎧8－2x ＝λ（16＋x ），12
x －2＝λ（x ＋1）⇒x ＝4(x ＞0)．
4．已知非零不共线向量OA →、OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →
(λ∈R )，则点Q (x ，
y )的轨迹方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．2x ＋y －1＝0
C ．x ＋2y －2＝0
D ．2x ＋y －2＝0
A 由PA →＝λA
B →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0，故选A.
5.
(2017·济南模拟)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，若
AB ＝4，且AD →＝14
AC →
＋λAB →
(λ∈R )，则AD 的长为( )
A ．2 3
B ．3 3
C ．4 3
D ．5 3
B 因
为B ，D ，C 三点共线，所以有14＋λ＝1，解得λ＝3
4，如图，过点D 分别作AC ，AB 的
平行线交AB ，AC 于点M ，N ，
则AN →＝14AC →，AM →＝34
AB →，
经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3. 6．(2017·龙岩质检)
如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的两点，给出下列向量：①OA →＋2OB →
；②12OA →＋13OB →；
③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →
，若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有( )
A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．③⑤
B 在ON 上取点
C 使OC →＝2OB →，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA ，则O
D →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除选项A ，C ；取OA 的中点
E ，作E
F 綊12OB ，由于EF →＝12OB →
，所以
12OA →＋13
OB →
的终点在阴影区域内，排除选项D.故选B. 7．已知向量a ＝(1－sin θ，1)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫1
2
，1＋sin θ
，若a ∥b ，则锐角θ＝________．
因为a ∥b ，所以(1－sin θ)×(1＋sin θ)－1×12＝0，得cos 2
θ＝12，所以cos θ＝
±
22，又因为θ为锐角，所以θ＝π
4. π
4
8．设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →
＝(－b ，0)，其中a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则ab 的最大值为________．
易知AB →＝(a －1，1)，AC →＝(－b －1，2)，由A ，B ，C 三点共线知AB →∥AC →
，故2(a －1)－(－b －1)＝0，所以2a ＋b ＝1.
由基本不等式可得1＝2a ＋b ≥22ab ，当且仅当2a ＝b 时等号成立，所以ab ≤1
8，
即ab 的最大值为1
8
.
18
9．(2017·合肥质检)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，向量a ＝(cos C ，3b －c )，向量b ＝(cos A ，a )且a ∥b ，则tan A ＝________．
a ∥
b ⇒(3b －
c )cos A －a cos C ＝0，即3b cos A ＝c cos A ＋a cos C ，再由正弦定理得
3sin B cos A ＝sin C ·cos A ＋cos C sin A ⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，即cos A ＝
33，所以sin A ＝63，tan A ＝sin A cos A ＝ 2. 2
10．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →
＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12
b ；④AD →＋BE →＋CF →
＝0.
其中正确命题的个数为________．
BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12CB →＋AC →
＝－12a －b ，故①错；
BE →＝BC →＋12CA →
＝a ＋12
b ，故②正确； CF →
＝12
(CB →
＋CA →
)＝12
(－a ＋b )
＝－12a ＋1
2
b ，故③正确；
所以AD →＋BE →＋CF →
＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12
a ＝0.故④正确．所以正确命题为②③④，共
3个．
3 11.
如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作▱OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a ，b 表示OM →，ON →
，
MN →
.
因为BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， BM →
＝16BA →＝16a －1
6
b ，
所以OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .
因为OD →
＝a ＋b ，
所以ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，所以MN →＝ON →－OM →＝2
3a ＋23b －16a －56b ＝12a
－1
6
b . 综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －16
b .
12．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)，并且AE →＝13AC →，BF →
＝
13
BC →. (1)求点E ，F 的坐标； (2)求证：EF →∥AB →
.
(1)设E ，F 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则依题意，得AC →＝(2，2)，BC →＝(－2，3)，AB →
＝(4，－1)． 所以AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，BF →＝13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，
所以AE →＝(x 1，y 1)－(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，
BF →
＝(x 2，y 2)－(3，－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23
，1.
所以(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23＋(－1，0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，
(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1＋(3，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0， 所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.
(2)证明：由(1)知(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，(x 2，y 2)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫73，0.
所以EF →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8
3，－23.
又AB →＝(4，－1)，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－(－1)×83＝0，
所以EF →∥AB →
.
13．已知O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →
＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，λ∈ 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，知OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，所以点P 在∠BAC 的平分线上，故点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 14．(2017·太原模拟)已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． (1)OM →＝t 1OA →＋t 2AB →
＝t 1(0，2)＋t 2(4，4)＝(4t 2，2t 1＋4t 2)．
当点M 在第二或第三象限时，有⎩
⎪⎨⎪⎧4t 2＜0，
2t 1＋4t 2≠0，
故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0. (2)证明：当t 1＝1时， 由(1)知OM →
＝(4t 2，4t 2＋2)． 因为AB →＝OB →－OA →
＝(4，4)， AM →
＝OM →－OA →＝(4t 2，4t 2)＝t 2(4，4)＝t 2AB →
，且有公共点A ，
所以不论t 2为何实数，A 、B 、M 三点都共线． 15.
如图，设Ox ，Oy 为平面内相交成60°角的两条数轴，e 1、e 2分别是x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →
＝x e 1＋y e 2，则把有序实数对(x ，y )叫做向
量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →
的坐标为(1，1)． (1)求|OP →|；
(2)过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点A 、B ，试确定A ，B 的位置，使△AOB 的面积最小，并求出最小值．
(1)过点P 作x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于点M 、N .
则|ON →|＝1，|OM →|＝|NP →
|＝1，∠ONP ＝120°， 所以|OP →|＝
|ON →|2＋|PN →|2－2|ON →||PN →
|cos 120°＝ 3. (2)设|OA →|＝x ，|OB →
|＝y ， OP →
＝mOA →＋nOB →
(m ＋n ＝1)，
则OP →＝mOA →＋nOB →
＝mx e 1＋ny e 2.
得⎩
⎪⎨⎪⎧mx ＝1，ny ＝1⇒1x ＋1y ＝1.
S △AOB ＝12|OA →||OB →
|sin 60°＝12xy sin 60°＝
34
xy . 因为1x ＋1y
＝1≥2
xy
，
所以xy ≥2，S △AOB ＝
3
4
xy ≥3， 当且仅当x ＝y ＝2，即当A (2，0)，B (0，2)时，△AOB 面积最小，最小值为 3.。