2020年高考试题(全国卷Ⅰ)——数学(文)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案用0．5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

1．已知集合A＝{x｜x2－3x－4＜0}，B＝{－4，1，3，5}，则A∩B＝
A．{－4，1} B．{1，5} C．{3，5} D．{1，3}
2．若z＝1＋2i＋i3，则｜z｜＝
A．0 B．1 C．2D．2
3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
A．51 4－
B．51－
C．51＋
D．51＋
4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为
A．1
5
B．
2
5
C．
1
2
D．
4
5
5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)
得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是
A ．y ＝a ＋bx
B ．y ＝a ＋bx 2
C ．y ＝a ＋be x
D ．y ＝a ＋blnx 6．已知圆x 2＋y 2－6x ＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．设函数()cos 6f x x πω⎛⎫
⎪⎝
⎭
＝＋
在[－π，π]的图像大致如下图，则f （x ）的最小正周期为 A ．
109
π
B ．76π
C ．43π
D ．32
π
8．设alog 34＝2，则4－
a ＝
A ．
116 B ．1
9 C ．18 D ．16
9．执行右面的程序框图，则输出的n ＝
A ．17
B ．19
C ．21
D ．23
10．设{n a }是等比数列，且1a ＋2a ＋3a ＝1，2a ＋3a ＋4a ＝2，
则6a ＋7a ＋8a ＝ A ．12
B ．24
C ．30
D ．32
11．设F 1，F 2是双曲线C ：2
2
13
y x －＝的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且｜OP ｜＝2，则△PF 1F 2的面积为 A ．
72 B ．3 C ．5
2
D ．2 12．已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为
A ．64π
B ．48π
C ．36π
D ．32π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x ，y 满足约束条件2201010x y x y y ⎧⎪
⎨⎪⎩
＋－≤，－－
≥，＋≥，则z ＝x ＋7y 的最大值为__________． 14．设向量a ＝（1，－1），b ＝（m ＋1，2m －4），若a ⊥b ，则m ＝__________． 15．曲线y ＝lnx ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________． 16．数列{n a }满足()2131n
n n a a n ＋＋－＝－，前16项和为540，则1a ＝__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级．加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元／件，乙分厂加工成本费为20元／件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18．（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知B＝150°．（1）若a＝3c，b＝27，求△ABC的面积；
（2）若sinA＋3sinC＝
2
2
，求C．
19．（12分）
如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°．
（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；
（2）设DO＝2，圆锥的侧面积为3π，求三棱锥P—ABC的体积．
20．（12分）
已知函数f（x）＝e x－a（x＋2）．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
21．（12分）
已知A，B分别为椭圆E：
2
2
2
1 x
y
a ＋＝（a＞1）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB
⋅
＝8．P为直线x＝6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos sin k
k
x t y t
⎧⎪⎨⎪⎩＝，
＝（t 为参数）．以坐标原点为极 点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθρθ－＋＝．
（1）当k ＝1时，C 1是什么曲线?
（2）当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）＝｜3x ＋1｜－2｜x －1｜． （1）画出y ＝f （x ）的图像；
（2）求不等式f （x ）＞f （x ＋1）的解集．
2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）
文科数学试题参考答案
选择题答案 一、选择题
1．D 2．C 3．C 4．A
5．D 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．B 12．A
非选择题答案 二、填空题
13．1 14．5 15．y =2x 16．7
三、解答题 17．解：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，
甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为40
0.4100
=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为
28
0.28100
=. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
654025205207520
15100
⨯+⨯-⨯-⨯=.
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
702830170347021
10100
⨯+⨯+⨯-⨯=.
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.
18．解：（1）由题设及余弦定理得22228323cos150c c c =+-⨯︒，
解得2c =-（舍去），2c =，从而23a =
ABC △的面积为1
232sin15032
⨯⨯⨯︒=．
（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以 sin 3sin sin(30)3sin sin(30)A C C C C +=︒-+=︒+，
故2sin(30)C ︒+=
. 而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒. 19．解：（1）由题设可知，PA =PB = PC ．
由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ． △PAC ≌△PBC ． 又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．
从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ．
由题设可得rl =3，222l r -=． 解得r =1，l =3，
从而3AB =．由（1）可得222PA PB AB +=，故6PA PB PC ===
． 所以三棱锥P -ABC 的体积为3111166
()3232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=．
20．解：（1）当a =1时，f （x ）=e x –x –2，则f x '（
）=e x –1． 当x <0时，f x '（
）<0；当x >0时，f x '（）>0． 所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）f x '（
）=e x –a ．
当a ≤0时，f x '（
）>0，所以f （x ）在（–∞，+∞）单调递增， 故f （x ）至多存在1个零点，不合题意．
当a >0时，由f x '（
）=0可得x =ln a ． 当x ∈（–∞，ln a ）时，f x '（
）<0； 当x ∈（ln a ，+∞）时，f x '（
）>0．所以f （x ）在（–∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）单调递增，故当x =ln a 时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln a ）=–a （1+ln a ）．
（i ）若0≤a ≤1
e ，则
f （ln a ）≥0，f （x ）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．
（ii ）若a >1
e
，则f （ln a ）<0．
由于f （–2）=e –2>0，所以f （x ）在（–∞，ln a ）存在唯一零点． 由（1）知，当x >2时，e x –x –2>0，所以当x >4且x >2ln （2a ）时，
ln(2)2
2
()e e (2)e (2)(2)202
x x a x
f x a x a x a =⋅-+>⋅+-+=>．
故f （x ）在（ln a ，+∞）存在唯一零点，从而f （x ）在（–∞，+∞）有两个零点．
综上，a 的取值范围是（1
e
，+∞）．
21．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．
则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．
所以E 的方程为2
219
x y +=．
（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．
若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9t
y x =+．
直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3
t
y x =-．
可得12213(3)(3)y x y x -=+．
由于2
2
2219
x y +=，故22
22(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①
将x my n =+代入2219
x
y +=得222(9)290m y mny n +++-=．
所以212122229
,99
mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），3
2
n =
． 故直线CD 的方程为32x my =+
，即直线CD 过定点3
(,0)2
． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3
(,0)2．
综上，直线CD 过定点3
(,0)2
．
22．解：当k =1时，1cos ,
:sin ,
x t C y t =⎧⎨=⎩消去参数t 得221x y +=，故曲线1C 是圆心为坐标原点，
半径为1的圆．
（2）当k =4时，4
14
cos ,
:sin ,x t C y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
消去参数t 得1C
1=． 2C 的直角坐标方程为41630x y -+=．
由1,41630
x y =-+=⎪⎩解得14
14
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．
故1C 与2C 的公共点的直角坐标为11
(,)44．
23．解：（1）由题设知13,,31()51,1,33, 1.x x f x x x x x ⎧
--≤-⎪⎪
⎪
=--<≤⎨⎪
⎪
+>⎪⎩
()y f x =的图像如图所示．
（2）函数()y f x =的图像向左平移1个单位长度后得到函数(1)y f x =+的图像．
()y f x =的图像与(1)y f x =+的图像的交点坐标为711
(,)66
--．
由图像可知当且仅当7
6
x <-时，()y f x =的图像在(1)y f x =+的图像上方，
故不等式()(1)f x f x >+的解集为7
(,)6
-∞-．。